2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-三角形的外接圆与外心

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--三角形的外接圆与外心1．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．3．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=32，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径．4．如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）.（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2∶1；（2）求△ABC中AC边上的高；（3）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为5．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE（1）若∠CBD＝35°，求∠BAC及∠BEC的度数（2）求证：DE＝DB6．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）.（1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A1B1C1（△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）.（2）利用方格纸标出△A1B1C1外接圆的圆心P，P点坐标是，⊙P的半径=.（保留根号）7．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）．（1）①在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标；②将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到△A′B′C，画出旋转后的△A′B′C；（2）求△ABC旋转过程中点A经过的路径长．8．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的圆中，圆心角∠BOC=°，圆的半径为，劣弧BC的长为．9．八上教材给出了命题“如果△ABC≅△A′B′C′，AD，A′（问题提出）（1）在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是△ABC和△A′（i）小红的思考如图，先任意画出一个△ABC，然后按下列作法，作出一个满足条件的△A①作△ABC的外接圆O②过点A作AA′//BC，与③连接A′B′（点B′与C重合），A′C请说明小红所作的△A（ii）小明的思考如图，对于满足条件的△ABC，△A′B′C′和高AD，A′D′；小明将△A′B′C接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明.如图，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是△ABC和△10．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；②若AB=2，当∠CAB的度数为时，四边形DEFG是正方形．11．如图，点P为抛物线L：y＝a（x﹣2）（x﹣4）（其中a为常数，且a＜0）的顶点，L与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线，与L交于点A，过点A作x轴的垂线，与射线OP交于点B，连接OA（1）a＝﹣2时，点P的坐标是，点B的坐标是；（2）是否存在a的值，使OA＝OB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由（3）若△OAB的外心N的坐标为（p，q），则①当点N在△OAB内部时，求a的取值范围；②用a表示外心N的横坐标p和纵坐标q，并求p与q的关系式（不写q的取值范围）．12．如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求AG的长；（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．13．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD.（1）求证：△ACE≌△BCD.（2）若CD＝2，BD＝32，求⊙O的半径.（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO.（用含有a，b的代数式表示）14．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝22（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；（2）设D为抛物线对称轴上一点.①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围.15．如图，抛物线y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A，B（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是直线AC上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足AE=OA，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为(t，0)，0<t<3，△AEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值.16．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交⊙O于E，连接BE，BI．若IB平分∠ABC，EB=EI．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若BA=5，OI⊥AD于I，求CD的长．

答案解析部分1．【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线，再在弧AB上任取一点C，连接AC，然后作弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以OA为半径画圆即为所求图形.如图.（2）解：过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB，

∴BD=12AB，

又∵AB=16cm，

∴BD=8cm，

又∵ED=4cm，

设半径为xcm，则OD=（x-4）cm，

在Rt△BOD中，

∴（x-4）2+82=x2，

∴x=10，

故答案为：10cm.

