浙江省嘉兴市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

嘉兴市2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号

条形码贴在答题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选

择题答案，用0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。

答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、

多选错选，均不得分）

1.2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面.已知火星与

地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（）

A.55X106B.5.5X107C.5.5X108D.0.55X108

2.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）

主视方向

4.己知三个点（xi，yi）,（X2,”），（X3，y3）在反比例函数y=2的图象上，其中x\<X2

x

<0<X3,下列结论中正确的是（）

A.>,2<yi<0<^3B.yi<〉2<0<y3C.D.

5.将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则

阴影部分展开铺平后的图形是（）

6.5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（）

B.众数是33℃

C.平均数是侬。C

7

D.4日至5日最高气温下降幅度较大

7.已知平面内有。0和点A,B,若。0半径为线段0A=3C〃?，OB=2cm,则直线

AB与。。的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

8.为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，

其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是

荧光棒的1.5倍.若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（）

A.©-9=20B.9__，。_=20

1.5xxx1.5x

C.毁-4°=20D.一.亚--丝=20

x1.5x1.5xx

9.如图，在△ABC中，NB4C=90°,A8=AC=5,点。在AC上，且AO=2,点£是

A8上的动点，连结OE,点F,G分别是8c和。E的中点，连结AG,FG,当AG=FG

时，线段QE长为（）

A.^/13B.c.2/HD.4

22

10.已知点PQi,b）在直线y=-3x-4上，且2a-5b^0,则下列不等式一定成立的是（）

A.且B.至25c.0力2D.电w2

b2b2a5a5

二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

11.（4分）已知二元一次方程x+3y=14,请写出该方程的一组整数

解.

12.（4分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标

是.

13.（4分）观察下列等式：1=/-。2,3=22-12,5=32-22,…按此规律，则第〃个等式

为2〃-1-.

14.（4分）如图，在oABCD中，对角线AC,8。交于点0,AB1AC,AHLBD于点H,

若AB=2,BC=2娟，则AH的长为.

15.（4分）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个

等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢.已知

齐王的三匹马出场顺序为10,8,6.若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概

率为__________________

马匹下等马中等马上等马

姓名

齐王6810

田忌579

16.（4分）如图，在△ABC中，NBAC=30°,ZACB=45°,AB=2,点P从点A出发

沿A8方向运动，到达点8时停止运动，连结CP,点A关于直线CP的对称点为A',

连结A'C,A'P.在运动过程中，点A'到直线AB距离的最大值

是________________________;点P到达点B时，线段A'P扫过的面积

三、解答题（本题有8小题，第17〜19题每题6分，第20,21题每题8分，第22,23题

每题10分，第24题12分，共66分）

17.（6分）（1）计算：2-1+^/72-sin30°：

（2）化简并求值：1其中〃=-』.

a+12

18.（6分）小敏与小霞两位同学解方程3（x-3）=（x-3）2的过程如下框：

小敏：小霞：

两边同除以G-3）,得移项，得3(1-3)-(x-3)2=0,

3=x-3,提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0.

贝x=6.则x-3=0或3-x-3=0,

解得k=3,%2=0.

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“J”；若错误请在框内打“X”，并写

出你的解答过程.

19.（6分）如图，在7X7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A,B在格点上，

每一个小正方形的边长为1.

（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）.

(2)计算你所画菱形的面积.

20.(8分)根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米

为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”.市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度

y(mis)与路程x(/»)之间的观测数据，绘制成曲线如图所示.

(1)y是关于x的函数吗？为什么？

(2)“加速期”结束时，小斌的速度为多少？

(3)根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议.

y(m's)

O1530SO100x(m)

21.(8分)某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021

年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图(不完整)：

400名八年级学生2021该批400名学生2020年

年初视力统计图初视力统计图

青少年视力健康标准

类别视力健康状况

4视力25.0视力正常

B4.9轻度视力不

良

C4.6W视力W中度视力不

4.8良

D视力W4.5重度视力不

良

根据以上信息，请解答：

（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度

数和2020年初视力正常（类别A）的人数.

（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数

比2020年初增加了多少人？

（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内.请估计该市八年级学生

2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由.

