北师大版八年级上册数学全册教学课件

1.1探索勾股定理第一章勾股定理第1课时勾股定理1．会用数格子的办法体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系．2．能利用勾股定理进行简单的计算和实际应用．学习目标【学习重点】勾股定理的探索及利用勾股定理进行计算．【学习难点】用测量和数格子的方法探索勾股定理．我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边．对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系．那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理．情景导入生成问题勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理，加之反映勾股定理内容的图形形象直观，数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号．自学互研生成能力知识模块一探索勾股定理如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？1．在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流．自主探究自主探究发现直角三角形的性质2．观察教材图1－2，正方形A中有____个小方格，即A的面积为____个面积单位．正方形B中有____个小方格．即B的面积为____个面积单位．正方形C中有_____个小方格，即C的面积为_____个面积单位．你是怎样得出上面结果的？教材图1－2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？99991818归纳得出结论：SA＋SB＝SC.ABCABC3．教材图1－3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？合作探究与同伴进行交流哦!ABCABC4．如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由．议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ABCABC问题：观察右边两幅图完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.A的面积B的面积C的面积左图右图4？怎样计算正方形C的面积呢？9169拓展探究？方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据:A的面积B的面积C的面积左图49右图1691325拓展问题：（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？abcabca2+b2=c2（2）以5cm、12cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍然成立吗？成立！【归纳结论】定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．这就是著名的“勾股定理”．推论：也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.由来：我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来．在很多国家文献中又被称为毕达哥拉斯定理.知识模块二利用勾股定理计算求值例：求出下列直角三角形中未知边AB的长度．典例讲解解：(1)∵∠B＝90°，∴AC是斜边，根据勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2.∴AB2＝AC2－BC2＝202－122＝400－144＝256.∴AB＝16；解：(2)∵∠C＝90°，∴AB是斜边，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝72＋242＝625.∴AB＝25.例：求斜边长为17cm、一条直角边长为15cm的直角三角形的面积.解：设另一条直角边长是xcm.由勾股定理得：152+x2=172，x2=172-152=289–225=64，解得x=±8（负值舍去），所以另一直角边长为8cm，

故直角三角形的面积是：

(cm2).典例讲解1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为

.8cm10cm36cm²随堂练习2.判断题.①△RtABC的两直角边AB=5,AC=12,则斜边BC=13.()②△ABC的两边a=6,b=8,则c=10.()3.填空题在△ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC的面积为_____,斜边上的高CD为______.√

244.8ABCD4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?ABC解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，所以BC=0.7.答：梯脚与墙的距离是0.7米.认识勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c

，那么a2+b2=c2

利用勾股定理进行计算课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家1.1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证及简单应用1．会利用拼图法、等积法验证勾股定理的正确性．2．能利用勾股定理解决简单实际问题．学习目标【学习重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理．【学习难点】应用勾股定理解决实际问题．旧知回顾：情景导入生成问题1．勾股定理：Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边为c，那么_____________．2．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是()A．48

B．60

C．76

D．80a2＋b2＝c2C3．如果一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为(

)A．4B.C．4或

D．以上都正确旧知回顾：C自学互研生成能力知识模块一勾股定理的验证合作探究：1．画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流．bac图1－42．为了计算教材图1－4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P5

1－5、1－6图．图1－5bacABCD图1－6bacABCD(1)将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；(2)教材图1－5、1－6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流．(3)你能分别利用教材图1－5、1－6验证勾股定理吗？图1－5bacABCD图1－6bacABCD勾股定理的证明方法达300多种，你有自己的方法吗？问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？aaaabbbbcccc方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．验证【方法一】大正方形的面积可以表示为________；也可以表示为___________.(a+b)2c2+4·ab/2∵(a+b)2=

c2+4·ab/2a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2cbacab验证【方法二】：赵爽弦图cab大正方形的面积可以表示为______；也可以表示为__________________.∵c2=4·ab/2

+(b-a)2

=2ab+b2-2ab+a2

=a2+b2∴a2+b2=c2c24·ab/2+(b-a)2caabc①②③④⑤验证【方法三】

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……勾股定理的“总统”证法课外拓展于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．

1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法．

1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法．

美国【总统】证法bcabcaABCD观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.议一议：例1：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?公路BCA400m500m解:由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m），即它行驶的速度为108km/h.知识模块二利用勾股定理解决实际问题典例讲解4km5km54CBA例2：飞机在空气中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形．如图，图中△ABC的∠C＝90°，

