山西省临汾市2024届数学高二第二学期期末考试试题含解析

山西省临汾市2024届数学高二第二学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列参数方程可以用来表示直线的是（）A．（为参数） B．（为参数）C．（为参数） D．（为参数）2．抛物线和直线所围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．3．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为A． B．C． D．4．已知一个等比数列，这个数列，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知是抛物线上一点，则到抛物线焦点的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．66．已知变量，满足回归方程，其散点图如图所示，则（）A．， B．，C．， D．，7．函数f（x）＝（x2﹣2x）ex的图象可能是（）A． B．C． D．8．通过随机询问名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：男女总计爱好不爱好总计由算得参照附表，得到的正确结论（）A．我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”B．我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关”C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”9．设，则（）A． B． C． D．10．二项式的展开式的各项中，二项式系数最大的项为()A． B．和C．和 D．11．随机变量服从正态分布，则的最小值为（）A． B． C． D．12．已知双曲线的离心率为,过其右焦点作斜率为的直线，交双曲线的两条渐近线于两点（点在轴上方），则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.14．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）15．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=016．定义在上的偶函数满足，且，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒？（精确到1秒）（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度.（精确到0.1cm）18．（12分）某小组共有10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.19．（12分）某企业响应省政府号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表是设备改造后的样本的频数分布表.表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值频数（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据频率分布直方图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行登记细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价元；其它的合格品定为三等品，每件售价元.根据表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.附：20．（12分）如图所示圆锥中，为底面圆的两条直径，，且，，为的中点.求:（1）该圆锥的表面积；（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标系中，弧所在圆的圆心分别为，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出的极坐标方程；（2）直线的参数方程为（为参数），点的直角坐标为，若直线与曲线有两个不同交点，求实数的取值范围，并求出的取值范围.22．（10分）已知椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，P是椭圆E上位于第一象限的一点（1）若三角形PF1F2的面积为，求点P的坐标；（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，求d的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

选项A:利用加减消元法消参,并求出的取值范围,即可判断出所表示的图形；选项B：利用加减消元法消参,并求出的取值范围,即可判断出所表示的图形；选项C：利用加减消元法消参,并求出的取值范围即可判断出所表示的图形；选项D：利用同角的三角函数关系式进行消参即即可判断出所表示的图形,最后选出正确答案.【题目详解】选项A:,而,所以参数方程A表示的是直线；选项B：,而,所以参数方程B表示的是射线；选项C：,而,所以参数方程C表示的是线段；选项D：,所以参数方程D表示的是单位圆,故选A.【题目点拨】本题考查了参数方程化为普通方程,并判断普通方程所表示的平面图形,求出每个参数方程中横坐标的取值范围是解题的关键.2、C【解题分析】

先计算抛物线和直线的交点，再用定积分计算面积.【题目详解】所围成的封闭图形的面积是：故答案为C【题目点拨】本题考查了定积分的应用，意在考查学生应用能力和计算能力.3、A【解题分析】

由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案.【题目详解】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A.【题目点拨】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题.4、B【解题分析】

根据等比数列性质列式求解【题目详解】选B.【题目点拨】本题考查利用等比数列性质求值，考查基本分析求解能力，属基础题.5、B【解题分析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离．详解：由抛物线方程可得抛物线中，则利用抛物线的定义可得点到抛物线焦点的距离．故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6、D【解题分析】

由散点图知变量负相关，回归直线方程的斜率小于1；回归直线在y轴上的截距大于1．可得答案.【题目详解】由散点图可知，变量之间具有负相关关系．

回归直线的方程的斜率．

回归直线在轴上的截距是正数．

故选：D【题目点拨】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．7、B【解题分析】

根据函数值的正负，以及单调性，逐项验证.【题目详解】，当或时，，当时，，选项不正确，，令，当或，当，的递增区间是，，递减区间是，所以选项不正确，选项正确.故选:B.【题目点拨】本题考查函数图像的识别，考查函数的单调性和函数值，属于基础题.8、A【解题分析】分析：对照临界值表，由，从而可得结果.详解：根据所给的数据，，而，有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”，故选A.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.9、A【解题分析】

根据复数除法运算得到，根据复数模长定义可求得结果.【题目详解】，.故选：.【题目点拨】本题考查复数模长的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.10、C【解题分析】