22.（10分）一酒精消毒瓶如图1,AB为喷嘴，△BCQ为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和

EF为导管,其示意图如图2,ZDBE=ZBEF=108°,BD=6cm,BE=4cm.当按压柄

△BCD按压到底时，BO转动到80',此时3。'（如图3）.

（1）求点。转动到点的路径长；

（2）求点。到直线E尸的距离（结果精确到O.lcM.

（参考数据：sin36°=0.59,cos36°-0.81,tan36°心0.73,sin72°—.95,cos72°y

0.31,tan72°-3.08)

图1图2图3

23.(10分)已知二次函数y=-7+6x-5.

(1)求二次函数图象的顶点坐标；

(2)当1WXW4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)当fWxWf+3时，函数的最大值为抗，最小值为〃，若桃-〃=3,求r的值.

24.(12分)小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩

形ABCQ绕点A顺时针旋转a(0°VaW90°),得到矩形AB'CD',连结BD

［探究1］如图1,当a=90°时，点C'恰好在延长线上.若AB=1,求8c的长.

［探究2］如图2,连结AC',过点。‘作M//AC交BD于点、M.线段。'M与DM

相等吗？请说明理由.

［探究3］在探究2的条件下，射线QB分别交A。'，AC于点尸，N(如图3),发现线

段DMMN,PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

图1图2图3

参考答案

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、

多选错选，均不得分）

1.2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面.已知火星与

地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（）

A.55X106B.5.5X107C.5.5X108D.0.55X108

【分析】科学记数法的表示形式为aXl0n的形式，其中IW|a|V10,〃为整数.当原数绝

对值210时，〃是正数.

【解答】解：55000000=5.5XI07.

故选：B.

2.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）

主视方向

RB.cSc.F,中

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，右齐.

故选：C.

3.能说明命题“若x为无理数，则，也是无理数”是假命题的反例是（）

A.》=圾-1B.x=V^+lC.x=3啦D.x=M-如

【分析】根据题意，只要/是有理数，即求出各个选项中/的值，再判断即可.

【解答】解：（后-1）2=3-2近，是无理数，不符合题意；

（扬1）2=3+2加，是无理数，不符合题意；

（3班）2=18,是有理数，符合题意；

（虫-血）2=5-2加，是无理数，不符合题意；

故选：C.

4.已知三个点（xi，yi）,（X2，”），（X3，>3）在反比例函数y=2的图象上，其中x\<X2

<0<X3,下列结论中正确的是（）

A.>2<yi<0<y3B.yi<y2VoC.y3<0<”<yiD.y3<0<yi<”

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据X1<X2<0<X3

即可得出结论

【解答】解：•.•反比例函数y=2中，％=2>0,

，函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.

Vxi<x2<0<x3，

...A、8两点在第三象限，C点在第一象限，

<0<”.

故选：A.

5.将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则

阴影部分展开铺平后的图形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形

【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后,

剪去一个三角形得到的，按原图返回即可.

【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACQ,

.♦.△ABC是等腰三角形,

又△48C和△BCD关于直线CD对称,

二四边形8AC。是菱形,

故选：D.

6.5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（）

B.众数是33℃

C.平均数是侬。C

7

D.4日至5日最高气温下降幅度较大

【分析】分别确定7个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项.

【解答】解：4、7个数排序后为23,25,26,27,30,33,33,位于中间位置的数为

27,所以中位数为27℃,故A错误，符合题意；

B、7个数据中出现次数最多的为33,所以众数为33℃,正确，不符合题意；

C、平均数为工（23+25+26+27+30+33+33）正确，不符合题意；

77

。、观察统计表知：4日至5日最高气温下降幅度较大，正确，不符合题意，

故选：A.

7.己知平面内有和点A,B,若。0半径为2。”，线段。4=3。"，OB=2cm,则直线

与00的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【解答】解：。。的半径为2a”，线段OA=3cro,OH=2cm,

即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心。的距离等于圆的半径，

...点A在。。外，点8在上，

，直线AB与的位置关系为相交或相切，

故选：D.