AC＝4000米，AB＝5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB＝5000米，AC＝4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．54CBA解：由勾股定理得BC2＝AB2－AC2＝52－42＝9(千米)，即BC＝3千米，飞机20秒飞行3千米．那么它1小时飞行的距离为：×3＝540(千米/时)，答：飞机每小时飞行540千米．54CBA1.在直角三角形中，满足条件的三边长可以是

．(写出一组即可)【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2即可.答案：3，4，5（满足题意的均可）随堂练习2.如图,一根旗杆在离地面9m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12m处.旗杆原来有多高?12m9m解：设旗杆顶部到折断处的距离为xm，

根据勾股定理得解得x=15,15+9=24(m).答：旗杆原来高24m.探索勾股定理勾股定理的验证勾股定理的简单运用课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家第一章勾股定理1.2一定是直角三角形吗1．会用勾股定理逆定理判定三角形是不是直角三角形．2．理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数．学习目标【学习重点】探索并掌握直角三角形的判别条件．【学习难点】运用直角三角形判别条件解题．情景导入生成问题一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按要求操作．甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结．乙：握住第四个结．丙：握住第八个结．拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形中的最大角．发现这个角是多少度？古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的三角形才能成为直角三角形呢？这就是我们今天要研究的内容．

问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角?

用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第9个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形,其直角在第1个结处.自学互研生成能力知识模块一直角三角形的判定与勾股数做一做：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.回答下列问题:1.这三组数都满足a2+b2=c2吗？2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，

它们都是直角三角形吗？3.如果三角形的三边长为a、b、c，并满足a2＋b2＝c2.

那么这个三角形是直角三角形吗？实验结果：

①5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;②7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;③8,15,17满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形.简要说明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB,在C1N上截取C1A1=b=CA,连接A1B1.在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2.∴A1B1=AB，∴△ABC≌△A1B1C1.（SSS）∴∠C=∠C1=90°，∴△ABC是直角三角形.acbACBbaC1MNB1A1在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.你能否判断△ABC是直角三角形？并说明理由.如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．【归纳总结】满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a2＋b2＝c2时，三角形为直角三角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直．例1：一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗?知识模块二直角三角形判定的应用典例讲解图1图2在△BCD中，

所以△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.解：在△ABD中，

所以△ABD

是直角三角形，∠A是直角.图2典例讲解例2：如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝12，CD＝13，DA＝4，且∠DAB＝90°，求这个四边形的面积．分析：四边形ABCD是不规则的四边形，连接BD把四边形ABCD转化成两个三角形，△ABD是直角三角形，其面积可求出，若△BCD也是直角三角形的话，四边形ABCD的面积便可求得．解：连接BD.在△ABD中，∠DAB＝90°，∴BD2＝AB2＋AD2＝32＋42＝25，∴BD＝5.在△DBC中，DB2＋BC2＝52＋122＝25＋144＝169，CD2＝132＝169，∴DB2＋BC2＝CD2，∴△DBC是直角三角形．∴∠DBC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△DAB＋S△DBC＝×3×4＋×5×12＝36.1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是

()A.3:4:7B.5:12:13C.1:2:4D.1:3:52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形BA随堂练习3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形,依次得到的面积是25,144,169,则这个三角形是______三角形.直角随堂练习4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么?解：是直角三角形.因为a2+b2=c2满足勾股定理的逆定理.5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.由勾股定理知：

BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，

BF2=32+42=25,∴BE2+EF2=BF2,∴△BEF是直角三角形.一定是直角三角形吗勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家第一章勾股定理1.3勾股定理的应用1．会利用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．2．能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力．学习目标【学习重点】能综合应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．【学习难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决实际问题．情景导入生成问题前几节课我们学习了勾股定理,你还记得它有什么作用吗？例如，欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？日常生活当中，我们还会遇到下面的问题．例如：从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由．两点之间，线段最短．自学互研生成能力知识模块一利用勾股定理解决立体图形的最短路程问题问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的取值3)(1)同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？(2)如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形．现在就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图)．我们不难发现几走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A→B.哪条路线是最短呢？第(4)条路线A→B最短．【归纳结论】