2．【答案】（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；（2）证明：连接BO，∵∠ABC=90°，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．3．【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，∵sinB=AEAB∴AE=ABsinB=32sin45°=32×22∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=AEEC∴EC=AEtan∠ACB=3tan60∘∴BC=BE+EC=3+3（2）解：连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°=ACAM=23AM解得：AM=4，∴⊙O的半径为24．【答案】（1）解：如图所示：△DEF即为所求；（2）解：设AC边上的高为x，由题意可得：1解得x=10（3）（2，6）5．【答案】（1）解：在外接圆中，∵∠CBD=35°，∵∠CAD=35°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠CAD=70°，∴∠EBC+∠ECB=（180°-70°）÷2=55°，∴∠BEC=180°-55°=125°（2）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC，∵∠DEB=∠BAD+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD，∴∠DEB=∠DBE，∴DE=DB.6．【答案】（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）（3，1）；107．【答案】（1）解：①如图，点D为所作，D点坐标为（3，2）；②如图，△A'B'C为所作；（2）解：CA=2所以△ABC旋转过程中点A经过的路径长＝90×π×28．【答案】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；（2）90；1；129．【答案】（1）解：（i）∵AA∴∠A∵∠A∴∠A又∵∠B′A∴△A（ii）根据相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质解题：①AMCM=MA′MC；（拓展延伸）（2）解：如图，在A′D′上截取A′E=AD，过点E作FG//B′C′∵FG//B∴∠A′EG=∠∵A′D′∴A′∴∠A∴A′E⊥FG，即A′又∵△A′FG∼△A′B′C′∴A′又ADA′D∴FGB∴FG=BC，在△ABC和△A′FG中，AD，A′EBC=FG，∠BAC=∠FA′G由（1）可知△A∴△ABC∼△A10．【答案】（1）解：四边形DEFG是平行四边形．∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，∴DG∥AB，DG=12AB，EF∥AB，EF=1∴DG∥EF，DG=EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）3211．【答案】（1）（3，2）；（6，4）（2）解：不存在a的值使OA＝OB，理由如下：∵抛物线L：y＝a（x﹣2）（x﹣4）＝ax2﹣6ax+8a＝a（x﹣3）2﹣a∴顶点P（3，﹣a），C（0，8a）∴直线OP解析式为：y＝﹣a3∴A（6，8a）∴yB＝﹣a3∵a≠0∴|yA|≠yB，即x轴不平分AB∴OA≠OB（3）解：①∵△OAB的外心N在其内部∴△OAB是锐角三角形∴∠AOB＜90°∴OA2+OB2＞AB2∵A（6，8a），B（6，﹣2a）∴62+（8a）2+62+（﹣2a）2＞（8a+2a）2解得：﹣32②∵外心N在AB的垂直平分线上，AB⊥x轴∴q＝−2a+8a2∴N（p，3a），a＝q∵ON＝AN，即ON2＝AN2∴p2+（3a）2＝（6﹣p）2+（8a﹣3a）2整理得：p＝34a2把a＝q3代入得：p＝427q12．【答案】（1）解：连接OG．∵∠AOG=2∠ACF=60°，OA=4，∴AG的长=60⋅π⋅4180=4（2）解：结论：BF是⊙O的切线．理由：连接OB．∵AC是直径，∴∠CBA=90°，∵BC=BA，OC=OA，∴OB⊥AC，∵FH⊥AC，∴OB∥FH，在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，∴FH=12CF，∵CA=CF，∴FH=12AC=OC=OA=OB，∴四边形BOHF是平行四边形，∵∠FHO=90°，∴四边形BOHF是矩形，∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切线．13．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCDAC=BC∴△ACE≌△BCD（ASA）（2）解：∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝32，∴DE＝22，AE＝32，∴AD＝52，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝AD2+B∴⊙O的半径为17（3）解：法一：过O作OH⊥AD于H，如图：∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝2a，CF＝22∵F为DE的中点，∴CF＝DF＝12DE＝2∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝b，∴AD＝ED+AE＝2a+b，∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，∴OH∥BD，∵AO＝OB，∴OH＝12OB＝12b，DH＝12AD＝22a+12∴HF＝DH﹣DF＝（22a+12b）﹣22在Rt△OHF中，FO＝OH2+H∴CF+FO＝22a+2法二：延长AD至点H，使DH＝AE，连接BH，如图：由（1）得△ACE≌△BCD，∴BD＝AE＝DH，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠BDH＝90°，∴△BDH为等腰直角三角形，∵BD＝b，∴BH＝2b，∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝2a，CF＝22而DH＝AE，∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，∴F为AH中点，∵O为AB中点，∴FO＝12BD＝2∴CF+FO＝22a+214．【答案】（1）解：由题意可知，∠COA=90°，∴tan∠CAO=OC∴OC=3OA，∠CBO=45°，∴OC=OB，∵抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，∴C（0，n），抛物线对称轴为x=−−4m∴OC=n，∴OA=13n∴A（13∴n+1∴n=3，∴C（0，3），B（3，0），A（1，0），∴把A（1，0）代入抛物线解析式得：m−4m+3=0，∴m=1，∴抛物线解析式为y=x（2）解：①当△BCD的外接圆圆心在△BCD边上时，△BCD是直角三角形，∵D为抛物线对称轴上的一点，∴设D（2，a）∵C（0，3）B（3，0），∴CD2=(2−0)2当C为直角顶点时，DC2+B解得a=5，∴D（2，5）；当D为直角顶点时，DC2+B解得a=3±∴D（2，3+172）或（0，当B为直角顶点时，BC2+B解得a=-1，∴D（2，-1）；∴综上所述：D（2，5）或D（2，3+172）或（0，②由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，△BCD是锐角三角形，其中D1是C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置，∴3+172<n<515．【答案】（1）解：在y=ax令y＝0，得：ax解得：x1＝3，x2＝−1，∴B（−1，0），A（3，0），∴OA＝3，∵OA＝OC，∴OC＝3，∴C（0，−3），∴−3a＝−3，∴a＝1，∴抛物线解析式为：y=（2）解：设直线AC解析式为y＝kx＋b，∵A（3，0），C（0，−3），∴3k＋b＝0b＝−3，解得：k＝1∴直线AC解析式为：y＝x−3，设M点坐标为（m，m2−2m−3），∵PM⊥x轴，∴P（m，m−3），∴PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴CA＝2OA，∴CP＝2m，∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y轴，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，∴2m=−m2＋3m，解得：m1＝0（舍去），m2＝3−2，∴当m＝3−2时，m−3＝−2，∴P（3−2，−（3）解：作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，∵EF⊥x轴，∴∠AFE＝90°，∴∠FAE＋∠FEA＝90°，∵△AEF的内心为I，∴AI，EI分别平分∠FAE，∠