8.为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，

其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是

荧光棒的1.5倍.若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（）

A.-30=20B.理2。一.=20

1.5xxx1.5x

C.迦-4°=20D.40=20

x1.5x1.5xx

【分析】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5X元，根据等量关系“缤纷棒比

荧光棒少20根”可列方程即可.

【解答】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，

根据题意可得：丝-速匚=20.

x1.5x

故选：B.

9.如图，在△ABC中，NB4c=90°,AB^AC=5,点。在AC上，且4。=2,点E是

A8上的动点，连结。E,点F,G分别是BC和。E的中点，连结AG,FG,当AG=FG

时，线段OE长为（）

A.V73B.^2c.D.4

22

【分析】分别过点G,F作的垂线，垂足为M,N,过点G作GP_LFN于点尸，由中

位线定理及勾股定理可分别表示出线段4G和FG的长，建立等式可求出结论.

【解答】解：如图，分别过点G,尸作AB的垂线，垂足为例，N,过点G作GPJ_尸N于

点P，

MNEB

，四边形GMNP是矩形，

：.GM=PN,GP=MN,

'：ZBAC^9Q°,AB=AC=5,

：.CALAB,

又：点G和点尸分别是线段DE和8C的中点，

GM和FN分别是△4OE和△ABC的中位线，

.,.GA7=A-^J)=1,AM=^.AE,

尸N=LC=5,AN=LB=§,

2222

：.MN=AN-AM=S-IAE,

22

：.PN=1,FP=3,

2

设AE=加，

：.AM=ljn,GP=MN=^--Ijn,

222

在RtZXAGM中，AG2=(Xn)2+l2,

2

在RtZkGPG中,GF2=(A-Am)2+(旦)2,

222

"：AG=GF,

C—m')2+l2=(--A/M)2+(3)2,

2222

解得m=3,BPDE=3,

在RtAA£>£中,DE=JAD?+AE2=

故选：A.

10.已知点PCa,b)在直线y--3x-4上，且2a-5bW0,则下列不等式一定成立的是()

A.且W至B.至eAC.旦》2D.

b2b2a5a5

【分析】结合选项可知，只需要判断出。和人的正负即可，点尸(a,b)在直线y=-3x

-4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a-56W0中，可判断出a与b正负，

即可得出结论.

【解答】解：：点P(a,b)在直线y=-3x-4上，

.*•-3a-4=b,

又2。-58<0,

2a-5（-3。-4）<0,

解得aW-20<o,

17

当。=-20时，得6=

1717

：.b^-A,

17

■2a-5bW0,

:.2aW5〃，

・

••b<~~~~~~2.

a5

故选：D.

二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

11.（4分）已知二元一次方程x+3y=14,请写出该方程的一组整数解卜=11（答案不

1y=l

唯一）.

【分析】把y看做已知数求出x,确定出整数解即可.

【解答】解：x+3y=14,

x=14-3y,

当y=1时，y=11,

则方程的一组整数解为fx=".

1y=l

故答案为：fx=ll（答案不唯一）.

1y=l

12.（4分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△0£>E是位似图形，则它们位似中心的坐标

是（4,2）.

【分析】根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心.

【解答】解：如图，

点G(4,2)即为所求的位似中心.

故答案是：(4,2).

2

13.(4分)观察下列等式：1=P-。2,3=22-i,5=32-2,…按此规律，则第〃个等式

为2"一]="2-("-1)2.

【分析】根据题目中的式子可以发现：等号左边是一些连续的奇数，等号右边第一个数

是和左边是第几个奇数一样，第二个数比第一个数少1,然后即可写出第”个等式.

【解答】解：•.♦1=3-02,3=22-I2,5=32-22,…，

.,.第n个等式为2〃-1=〃2-(“-1)2,

故答案为：n2-("-I#.

14.(4分)如图，在。ABCC中，对角线AC,交于点O,AB±AC,于点”，

若AB=2,BC=2®则AH的长为

【分析】在RtaABC和RtAO/lB中，分别利用勾股定理可求出8c和0B的长，又A”

L0B,可利用等面积法求出AH的长.