你画对了吗？因为“两点之间的连线中线段最短”．蚂蚁怎么走最近？【归纳结论】

BAdABA'ABBAOA'√若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则：BA3O12侧面展开图123πAB方法归纳：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.A'A'拓展探究∴AB=15例：有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）ABABA'B'解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.∵AA'=2×3×2=12,A'B'=5,∴AB'=13.答：梯子最短需13米.典例讲解数学思想：立体图形平面图形转化展开【归纳】连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.AB2+BC2=AC2△ABC为直角三角形知识模块二勾股定理与逆定理的综合应用做一做：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，点B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？在△ABD中，AD＝30cm，AB＝40cm，BD＝50cm，因为AD2＋AB2＝302＋402

＝900＋1600＝2500，BD2＝502＝2500，所以AD2＋AB2＝BD2，所以△ABD是直角三角形，所以∠DAB＝90°所以AD⊥AB.（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？测量方法不唯一；例如在AD边上测量一段AE＝6cm，在AB边上测量一段AF＝8cm，再测量点E，F两点间的距离EF，若EF＝10cm，由AE2＋AF2＝62＋82＝36＋64＝100＝EF2，可知△AEF是直角三角形，且∠EAF＝90°，∴DA⊥AB.边BC与边AB是否垂直可以用类似的方法测量．数学思想：实际问题数学问题转化建模【归纳】1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cmB随堂练习2．有一个高为1.5m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5m，问这根铁棒有多长？解:设伸入油桶中的长度为xm,则最长时：最短时,x=1.5所以最长是2.5+0.5=3(m).答:这根铁棒的长应在2～3m之间.所以最短是1.5+0.5=2(m).3.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.DABC勾股定理的应用立体图形中两点之间的最短距离勾股定理的实际应用课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家2.1认识无理数第2章实数1．感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．2．感受无理数存在的必要性和合理性．学习目标【学习重点】了解无理数与有理数的区别，并能正确判断．【学习难点】把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程．同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？情景导入生成问题对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？在小学我们学过自然数、小数、分数．在初一我们还学过负数．下面我们就来共同研究这个问题．自学互研生成能力知识模块一现实生活中非有理数的存在拼一拼：请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？展示拼图的结果下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

a可能是整数吗？A可能是分数吗？【归纳结论】

因为12＝1，22＝4，32＝9，…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数；又，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数．做一做：大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由．a不是有理数.那是不是一种什么数呢？知识模块二无理数的概念自主探究能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？a究竟是多少？12a面积为2（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？（2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？（3）请大家用计算器探索，用表格的形式整理.12a面积为2借助计算器探索过程整理如下：边长a面积S1<a<21.4<a<1.51.41<a<1.421.414<a<1.4151.4142<a<1.41431<S<41.96<S<2.251.9881<S<2.01641.999396<S<2.0022251.99996164<S<2.00024449还可以进行下去吗？a是有限小数吗？【归纳结论】

如：圆周率π＝3.14159265…也是一个无限不循环小数；再如0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数．而3，，0.38，0.1，它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数．像这种无限不循环小数就叫做无理数．使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.议一议：例下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，，

，0.11…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.解：有理数有：3.14，，；

无理数有：0.11….相邻两个1之间0的个数逐次加2）

想一想：下列各数：1，(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】无限不循环小数是无理数，其中(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.A随堂练习认识无理数无理数的概念及认识借助计算器求无理数的近似值课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家2．2平方根第1课时算术平方根1．理解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．2．理解算术平方根的性质，并能运用性质解决问题．学习目标【学习重点】算术平方根的性质．【学习难点】算术平方根性质的应用．上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．情景导入生成问题比如在a2＝2中，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2＝a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题．自学互研生成能力知识模块一探索勾股定理阅读教材第26页例1前面的部分内容，完成课本中设计的填空问题．下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2＝____，y2＝____，z2＝____，w2＝____.2345请大家分析一下，x、y、z、w中哪些是有理数，哪些是无理数？因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x、y、w不是有理数，而是无理数，即x＝，y＝，w＝.因为22＝4.所以z＝2，是有理数．【归纳结论】若一个正数x的平方等于a，即x2＝a，则这个正数x就叫做a的算术平方根．记为“”，读作“根号a”．特别地规定0的算术平方根是0，即＝0.知识模块二求一个数的算术平方根自学自研教材第26页的例1.例1：求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)；(4)14．【归纳结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的．在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化．非平方数的算术平方根只能用根号表示.解:(1)因为302＝900，所以900的算术平方根是30，

