2024届山东省沂源县二中数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届山东省沂源县二中数学高二第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正三角形的边长是，若是内任意一点，那么到三角形三边的距离之和是定值.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于的正四面体中，若是正四面体内任意一点，那么到正四面体各面的距离之和等于（）A． B． C． D．2．已知对任意实数，有，且时，，则时（）A． B．C． D．3．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是A． B．C． D．5．用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是（）A． B．C． D．6．函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．7．已知数列满足（，且是递减数列，是递增数列，则A．B．C．D．8．在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为（）A． B． C． D．9．在数列中，，则等于（）A．9 B．10 C．27 D．8110．已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（）A． B． C． D．11．己知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律是θ＝m·2t+（t≥0，m＞0），若物体的温度总不低于2摄氏度，则实数m的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．（1，+∞]12．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______.14．已知集合，集合，那么集合的子集个数为___个．15．已知，则a与b的大小关系______．16．从包括甲乙两人的6名学生中选出3人作为代表，记事件：甲被选为代表，事件:乙没有被选为代表，则等于_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（Ⅰ）当时，不等式有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的最大值．18．（12分）设函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数与在区间内恰有两个交点，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数（其中）．（Ⅰ）当时，证明：当时，；（Ⅱ）若有两个极值点.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：.21．（12分）已知：方程表示焦点在轴上的椭圆；：双曲线的实轴长大于虚轴长.若命题“”为真命题，“”为假命题，求的取值范围．22．（10分）设对于任意实数x，不等式|x＋7|＋|x－1|≥m恒成立．(1)求m的取值范围；(2)当m取最大值时，解关于x的不等式|x－3|－2x≤2m－12.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

将正四面体的体积分为O为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和，计算得到答案.【题目详解】棱长都等于的正四面体：每个面面积为：正四面体的高为：体积为：正四面体的体积分为O为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和故答案选B【题目点拨】本题考查了体积的计算，将正四面体的体积分为O为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和是解题的关键.2、B【解题分析】由条件知：是奇函数，且在内是增函数；是偶函数，且在内是增函数；所以在内是增函数；在内是减函数；所以时，故选B3、B【解题分析】

分别将两个不等式解出来即可【题目详解】由得由得所以“”是“”的必要不充分条件故选：B【题目点拨】设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若AB,则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的必要不充分条件，若A=B，则p是q的充要条件.4、C【解题分析】

根据且，可依次排除，从而得到答案.【题目详解】由图象知，且中，，不合题意；中，，不合题意；中，，不合题意；本题正确选项：【题目点拨】本题考查函数图象的识别，常用方法是利用排除法得到结果，排除时通常采用特殊位置的符号来进行排除.5、A【解题分析】试题分析：假设当，能被13整除，当应化成形式，所以答案为A考点：数学归纳法6、D【解题分析】分析：对求导，令，即可求出函数的单调递减区间.详解：函数的定义域为，得到.故选D点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题.7、D【解题分析】试题分析：由可得：，又是递减数列，是递增数列，所以，即，由不等式的性质可得：，又因为，即，所以，即，同理可得：；当数列的项数为偶数时，令，可得：，将这个式子相加得：，所以，则，所以选D．考点：1．裂项相消法求和；2．等比数列求和；8、A【解题分析】

求出基本事件的总数和恰有1件次品包含的基本事件个数即可.【题目详解】在含有2件次品的6件产品中任取3件，基本事件的总数为：恰有1件次品包含的基本事件个数为在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为故选：A【题目点拨】本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.9、C【解题分析】

利用题设中递推公式，构造等比数列，求得等比数列的通项公式，即可求解.【题目详解】由题意，在数列中，，即可得数列表示首项，公比的等比数列，所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10、B【解题分析】分析：数，若有且仅有两个整数，使得，等价于有两个整数解，构造函数，利用导数判断函数的极值点在，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果..详解：因为所以函数，若有且仅有两个整数，使得，等价于有两个整数解，设，令，令恒成立，单调递减，又，存在，使递增，递减，若解集中的整数恰为个，则是解集中的个整数，故只需，故选B.点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解.11、C【解题分析】

直接利用基本不等式求解即可．【题目详解】由基本不等式可知，，当且仅当“m•2t＝21﹣t”时取等号，由题意有，，即，解得．故选：C．【题目点拨】本题考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于基础题．12、B【解题分析】试题分析：函数，的图象上所有点向左平移个单位长度得，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得，选B.考点：三角函数图像变换二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据题意得到圆柱底面圆半径为，高为，根据圆柱的体积公式，即可得出结果.【题目详解】因为圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则圆柱底面圆半径为，高为，所以该圆柱的体积是.故答案为：【题目点拨】本题主要考查旋转体的体积，熟记圆柱体积公式即可，属于基础题型.14、1．【解题分析】