【解答】解：如图,

'：AB±AC,AB=2,BC=2«,

.".AC=^22+(2V3)2=2V2>

在。48。中，OA=OC,OB=OD,

：.0A=0C=近,

在RtZXOAB中，

。仁正+的)2=近,

又AHLBD,

：.10B-AH^10A-AB,即/xQ•黜=/x2X后，

解得AH=&Z1

3

故答案为：也.

3

15.（4分）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个

等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢.已知

齐王的三匹马出场顺序为10,8,6.若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概

率为1.

【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场

顺序为10,8,6时，田忌的马按5,9,7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，

当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：

齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下

田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上

双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，

，田忌能赢得比赛的概率为1.

6

16.（4分）如图，在△ABC中，ZBAC=30°,/ACB=45°,AB=2,点尸从点A出发

沿A3方向运动，到达点8时停止运动，连结CP,点A关于直线CP的对称点为A',

昌1

连结A'C,A'P.在运动过程中，点A'到直线AB距离的最大值是~T；点尸

到达点8时，线段A'P扫过的面积为。+亍）"&

【分析】如图1中，过点8作B//L4C于H.解直角三角形求出C4,当CA'J_AB时，

点A'到直线AB的距离最大，求出C4',CK.可得结论.如图2中，点尸到达点B时,

线段A'P扫过的面积=S扇形⑷a-2szvlBC，由此求解即可.

【解答】解：如图1中，过点B作B/7LAC于从

图1

在RtZ\A8〃中，BH=A8・sin30°=1,AH=V^BH=«,

在RtZXBCH中，NBCH=45°,

：.CH=BH=\,

；♦AC=CA'1+5y3,

当CA'LAB时，点4'到直线4B的距离最大，

设CA'交A8的延长线于K.

在RtZ\4CK中，CK=AC・sin30°-

_2

K=CA'-CK=l+&-二+^=。避..

22

如图2中，点P到达点B时，线段A'P扫过的面积=SCA-2S^ABC=

9。二步）Lx六gx『喏）一一百

三、解答题（本题有8小题，第17〜19题每题6分，第20,21题每题8分，第22,23题

每题10分，第24题12分，共66分）

17.（6分）（1）计算：2-1+Vl2-sin30°；

（2）化简并求值：1--其中。=-工.

a+12

【分析】（1）根据负整数指数募、算术平方根、特殊角的三角函数值可以解答本题；

（2）先通分，然后根据分式的减法法则即可化简题目中的式子，然后将。的值代入化简

后的式子即可解答本题.

【解答】解：（1）2'+Vi2-sin30°

=工+2«-1

22

=2遮；

(2)1--2-

a+1

=a+1_a

a+1a+1

_a+l-a

a+1

---1--,

a+1

当a=-▲时，原式=—J—=2.

2上+1

2

18.(6分)小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(X-3)2的过程如下框:

小敏：小霞：

两边同除以G-3),得移项，得3(1-3)-(x-3)2=0,

3=x-3,提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0.

贝ijx=6.则x-3=0或3-x-3=0,

解得用=3,X2=0.

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“J”；若错误请在框内打“X”，并写

出你的解答过程.

【分析】小敏：没有考虑x-3=0的情况；

小霞：提取公因式时出现了错误.

利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：小敏：X；

小霞：X.

正确的解答方法：移项，得3(x-3)-(x-3)2=0,

提取公因式，得(x-3)(3-X+3)=0.

贝I]x-3=0或3-x+3=0,

解得xi=3,X2=6.

19.(6分)如图，在7X7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A,B在格点上,

每一个小正方形的边长为1.

(1)以A8为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上(画出一个即可).

(2)计算你所画菱形的面积.

【分析】(1)先以AB为边画出一个等腰三角形，再作对称即可;

(2)根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得.

【解答】解：（1）如下图所示:

（2）图1菱形面积S=1X2X6=6,

2

图2菱形面积S=1X272X472=8,

2

图3菱形面积5=（丁元）2=10.

20.（8分）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米

为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”.市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度

y（机/s）与路程x（/»）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示.

