2024届全国数学高二下期末教学质量检测试题含解析

2024届全国数学高二下期末教学质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图分别是椭圆的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．2．展开式中的系数为（）A．30 B．15 C．0 D．-153．观察下列各式：，则的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81254．已知函数，若方程在上有3个实根，则的取值范围为（）A． B． C． D．5．已知曲线与直线围成的图形的面积为，则（）A．1 B． C． D．6．已知点，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．7．设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A． B． C． D．8．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．9．设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则等于（）A． B．C． D．10．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（）A． B．C． D．11．函数的导函数为，若不等式的解集为，且的极小值等于，则的值是()。A． B． C．5 D．412．已知，，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则________14．定积分__________．15．已知，直线：和直线：分别与圆：相交于、和、，则四边形的面积为__________．16．设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求锐二面角的余弦值.18．（12分）随着节能减排意识深入人心，共享单车在各大城市大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：每周使用次数1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合计1087111450（1）如果用户每周使用共享单车超过3次，那么认为其“喜欢骑行共享单车”．请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关；不喜欢骑行共享单车喜欢骑行共享单车合计男女合计（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，将频率视为概率，在我市所有的“骑行达人”中随机抽取4名，求抽取的这4名“骑车达人”中，既有男性又有女性的概率．附表及公式：，其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知数列中，，.（1）写出的值，猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论.20．（12分）已知函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求的最小值；（3）证明：当时，.21．（12分）设数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）是否对一切正整数，有？说明理由.22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据等边三角形的性质，求得A点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．【题目详解】由题意知A，把A代入椭圆(a＞b＞0)，得，∴，整理，得，∴，∵0＜e＜1，∴，故选D.【题目点拨】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2、C【解题分析】

根据的展开式的通项公式找出中函数含项的系数和项的系数做差即可．【题目详解】的展开式的通项公式为，故中函数含项的系数是和项的系数是所以展开式中的系数为-=0【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用，熟练掌握二项式定理是解本题的关键．3、C【解题分析】

根据，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解.【题目详解】因为，观察可知的末四位数字3125，的末四位数字5625，的末四位数字8125，的末四位数字0625，又，则的末四位数字为0625.故选：C【题目点拨】本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.4、B【解题分析】

利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可．【题目详解】当时，，则不成立，即方程没有零解.当时，，即，则设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；当时，，即，则.设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则.故选：B.【题目点拨】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5、D【解题分析】分析：首先求得交点坐标，然后结合微积分基本定理整理计算即可求得最终结果.详解：联立方程：可得：，，即交点坐标为，，当时，由定积分的几何意义可知围成的图形的面积为：，整理可得：，则，同理，当时计算可得：.本题选择D选项.点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.6、A【解题分析】

，，向量在方向上的投影为，故选A．7、A【解题分析】

阴影部分所表示的集合为：.【题目详解】由已知可得，阴影部分所表示的集合为：.故选：A.【题目点拨】本题主要考查集合的运算，属基础题.8、C【解题分析】

根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过点作，垂足为点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值.【题目详解】如图：抛物线的准线方程为，焦点，过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得,圆的圆心为，半径，可得的最大值为，由，可令，则，即，可得：，当且仅当时等号成立，即，所以的最小值为故选：C【题目点拨】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题.9、A【解题分析】

根据解得，所以.【题目详解】因为，得，即.所以.故选【题目点拨】本题主要考查二项分布，同时考查了数学期望，熟记公式是解题的关键，属于简单题.10、B【解题分析】

由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．【题目详解】由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，选项A，C不能说明糖水变得更甜，糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；选项D等价于，不成立，故选：B．【题目点拨】本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、D【解题分析】

求导数，利用韦达定理，结合的极小值等于，即可求出的值，得到答案．【题目详解】依题意，函数，得的解集是，于是有，解得，∵函数在处取得极小值，∴，即，解得，故选：D．【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力，比较基础.12、B【解题分析】