即=30

;(2)因为12＝1，所以1的算术平方根是1即；(3)因为，所以的算术平方根是，

即;(4)14的算术平方根是.例2：自由下落物体下落的距离s（米）与下落时间t（秒）的关系为

．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解：将s＝19.6代入公式，得

，所以正数

(秒).即铁球到达地面需要2秒.合作探究算术平方根的性质：非负数算术平方根具有双重非负性(a≥0)问题1：负数有算术平方根吗？问题2：一个非负数的算术平方根可能是负数吗？1.填空题：①若一个数的算术平方根是7，那么这个数是____；②的算术平方根是_____；③的算术平方根是_____；④若，则

．1649随堂练习解：设每块地板砖的边长为xm.由题意得故每块地板砖的边长是0.5m.2.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？240x²=60算术平方根算术平方根的概念算术平方根的双重非负性算术平方根的应用课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家2.2平方根第2课时平方根1．理解数的平方根的概念，以及开平方的概念，会用

根号表示一个数的平方根．2．掌握平方根的性质，并能应用平方根的性质解决问

题．学习目标【学习重点】平方根的性质．【学习难点】平方根性质的应用．上节课我们学习了算术平方根的概念、性质．情景导入生成问题知道若一个正数x的平方等于a，即x2＝a.则x叫a的算术平方根，记作x＝，而且也是非负数，比如正数22＝4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是(－2)2＝4，则－2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题．自学互研生成能力知识模块一平方根、开平方的概念先阅读教材第27页下面“想一想”和教材第28页例3前面的部分内容，然后完成下面问题的学习探究．请大家思考两个问题：(1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？(2)平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？3的平方等于9，－3的平方也等于9，3是9的算术平方根，－3是9的平方根，平方等于的数有两个，即和，平方等于0.64的数也有两个，即0.8和－0.8.【归纳结论】3和－3的平方都等于9，由定义可知：3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，

9的算术平方根只有一个是3.【归纳结论】一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫a的平方根(square

root，也叫二次方根)由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？【归纳结论】

联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有．(3)0的平方根、算术平方根都是0.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”．(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个．(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个．知识模块二平方根的性质什么叫开平方呢？我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联系？先阅读教材第28页“议一议”的内容，然后解答下列问题：请大家思考下面的问题：(1)一个正数有几个平方根？(2)0有几个平方根？(3)负数呢？一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0；负数没有平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数.正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是-，它们互为相反数.这两个平方根合起来可以记作±，读作“正、负根号a”知识模块三求一个数的平方根求下列各数的平方根:(1)64；(2)(4)

(5)

11.(3)0.0004；解：（1）∵，∴64的平方根为±8;（2）∵，∴的平方根为;

（3）∵，∴0.0004的平方根为±0.02;（4）∵，∴的平方根为±25;

（5）11的平方根是.

知识模块四()²＝a(a≥0)合作探究完成教材第28页“想一想”的学习与探究．(1)()2等于多少？(2)()2等于多少？(3)对于正数a，()2等于多少？根据平方根的定义求解2.下列说法不正确的是______A.0的平方根是0B.的平方根是2C.非负数的平方根互为相反数D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数1.下列说法正确的是_________①-3是9的平方根;②25的平方根是5;

③-36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0;⑤64的算术平方根是8.①④⑤B随堂练习3.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（

）

A.a+1B.C.a2+1D.D4.已知，求x的值．解：∵∴∴x=12或x=－10.随堂练习平方根平方根的概念开平方及相关运算平方根的性质课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家第2章实数2.3立方根1．理解立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根．2．会用开立方求某些数的立方根．学习目标【学习重点】立方根的概念和性质．【学习难点】立方根与平方根的区别与联系．情景导入生成问题上节课我们学习了平方根的定义，若x2＝a，则x叫a的平方根，即x＝±.正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3＝8，那么a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3＝a，则x叫a的什么呢？自学互研生成能力知识模块一立方根的概念及开立方先阅读教材第30页和第31页例1前面的部分内容，然后完成下面问题的学习．下面大家能不能根据平方根的定义和记法来类推立方根的定义和记法呢？【归纳结论】若一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube

root；也叫三次方根)．记为x＝，读作x等于三次根号a，如2是8的立方根，是的立方根，0是0的立方根．大家能否由开平方的定义，再类推开立方的定义呢？【归纳结论】