（1）y是关于x的函数吗？为什么？

（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？

（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议.

v(tn.'s)

O1530SO100x(m)

【分析】（1）根据函数的定义，可直接判断；

（2）由图象可知，“加速期”结束时,即跑30米时，小斌的速度为10.4加s.

（3）答案不唯一.建议合理即可.

【解答】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有

唯一确定的值与之对应.

（2）“加速期”结束时，小斌的速度为\OAm/s.

（3）答案不唯一.例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加

耐力训练，提高成绩.

21.（8分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021

年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整）：

400名八年级学生2021该批400名学生2020年

年初视力统计图初视力统计图

青少年视力健康标准

类别视力健康状况

A视力25.0视力正常

B4.9轻度视力不

良

C4.6W视力《中度视力不

4.8良

D视力W4.5重度视力不

良

根据以上信息，请解答:

（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度

数和2020年初视力正常（类别A）的人数.

（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数

比2020年初增加了多少人？

（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内.请估计该市八年级学生

2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由.

【分析】（1）利用2021年初视力不良的百分比乘360°即可求解.

（2）分别求出2021、2020年初视力正常的人数即可求解.

（3）用1-31.25%即可得该市八年级学生2021年视力不良率，即可判断.

【解答】解：（1）被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良的扇形圆心角度数=360°

X（1-31.25%-24.5%-32%）=44.1°.

该批400名学生2020年初视力正常人数=400-48-91-148=113（人）.

（2）该市八年级学生221年初视力正常人数=20000X31.25%=6250（人）.

这些学生2020年初视力正常的人数=20000x』1±=5650（人）・

400

,增力口的人数=6250-5650=600（人）.

（3）该市八年级学生2021年视力不良率=1-31.25%=68.75%.

V68.75%<69%.

...该市八年级学生2021年初视力良率符合要求.

22.（10分）一酒精消毒瓶如图1.AB为喷嘴，△BC。为按压柄，CE为伸缩连杆，8E和

EF为导管,其示意图如图2,ZDBE=ZBEF=108°,BD=6cm,BE=4cm.当按压柄

△BCD按压到底时，转动到8。’，此时2。'〃所（如图3）.

（1）求点。转动到点£>'的路径长；

（2）求点。到直线E尸的距离（结果精确到0.1c%）.

（参考数据:sin36°=0.59,cos36°-0.81,tan36°七0.73,sin72°20.95,cos720弋

0.31,tan72°-3.08）

【分析】（1）由8/）,〃后尸,求出ND'BE=72°,可得NDBD'=36°,根据弧长公式即可求

出点D转动到点D'的路径长为36'X6=为；

1805

(2)过。作£)G_LB。于G,过万作£77_1_8。于H,RtABDG中，求出£)G=8O・sin36°

=3.54,Rt△aH中，HE=3.8O,故DG+HE27.3,即点D到直线EF的距离为73cm,

【解答】解：,:BD〃EF,NBEF=1O80,

AZDfBE=180°-ZBEF=12°,

VZDB£=108°,

/.ZDBD'=ZDBE-ZD,BE=108°-72°=36°,

・；BD=6,

：.点D转动到点D'的路径长为36兀X6=g1T；

1805

(2)过。作。G_L8。于G,过E作EH_L8£>'于H,如图：

Rt/XBEH中，/7E=B£*sin72°心4X0.95=3.80,

，OG+HE=3.54+3.80=7.3—7.3,

'：BD'//EF,

：.点D到直线EF的距离约为1.3cm,

答：点D到直线EF的距离约为1.3cm.

23.(10分)已知二次函数y=-/+6x-5.

(1)求二次函数图象的顶点坐标；

(2)当1WXW4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)当fWxWf+3时，函数的最大值为相，最小值为"，若〃?-“=3,求f的值.

【分析】(1)解析式化成顶点式即可求得；

(2)根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；

(3)分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值，"和最小值小进而根据机-八

=3得到关于t的方程，解方程即可.

【解答】解：(I)：y=-/+6x-5=(x-3)2+4,

顶点坐标为(3,4)；

(2)•.•顶点坐标为(3,4),

•••当x=3时，y最大值=4，

；当时J)，随着x的增大而增大，

*,•当x=1时，y最小值=0,

•.•当3<xW4时，y随着x的增大而减小，

•••当x=4时，y疑小值=3.