先由二项式，确定其展开式各项的二项式系数为，进而可确定其最大值.【题目详解】因为二项式展开式的各项的二项式系数为，易知当或时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第三项和第四项.故第三项为；第四项为.故选C【题目点拨】本题主要考查二项式系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.11、D【解题分析】

利用正态密度曲线的对称性得出，再将代数式与相乘，展开后可利用基本不等式求出的最小值．【题目详解】由于，由正态密度曲线的对称性可知，，所以，，即，，由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选D.【题目点拨】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．12、B【解题分析】

由双曲线的离心率可得a＝b，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），联立渐近线方程，求得B，C的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值．【题目详解】由双曲线的离心率为，可得ca，即有a＝b，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），由y＝x和y＝2（x﹣c），可得B（2c，2c），由y＝﹣x和y＝2（x﹣c）可得C（，），设λ，即有0﹣2c＝λ（0），解得λ＝1，即则1．故选：B．【题目点拨】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-2【解题分析】试题分析：因为，所以由，因此【考点】二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.14、24【解题分析】

首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【题目详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【题目点拨】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.15、4.【解题分析】

将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【题目详解】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时，切点Q即为点P到直线x+y=0由y'=1-4x2即切点Q(2则切点Q到直线x+y=0的距离为2+3故答案为：4．【题目点拨】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.16、【解题分析】

根据题意，分析可得有，即函数是周期为6的周期函数，进而可得，结合函数的奇偶性分析可得答案．【题目详解】根据题意，函数满足，则有，

则函数是周期为6的周期函数，

则，

又由为偶函数，则，

故；

故答案为：．【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)一沙时为1986秒;(2)沙堆高度约为2.4cm.【解题分析】

（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，底面半径为39.71（秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，设高为锥形沙堆的高度约为2.4cm.18、（I）；（II）.【解题分析】

（I）和为4次有两种情况，一个是1次一个是3次与两个都是2次；（II）随机变量的所有可能取值有三种，为0,1,2，分别求出其概率即可求解.【题目详解】（I）由已知得：，所以，事件发生的概率为.（II）随机变量的所有可能取值为0,1,2；计算，，；所以，随机变量的分布列为：012随机变量的数学期望为：.【题目点拨】本题考查随机事件的概率、分布列及其期望.19、(1)列联表见解析；有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．(2)设备改造后性能更优．(3)分布列见解析；.【解题分析】分析：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成列联表，求出，与临界值比较即可得结果；（2）根据频率分布直方图和频数分布表，可得到设备改造前产品为合格品的概率和设备改造后产品为合格品的概率，从而可得结果；（3）随机变量的取值为：，利用古典概型概率公式，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．完成下面的列联表：设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计将列联表中的数据代入公式计算得：∵，∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．可知，设备改造前产品为合格品的概率约为设备改造后产品为合格品的概率约为设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.由已知得：随机变量的取值为：．∴随机变量的分布列为：∴.点睛：本题主要考查直方图的应用、离散型随机变量的分布列与期望，以及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.20、(1)；(2).【解题分析】

(1)先计算出圆锥的母线长度，然后计算出圆锥的侧面积和底面积，即可计算出圆锥的表面积；(2)连接，根据位置关系可知异面直线与所成的角即为或其补角，根据线段长度即可计算出的值，即可求解出异面直线所成角的大小.【题目详解】(1)因为，所以，所以圆锥的侧面积为：，圆锥的底面积为：，所以圆锥的表面积为：；(2)连接，如下图所示：因为为的中点，为的中点，所以且，所以异面直线与所成的角即为或其补角，因为，，，所以平面，因为平面，所以，所以，所以异面直线与所成的角的大小为：.【题目点拨】本题考查圆锥的表面积计算以及异面直线所成角的求解，难度较易.(1)圆锥的表面积包含两部分：侧面积、底面积；(2)求解异面直线所成角的几何方法：将直线平移至同一平面内，即可得到异面直线所成角或其补角，然后根据线段长度即可求解出对应角的大小.21、（1）；；；，或（2），【解题分析】

（1）设弧上任意一点根据ABCD是边长为2的正方形，AB所在的圆与原点相切，其半径为1，求得，同理求得其他弧所对应的极坐标方程.（2）把直线的参数方程和的极坐标方程