数学初高中学衔接教育

初高中数学衔接教材

目录

引入乘法公式

一、方程与不等式

1.课时一：十字相乘法（重、难点）

2.课时二：解一元二次方程

3.课时三：一元二次不等式解法

二、函数与方程

1.课时四：根与系数的关系（韦达定理）

2.课时五：二次函数丫=2乂2+6*+©的图象和性质

前言：初、高中数学衔接的问题分析

教材分析：

①初中数学教材较通俗易懂，难度相对高中较小，大多研究的是常量，且较多的侧重于

定量计算，而高中数学教材较多的研究的是变量，不但注重定量计算，而且还常需作定性研究。

②为了适应义务教育要求，初中数学教材降低幅度较大，而高中由于受客观上升学压力和评价

标准的影响，实际难度难以下降，且又增加了应用性的知识，因此在一定程度上，反而加大了

高、初中数学教材内容的台阶。

③部分教学内容已由原来的初中讲授移到高中讲授（如常用对数、二次函数的图象法），而高中

一些教师对调整后的大纲要求认识不够，而对编在附录内的内容认为初中讲了，而未讲这部分

知识，形成了初、高中两不管的教材，给学生后继过程学习带来了极大的困难。初高中衔接，

不是单纯的知识衔接，更不是买一本“衔接教程”，利用暑假提前上课，或让学生自学就当已经

衔接过了.初高中衔接，是一个严肃、重要的教学任务，通过调查分析研究，整理出一份与以

前知识、高中教师原有认知相比的需要衔接设想，供新课程教学实施的教师参考

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a—力)=。2；

(2)完全平方公式(a+bj=d+2ab+.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(h-ah-2b)=3a+；

(2)立方差公式(a-b)(a+ah2b)=3a-；

(3)三数和平方公式(a+Z?+c)2=a2++2(ab++ac)；

(4)两数和立方公式(4+/7]=d+3d加3a2b+；

(5)两数差立方公式3-b)3=a3-3a2b+3加一b3.

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明

课时一：十字相乘法(重、难点)

十字相乘法

例1分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)f+以一12；

(3)X1-(a+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

解：(1)如图1.1-1,将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1

与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是/-3%+2中的一次项，所以,

有

x2—3x+2=(x—1)(%—2).

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1—1中的两个x用1来

表示(如图1.1—2所示).

(2)由图1.1-3,得

•^+以-12=(九一2)(尤+6).

(3)由图1.1—4,得

x2~(a+b)xy+ahy2=(x-ay)(x-by)

(4)xy-\+x-y=xy+(x—^)—1

=(x-l)(y+l)(如图1.1—5所示).

十字相乘法习题演练

(1).(x+2)(x+3)=(2).(x+2)(x—3)=

(3).(x—2)(x+3)=(4).(x—2)(x—3)=

(5).(x+a)(x+〃)=(6).x2+3x+2=

(7).x2-7x+6=(8),X2-4X-21

(9).x2—2,x—15(10)2x?—x—3

(11)2X2+5X-1(12)3cr-2a-\

(13)X2+9X+8=(14)X2-7X+12=

(15)-«2-4a+21=(16)/-36-28=

(17)7X4-5X2-2(18)(%+»+(x+_y)-20

(19)X4-X2-20=(20)«2x2+76ix-8=

(21)4一9灿+14/=(22)-/_4/+12。=

三.十字相乘法课后习题巩固

1.+3x+22.+6x+53.+12x+11

4.厂+18x+175.+4x+36.—4x+3

7.+2x—38.—2x—39.—7x+6

10.—5x—611.+x-612.x~-x—6

13.25—26a+14.%4-厂-2015.x4+6x?+8

16.+7元2-1817.x2-3孙+2/18.a2-9ah+14/72

19.u.x^—1ax—820-m2n2+3mn—1021.y2-13y/?+36Z?2

22.—优—10〃+923,-a3-4a2+\2a24.x2y2-5x2y-6x2

25.(tz+Z?)2-4(a+Z?)x+326.(x+2y)2+3(x+2y)-1027.(x2+4x)2+7(x2+4x)+12

28.2x2—x—329.2x2+5%-730.3/—2a—1

课时二：解一元二次方程

一般地，由多项式乘法，x2+(a+b)x+ab-(x+a)(x+b)

则方程/+(。+8)X+。。=0的两根为为=-a,x=-b

法一：用十字相乘法解一元二次方程

⑴/—3X+2=0(2)X2-2X-8=0

解:(x~l)(x~2)=0.解：(x—4)(x+2)=0

xx

1=1,x2=2.]=4X2=—2

法二：用求函公式解一元二次方程

1.尝试用十字相乘解下列方程

(1)2X2+X-6=0；(2)X2+4X=2；

(3)5X2-4X-12=0；(4)4X2+4X+10=1-8X

结论：通过演练发现上面四道题无法用十字相乘法解决，这时引入初中所学的求根公式法

大家知道，一般地,对于一元二次方程a^+bx+c=O(a^O),当b2-4ac^0时，方程有两个实数根：乩2=

—b+\1~b—Acic

——-------；当从一4改<0时，方程没有实数根方程没有实数根.尽管如此，我们在具体求解时还应注

2a

意以下几个问题：

一、注意化方程为一般形式

例1解方程：6f+3x=(l+2x)(2+x).

分析将原方程整理成一元二次方程的一般形式后确定〃、仇c的值，代入求根公式求解.

解原方程可化为：4/—x—2=0.

因为a=4,b=—\,c=—2,所以4ac=(-1)2—4X4X(-2)=33>0.