由题意可作出函数f(x)和g(x)的图象，图象公共点的个数即为函数h(x)=f(x)−g(x)的零点个数．【题目详解】可由题意在同一个坐标系中画出f(x)=2lnx，的图象，其中红色的为f(x)=2lnx的图象，由图象可知：函数f(x)和g(x)的图象有2个公共点，即h(x)=f(x)−g(x)的零点个数为2，故选：B．【题目点拨】本题考查函数的零点问题，属于函数与方程思想的综合运用，求零点个数问题通常采用数形结合方法，画出图像即可得到交点个数，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

由题得，令x=0即得解.【题目详解】由题得，令x=0得，所以.故答案为1【题目点拨】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解题分析】

根据定积分的几何意义求出，再由微积分基本定理求出，进而可得出结果.【题目详解】因为表示圆面积的，所以；又，所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查求定积分的问题，熟记定积分的几何意义，以及微积分基本定理即可，属于常考题型.15、8【解题分析】由题意，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圆心（a，1），且互相垂直，∴四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD的面积为4×8，故答案为：8.16、.【解题分析】分析：首先求得p和q，然后结合是的必要不充分条件求解实数a的取值范围即可.详解：求解二次不等式可得：，求解二次不等式可得：，是的必要不充分条件，则：，即：，求解不等式组可得：实数的取值范围为.点睛：本题主要考查充分性、必要性条件的应用，集合思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见详解；（2）【解题分析】

（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明；

（2）设，由，求出，求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【题目详解】证明：（1）∵在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），

，，

，∴；

（2）∵F为棱PC上一点，满足，

∴设，，

则，

，

∵，，解得，

，

设平面ABF的法向量，

则，取，得，

平面ABP的一个法向量，

设二面角的平面角为，

则，

∴二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.18、(1)列联表见解析；在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关．(2)【解题分析】

（1）根据题目所给数据，填写2×2列联表，根据公式计算出的值，根据题目所给表格，得出对应的统计结论．（2）根据排列组合以及对立面的思想，求出全都是女生和全都是男生的概率，用概率和为1作差即可得到所要求的概率．【题目详解】解：（1）由题目表格中的数据可得如下2×2列联表：不喜欢骑行共享单车喜欢骑行共享单车合计男104555女153045合计2575100将列联表中的数据代入公式，得，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关．（2）将频率视为概率，在我市的“骑行达人”中随机抽取1名，则该“骑行达人”是男性的概率为，是女性的概率为，故抽取的这4名“骑行达人”中，既有男性又有女性的概率．【题目点拨】本题主要考查利用2×2列联表判断两个变量的相关性以及利用逆向思维“对立面概率”求解情况比较复杂的概率问题．19、（1），，，猜想（2）见解析【解题分析】

（1）依递推公式计算，并把各分子都化为3，可归纳出；（2）用数学归纳法证明即可．【题目详解】解：（1），，∴，，，猜想（2）用数学归纳法证明如下：①当时，由知猜想成立；②假设时，猜想成立，即则∴时，猜想成立，根据①②可知，猜想对一切正整数都成立.【题目点拨】本题考查归纳推理，考查数学归纳法，属于基础题．在用数学归纳法证明时，在证明时的命题时一定要用到时的归纳假设，否则不是数学归纳法．20、(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)的最小值为.(3)证明见解析.【解题分析】分析：函数的定义域为，（1）函数，据此可知函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）由题意可知在上恒成立.据此讨论可得的最小值为.（3）问题等价于.构造函数，则取最小值.设，则.由于，据此可知题中的结论成立.详解：函数的定义域为，（1）函数，当且时，；当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）因在上为减函数，故在上恒成立.所以当时，，又，故当，即时，.所以，于是，故的最小值为.（3）问题等价于.令，则，当时，取最小值.设，则，知在上单调递增，在上单调递减.∴.∵，∴，∴故当时，.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参