...当时，函数的最大值为4,最小值为0；

(3)当时，对，进行分类讨论，

①当什3<3时，即f<0,y随着x的增大而增大，

当x=f+3时，m=(f+3)2+6(f+3)-5=-»+4,

当x=，时，n=-?+6f-5,

.,.in-n----P+4-(-P+6r-5)=-6f+9,

-6f+9=3,解得f=l(不合题意，舍去)，

②当0Wf<3时，顶点的横坐标在取值范围内，

••172~~4,

z)当时，在时，〃=-P+6L5,

2

：.m-n=4-(-P+6/-5)=？-6r+9,

・•/-6f+9=3,解得。=3-/2=3+正(不合题意，舍去);

ii)当3v/V3时，在x=/+3时，〃=-尸+4,

2

*.m-n=4-(-P+4)=?，

・・・及=3,解得八=«，12=-道(不合题意，舍去)，

③当/N3时，y随着x的增大而减小，

当兀=，时，m=-?+6r-5,

当x=7+3时，n=-(r+3)2+6(r+3)-5=-q+4,

.tn-n=-P+6,-5-(-?+4)=6r-9,

A6Z-9=3,解得1=2(不合题意，舍去)，

综上所述，1=3-'巧或

24.(12分)小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩

形ABCO绕点A顺时针旋转a(0°<aW90°),得到矩形AB'CD',连结BD

［探究1］如图1,当a=90°时，点C'恰好在延长线上.若AB=1,求8c的长.

［探究2］如图2,连结AC',过点。'作。M//AC交BD于点M.线段。M与DM

相等吗？请说明理由.

［探究3］在探究2的条件下，射线。8分别交4。'，AC'于点尸，N(如图3),发现线

段DN,MN,PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

【分析】(1)如图1,设BC=x,由旋转的性质得出A£)'=AD=BC=x,D'C=AB'=AB

=1,证明由相似三角形的性质得出匕Z—旦至，由比例线段得

ADAB

出方程上士1,求出x的值即可得出答案；

x1

(2)连接。。，证明△AC32Z\D4B(SAS),由全等三角形的性质得出NAQB,

由等腰三角形的性质得出/AZ)Zy=NA£>7),证出则可得出结论；

(3)连接4",证明44£)〃g/^4。加(555),由全等三角形的性质得出NM4O,

得出MN=4V,证明△可以SANAD,由相似三角形的性质得出更典，则可得出结论.

ANDN

•.•矩形ABC。绕点A顺时针旋转90。得到矩形AB'CD',

...点A,B,D'在同一直线上，

,,

：.AD'=AD=BC=xtDC=AB=AB=\f

：.D'B=AD,-AB=x-1,

VZBAD=ZD,=90Q,

：.D'C//DA,

又・・,点C在DB的延长线上，

・MDCBs/\ADB,

・7，，

•--D----C--=_DB，

ADAB

・

••—1—x-1>

X1

解得工1=上乜］也=上正(不合题意，舍去),

22

・,.3c=」r'5.

2

(2)DM=DM.

图2

*M〃AC,

JZAD'M=ZD'AC9

9：AD,=AD,ZAD'C=ZDAB=90°,D'C=AB,

二.△AC。啜△DAB(SAS),

,

：.ZDAC=ZADB9

：.ZADB=ZAD'M9

u

：AD'=ADf

：.ZADD^ZAD'D,

：./MDD'=NMDD,

：.D'M=DM；

(3)关系式为MM=PN・QN.

图3

9

：D'M=DMfAD'=ADfAM=AM,

J/\ADM(SSS),

・・・/MAD=/MAD,

■:NAMN=/MAD+/NDA,NNAM=/MAD*/NAP,

：./AMN=NNAM,

:・MN=AN,

在△NA尸和△ND4中，4ANP=/DNA,NNAP=/NDA,

・•・XNPAs赳NAD,

•・•—PN二AN,

ANDN

:.A