求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数．a叫做被开方数3叫做根指数注意:这个根指数3绝对不可省略.知识模块二立方根的性质(1)2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8?(2)－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27?(3)0的立方等于多少？0有几个立方根？自主探究【归纳结论】

正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根有一个，是0.知识模块三求一个数的立方根自主探究自学自研教材第31页例1的学习与探究，若遇到困难请与同伴进行交流．例如：(1)-27所以-27的立方根是-3;解:因为合作探究师生合作完成教材第31页“想一想”和例2的学习与探究．知识模块四分析答案，提出疑惑，共同解决.()1.判断下列说法是否正确.×(2)任何数的立方根都只有一个;

()(3)如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零;

()××(5)0的平方根和立方根都是0.()√(1)25的立方根是5;()(4)一个数的立方根不是正数就是负数;√随堂练习2.将体积分别为600cm3和129cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？解:因为600+129=729，729的立方根是9，所以正方体的棱长为9cm.3.求下列各式的值解:（1）（2）

（3）立方根立方根的概念及性质开立方及相关运算课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家2.4估算第2章实数1．能通过估算检验计算结果的合理性，并估计一个无理数的大致范围．2．会通过估算比较两个数的大小．学习目标【学习重点】用估算的方法求无理数的近似值．【学习难点】用估算的方法比较两个数的大小．在前面我们已经了解了估算一个根号表示的无理数一般是采用夹逼的方法．例如要估算20的大小，首先要找出20邻近的完全平方数．情景导入生成问题在日常生活中，往往要遇到估算一个比较大的数的平方根或立方根，我们怎么办呢？通过下面的学习你就明白了．自学互研生成能力知识模块一用估算法确定无理数的大小先阅读教材第33页“议一议”前面的部分内容，然后完成下面问题的学习．某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000平方米．(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？与同伴交流．(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗？(误差小于1米)10002000S=400000解（1）∵2000×1000=2000000>400000，∴公园的宽没有1000m.(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？x2xS=400000x•2x=400000,2x2=400000,x2=200000,x=大约是多少呢？解：设公园的宽为x米.如果精确到10m的话，它的宽大约是450m.圆形花圃的半径估计是16m.(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗？(误差小于1米)S=400000S=800与同伴合作完成教材第33页“议一议”的学习与探究．(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流．合作探究(2)你能估算的大小吗？(结果精确到1)．三个式子都是错误的．原因是0.0662≈0.004356≠0.43；963＝884736≠900；60.42＝3648.16≠2536.知识模块二用估算的方法比较两个数的大小自主探究自学自研教材第33页例题及其解答过程，若有困难请与同伴进行交流．例1：生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定.现有一长为6m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗?解：设梯子稳定摆放时的高度为xm，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的，根据勾股定理

6所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头.合作探究合作完成教材第34页“议一议”的学习与探究．小明的想法是正确的.解：方法二：通过估算可知≈2.2，所以≈0.6，而＝0.5，所以>.除了小明的办法外，你还有其他办法吗？估算无理数大小的方法：(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分；(2)根据所要求的误差确定小数部分.1.通过估算，比较与的大小.解：随堂练习2.一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40m3

.如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到1m）

解：设圆柱的高为xm，那么它的底面半径为0.5xm，则：估算估算的基本方法估算在生活中的应用课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家2.5用计算器开方第2章实数1．会用计算器求一个数的平方根和立方根．2．能在具体情境中体验估算和运用计算器检验计算结果的合理性．学习目标【学习重点】用计算器求平方根和立方根．【学习难点】会用计算器验证估算结果的正确性．利用科学计算器怎样进行开方运算呢？情景导入生成问题想一想开方运算要用到哪些键？自学互研生成能力知识模块一用计算器开平方、开立方1．下面给大家说明一下开平方、开立方运算的方法．(1)开方运算要用到乘方运算键x2第二功能“”和∧第二功能“”(2)对于开平方运算，按键顺序为：2nd