可以求出集合M，N，求得并集中元素的个数，从而得出子集个数．【题目详解】∵M＝{﹣1，1}，N＝{1，2}；∴M∪N＝{﹣1，1，2}；∴M∪N的子集个数为23＝1个．故答案为：1．【题目点拨】本题考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算，子集的定义，以及集合子集个数的求法．15、a＜b【解题分析】

可先利用作差法比较两数平方的大小，然后得出两数的大小关系.【题目详解】解：因为，，所以，因为，所以，而，所以得到.【题目点拨】本题考查了综合法与分析法比较两数的大小关系，解题时可先用分析法进行分析，再用综合法进行书写解题过程.16、【解题分析】因为，所以。应填答案。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）4【解题分析】

（Ⅰ）首先判断函数是奇函数，再判断在和上单调递增，最后利用函数的性质化为简单不等式得到答案.（Ⅱ）先求出表达式，再利用换元法化简函数，求函数的最大值代入不等式解得的最大值.【题目详解】解：（Ⅰ）因为，所以函数是奇函数，又，所以在和上单调递增又，即，所以，即，解得或，故实数的取值范围为；（Ⅱ），令，∵，∴，∴，又时，∴在上为增函数，∴，∴的值域是∵恒成立，∴，，∴，的最大值为4.【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.18、(1);(2).【解题分析】分析：（1）求函数的导数，解便得增区间．（2）要使函数与在区间内恰有两个交点，也就是让函数在[1，3]内有两个零点，令，下面要做的就是考查在区间内最值情况，若有最大值，则限制最大值大于0，然后两个端点值都小于0，若有最小值，情况恰好相反．详解：（1），∵，时，，所以函数的单调递增区间是.（2）令，则，∴时，，时，，∴是的极大值，也是在上的最大值.∵函数与在区间内恰有两个交点，∴函数在区间内有两个零点，则有，，.所以有.解得，所以的取值范围是.点睛：利用导数求函数的单调区间，这个不难掌握，注意做第二题，，.，这几个限制条件的得出，并掌握做这类题的方法．.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用导数分析函数的单调性，求出函数的极值，然后令极值大于等于，解出不等式可得出实数的取值范围；（2）构造函数，问题等价于，对实数进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合条件可得出实数的取值范围.【题目详解】（1）函数的定义域为，.当时，，函数在区间上单调递减，此时，函数无极值；当时，令，得，又当时，；当时，.所以，函数在时取得极小值，且极小值为.令，即，得.综上所述，实数的取值范围为；（2）当时，问题等价于，记，由（1）知，在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，所以，①当时，由可知，所以成立；②当时，的导函数为恒成立，所以在区间上单调递增，所以.所以，函数在区间上单调递增，从而，命题成立.③当时，显然在区间上单调递增，记，则，当时，，所以，函数在区间上为增函数，即当时，.，，所以在区间内，存在唯一的，使得，且当时，，即当时，，不符合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，常利用分类讨论法，利用导数分析函数的单调性，转化为函数的最值来求解，考查分类讨论思想的应用，属于难题.20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（i）（ii）见解析【解题分析】

（Ⅰ）将代入解析式，并求得导函数及，由求得极值点并判断出单调性，并根据单调性可求得的最小值，由即可证明在上单调递增，从而由即可证明不等式成立；（Ⅱ）（i）由极值点意义可知有两个不等式实数根，分离参数可得，构造函数，并求得，分类讨论的符号及单调情况，即可确定的最小值，进而由函数图像的交点情况确定的取值范围；（ii）由（i）中的两个交点可得，代入解析式并求得且令，分离参数可得并代入中，求得，从而证明在上单调递增，即可由单调性证明不等式成立.【题目详解】（Ⅰ）当时，，，由解得.当时，当时所以在上单调递减，在上单调递增，，恒成立，所以在上单调递增，所以，原不等式得证.（Ⅱ）（i）若有两个极值点，则有两个根，又显然不是方程的根，所以方程有两个根.令，，当时，，且，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增；，且，，用直线截此图象，所以当，即时满足题意.（ii）证明：由（i）知，，∴，则，，所以在上单调递增，所以，即.原题得证.【题目点拨】本题考查了由导数证明不等式成立，导数与函数单调性、极值点和最值的综合应用，分离参数法与构造函数法的综合应用，函数极值点与零点、函数图像交点的关系，综合性强，属于难题.21、【解题分析】试题分析：若真，则，解得的范围，若真，则，且，解得的范围，由为真命题，为假命题，可得，中有且只有一个为真命题，即必一真一假，即可求得的范围.试题解析：若真，则，解得：.若真，则，且，解得：.∵为真命题，为假命题∴，中有且只有一个为真命题，即必一真一假①