江苏省南通市启东市2024届数学高二第二学期期末统考试题含解析

江苏省南通市启东市2024届数学高二第二学期期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设则A． B． C． D．2．全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是（）A． B． C． D．3．若直线（t为参数）与直线垂直，则常数k=（）A． B．6 C．6 D．4．函数在处的切线斜率为（）A．1 B． C． D．5．直线与曲线所围成的曲边梯形的面积为（）A．9 B． C． D．276．函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知函数，下面结论错误的是()A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数8．已知复数z满足(3-4i）z=|4+3i|，则A．-4B．-C．4D．49．如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为(

)A．6,8 B．6,6 C．5,2 D．6,210．如图，在菱形ABCD中，，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将绕对角线BD旋转，令二面角A－BD－C的平面角为，则在旋转过程中有（）A． B． C． D．11．将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为()A． B．C． D．12．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）A．（） B．（）C．（） D．（）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的道试题中，甲能答对其中的道，乙能答对其中的道，规定每次考试都从备选题中随机抽出道题进行测试，至少答对道题才算合格，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________.15．已知直线a，b和平面，若，且直线b在平面上，则a与的位置关系是______．16．曲线y=sinx(0≤x≤π)与直线y=1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:质量指标值频数2184814162（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X得分布列和数学期望.18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线，（）与曲线，分别交于两点，设定点，求的面积.19．（12分）已知，不等式的解集为.（1）求；（2）当时，证明：.20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分别将x轴、y轴于点M、N，求证：|AN|•|BM|为定值．21．（12分）为了研究玉米品种对产量的，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：高茎矮茎总计圆粒111930皱粒13720总计242650（1）现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；（2）根据玉米生长情况作出统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？附：0.050.013.8416.63522．（10分）设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(I)求复数z(II)若复数+m2(1+i)-2i十2m-5为纯虚数，求实数m的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由及可比较大小.【题目详解】∵，∴，即．又．∴．综上可知：故选C.【题目点拨】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.2、C【解题分析】分析：利用分布计数乘法原理解答即可.详解：全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是故选C.点睛：本题考查分布计数乘法原理，属基础题.3、B【解题分析】

由参数方程直接求出斜率，表示出另一直线的斜率，利用垂直的直线斜率互为负倒数即可求出参数k.【题目详解】由参数方程可求得直线斜率为：，另一直线斜率为：，由直线垂直可得：，解得：.故选B.【题目点拨】本题考查参数方程求斜率与直线的位置关系，垂直问题一般有两个方法：一是利用斜率相乘为-1，另一种是利用向量相乘得0.4、B【解题分析】

先对函数求导，然后代入切点的横坐标，即可求得本题答案.【题目详解】由，得，所以切线斜率.故选：B【题目点拨】本题主要考查在曲线上一点的切线斜率，属基础题.5、A【解题分析】直线x=0,x=3,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积为：.本题选择A选项.6、B【解题分析】

利用三角函数恒等变换，可得，，利用其为偶函数，得到，从而求得结果.【题目详解】因为，所以，因为为偶函数，所以，所以，所以的最小值为，故选B.【题目点拨】该题考查的是有关三角函数的图形平移的问题，在解题的过程中，需要明确平移后的函数解析式，根据其为偶函数，得到相关的信息，从而求得结果.7、D【解题分析】试题分析：,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数,函数的图像关于直线对称,函数是偶函数.考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.8、D【解题分析】试题解析：设z=a+bi(3-4i)z=(3-4i)(a+bi)=3a+4b+(3b-4a)i|4+3i|=∴3a+4b=53b-4a=0，解得考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念9、A【解题分析】

根据题意，应用乘原理，即可求解甲地经乙地到丙地的走法的种数，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的种数.【题目详解】由题意，从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得，共有种；再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有种走法，故选：A.【题目点拨】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题，其中正确理解题意，合理选择计数原理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10、B【解题分析】

首先根据旋转前后的几何体，表示和，转化为在两个有公共底边的等腰三角形比较顶角的问题，还需考虑和两种特殊情况.【题目详解】如图，绕旋转形成以圆为底面的两个圆锥，(为圆心，为半径，为的中点)，，，当且时，与等腰中，为公共边，，,.当时，,当时，,综上，。C.D选项比较与的大小关系，如图即比较与的大小关系，根据特殊值验证：又当时，,当时，，都不正确.故选B.【题目点拨】本题考查了二面角的相关知识，考查空间想象能力，难度较大，本题的难点是在动态的旋转过程中，如何转化和，从而达到比较的目的，或考查和两种特殊情况，可快速排除选项.11、A【解题分析】

利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程．【题目详解】∵伸缩变换，∴xx′，yy′，代入曲线y＝sin2x可得y′＝3sinx′故选：A．【题目点拨】本题考查代入法求轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．12、A【解题分析】设，由的图像可知，函数的周期为，所以，将代入得，所以，向右平移后得到.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、12【解题分析】

由题得高一学生数为，计算即得解.【题目详解】由题得高一学生数为.故答案为：12【题目点拨】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解题分析】

设事件表示甲考试合格，事件表示乙考试合格，计算出、，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为，由此能求出结果.【题目详解】设事件表示甲考试合格，事件表示乙考试合格，则，.则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.故答案为：.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．15、或【解题分析】

本题可以利用已知条件，然后在图中画出满足条件的图例，然后可以通过图例判断出直线与平面的位置关系．【题目详解】直线和平面，若，且直线在平面上，则与的位置关系是：或．如图：故答案为或．【题目点拨】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查直线与平面的位置关系的基本知识，考查推理能力，考查数形结合能力，当我们在判断直线与平面的位置关系时，可以借助图形判断．16、－【解题分析】做出如图所示：，可知交点为(π6,点睛：定积分的考察，根据题意画出图形，然后根据定积分求面积的方法写出表达式即可求解三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)30.2；(2)分布列见解析，400.【解题分析】

（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）的可能取值为：240，300，360,420,480，根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为，利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【题目详解】(1)样本的质量指标平均值为.根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，随机变量的取值为：240，300，360,420,480，；，，所以随机变量的分布列为：240300360420480.【题目点拨】本题主要考查直方图的应用，互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.18、（Ⅰ）,;（Ⅱ）．【解题分析】试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线的极坐标方程为．（Ⅱ）到射线的距离为，结合可求得试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．设，则，则有．所以，曲线的极坐标方程为．（Ⅱ）到射线的距离为，，则．19、（I）M＝(－2，2)．（Ⅱ）见解析【解题分析】试题分析：（1）将函数写成分段函数，再利用，即可求得M；（2）利用作差法，证明，即可得到结论．试题解析：（1），当时，，解得；当时，，解得；当时，恒成立；综合以上：（2）证明，只需，只需∵又∵，∴因此结果成立.考点：不等式证明；绝对值函数20、(1)+y2=1．(2)见解析.【解题分析】

（1）由题意可得：，，a2=b2+c2，联立解得：a，b．即可得出椭圆C的方程．（2）设P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．．可得直线BP，AP的方程分别为：y=x+1，y=（x-2），可得：M（，0），N（0，）．可得|AM|•|BN|为定值．【题目详解】解：（1）由题意可得：+=1，=，a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：+y2=1．（2）证明：设P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．+2=2．可得直线BP，AP的方程分别为：y=x+1，y=（x-2），可得：M（，0），N（0，）．∴|AM|•|BN|=（2-）（1-）=2--+==2为定值．【题目点拨】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、直线方程，考查了