x2被开方数＝(3)对于开立方运算，按键顺序为：3

2nd

∧被开方数＝2．让学生跟随教师按步骤利用计算器计算下列各数：合作探究合作完成教材第36页“做一做”的学习与探究．3．做一做．利用计算器，求下列各式的值．(结果精确到0.01)【展示结果】(1)28.28；(2)1.64；(3)0.76；(4)－0.76.你的结果对了吗？知识模块二利用计算器比较两个数的大小合作探究完成教材第37页例题的学习与探究．(1)让学生讨论得出如何比较两数大小的方法．(3)教师演示P37例题的解答过程．【归纳结论】我们利用计算器不仅可以进行开方运算，还可以比较两个无理数的大小．知识模块三用计算器探究规律合作探究先阅读教材第37页“议一议”的内容，然后完成下面的问题：利用计算器探索．(1)＝_______；(2)＝_________；(3)＝__________；……

＝_______________．2233344449999999991.用计算器比较下面两数的大小：(1)(2)解:（1）3.236067978；（2）3.339148045；随堂练习2.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字）

（2）；（3）；（4）；（1）解：（1）≈28.28；（2）≈1.639；（3）≈0.7616；（4）≈-0.7560.3.借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？利用你发现的规律试写出：4…4443…333+=5…555.=5555.2233334444+用计算器开方使用计算器进行开方运算用计算器开方比较数的大小用计算器探索数的规律课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家2.6实数第2章实数1．知道实数的概念并能按要求将实数进行分类．2．会在实数范围内求一个数的相反数、倒数、绝对值．学习目标【学习重点】实数的概念．【学习难点】用数轴上的点表示无理数．情景导入生成问题我们以前学过有理数和无理数，那什么叫有理数？什么无叫理数？请举例说明．把下列各数分别填入相应的集合内：有理数无理数有理数和无理数统称实数，即实数可分为有理数和无理数．【归纳结论】

即：无理数：无限不循环小数有理数：有限小数或无限循环小数实数分数整数开方开不尽的数有规律但不循环的数知识模块一实数的概念和分类自主探究先阅读教材第38页“议一议”及前面的内容，然后完成下面的问题．无理数与有理数一样，也有正负之分，

如是正的，－π是负的．有理数：{}无理数：{,}

思考：(1)你能把等各数填入下面相应的集合中吗？(2)0属于正数吗？0属于负数吗？(3)实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？正实数负实数数实负有理数正有理数按大小分类：0负无理数正无理数0正实数负实数【归纳结论】

实数还可以分为正实数、0、负实数．知识模块二实数的相反数、倒数、绝对值和运算自主探究1．先阅读教材第38页下面及第39页“想一想”之前的内容，然后再完成下面的问题．在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样吗？(1)的相反数是________，的倒数是________．(2)||＝________，|0|＝________，

|－π|＝________，|3－π|＝________.0ππ－3填空：2．我们在有理数范围内学过的运算法则和运算律是否在实数范围内还能继续用呢？在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．例如：与互为相反数与互为倒数问题：在有理数范围内，能进行哪些运算？判断下列各式成立吗？有理数的运算及运算律对实数仍然适用知识模块三实数与数轴上的点一一对应合作探究先阅读教材第39页“议一议”的内容，然后与同伴合作完成下面问题的探究．(1)如图，OA＝OB，数轴上点A对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？(2)你能在数轴上找到对应的点吗？如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴上被填满了吗？A点对应的数等于，它介于1与2之间．如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满，在数轴上还可以表示无理数．归纳结论：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．一样地，在数轴上，右边的点比左边的点表示的数大．1.判断题：①实数不是有理数就是无理数.（）③无理数都是无限小数.（）④带根号的数都是无理数.（）⑤无理数一定都带根号.（）⑥两个无理数之积不一定是无理数.（）⑦两个无理数之和一定是无理数.（）⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.（）×××②无理数都是无限不循环小数.（）√√√√√随堂练习2.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是

．【解析】1＜＜2，2＜＜3，在与之间的整数是2.AB2实数有理数和无理数统称实数在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.实数与数轴上的点一一对应课堂小结学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。谢谢大家第1课时二次根式的概念及其化简2．7二次根式学习目标【学习重点】二次根式乘除法法则．【学习难点】二次根式乘除法法则的灵活运用．情景导入生成问题观察下列代数式：(其中b＝24，c＝25)这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数．一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．自学互研生成能力知识模块一二次根式积的算术平方根与商