-b土加-4ac_-(-1)±屈_1土屈

所以x2^4

1+V331一后

即XI=X2=

-8

说明对于结构较为复杂的一元二次方程，一定要依据有关知识将其化为一般形式，然后才能想到运用

求根公式.

二、注意方程有实数根的前提条件是〃一4〃c20

例2解方程：3f=5x-4.

分析先移项，化原方程为一般形式，确定。、b、c的值，再估算一下〃一4以•的值.

解移项，得—5x+4=0.

因为a=3,b——5,c—4,所以"一4“c=-23<0,因此一元二次方程无实数解.

说明由本题的求解过程，我们可以看出在解一元二次方程时，化一元二次方程为一般形式，确定人反

_-b士飞『-4ac_

c的值后，估算一下〃一4“c的值非常重要，不然就有可能出现下列的错误:内.2

2a6

三、注意人b、。的确定应包括各自的符号

例3解方程：2^—5/1=0.

分析已知方程已经是一般形式，只要对号入座地写出。、氏c,再求从一4a的值，最后即求解.

解因为4=2、6=—5、c=\,所以〃―4a=(—5)2—4X2Xl=17>0.

-b土正—4ac——(―5)±旧5±历

所以x=

2a2x24

即x尸任叵5-717

，X2=

44

说明确定出a、h.C的值，应注意两个问题：一是要化原方程为一般形式，二是要注意连同〃、b.C

本身的符号，特别是“一”号更不能漏掉.

四、注意一元二次方程如果有根，应有两个

例4解方程：总一2月)+3=0.

分析将原方程化为一般形式后代入求根公式.

解原方程可化为A2—2百x+3=0.因为”=1、6=—2百、c=3,所以4〃=(一28)2—4X1X3=

0.

所以x=±±史三还=3%夕=百

2a2x1

所以用=12=

说明当4a=0时表明原方程有两个相等的实数根，所以在具体作答时不能出现x=石的错误.

五、求解出的根应注意适当化简

例5解方程：1-0.

分析因为。=2,b=—2,c=-1,所以〃-4〃c=(-2)2—4x2x(—1)=12.

,-b±\Jb2-4ac2±V122±2百

pfr以r=--------------=--------=--------.

1+73

所以为=~2-

说明本题利用求根公式求得的结果时应约去分子与分母中的公约数，以便使结果简便，值得注意的是,

在化简时一定要注意不能出现差错.

一元二次方程习题演练

(1).+2%—3=0(2).x~+3x—4=0

(3).2x2+2x+4=0(4).x2+2x+2=0

(5).3x2+2%+3=0(6),x2+6x4-9=0

(7).-x2-7x+6=0(8).2x~+2x+3=0

(9).x2-2x-15=0(10)2X2-X-3=0

(11)-2X2+5^-7=0(12)x2-2x+3=0

(13)X2+9%+8=0(14)X2-7X+12=0

(15)3x2+2x+3=0(16)x2-2x-3=0

三.一元二次方程课后习题巩固

1.—+2x+1=02.x2+6x+5=03.x~+12x4-11=0

4.V-61+9=05.x~+4x+3=06.x?—4x+3=0

7.x~+2x-3=08.—2x-3=09.x~—7x+6~0

10.厂—5x—6=011.x~+3x—6=012.2厂—x—6=0

13.x2-x-6=014.2x~—3x—6=015.x~-x-7=0

16.2x2-2x-6=017.3x~-x—6=018.X2-4X-4=0

19.2x2-x=020.-2%2一%=。21.—x~—x—6=0

22.2x2—x-6=023.2J?—X—6=024.2/一工一7=0

25.2%2—x—3=026.2%2+5x—7—027.4x?-x—6=0

课时三：一元二次不等式解法

一次不等式ax〉b,若a>0,解集为；若a<0,解集为；若a=0,则当

b20时，解集为；当b<0时，解集为.

2.一元一次不等式组(a〉b).若“"则解集为____；若“:"则解集为—；若则

x>b[x<b[冗

解集为;若则解集为________.

x>b

3.若ax'+bx+c>0是一元二次不等式，则a.

2

4.若ax+bx+c=0有两个不等实根X,,x?且Xi>x2,那么一元二次不等式ax,bx+c>。(a>0)的解集

为；ax?+bx+c<0(a>0)的解集为；若ax'+bx+cn。有两个

相等实根x(),那么一元二次不等式ax'+bx+c>0(a>0)的解集为；若ax'+bx+c

=0没有实根，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为.

一元二次不等式解法分析

法一：用十字相乘法解一元二次不等式

(1)x2-3x+2>0(2)x2-3x+2<0

解：(%—1)(%—2)>0.解：(x—l)(x-2)<0

进行分类讨论进行分类讨论

x—1>0、x—1<0x•—1>0、x—1<0

或V<或V

x—2>0x-2<0x—2<0x-2>0

解得：X>2^x<1解得：l<x<2

(3)-X2+3X-2>0(2)-x2+3x-2<0

解：X2-3X+2<0解：X2-3X+2>0

(x-l)(x-2)<0(x—l)(x-2)>0

进行分类讨论进行分类讨论

fx-l>0[x-l<0[x-l>0fx-l<0

或4J或J

x-2>0[x-2<0x-2>0-[x-2<0

解得：x><1解得：

法二：用求根公式解一元二次方程

(2)x2-2x-2<0

解分析先令式子/一2犬-2=0

因为a=l,b=—2,。=一2,所以〃-4ac=(-2)2-4X1X(—2)=12>0.

-b+yjb'-Aac-(-2)±V12

所以x=------------=1±V3

2a2

即jq=l+VJ,X2=1-V3.

x2-2x-2<0

|x-(l+V3)1x-(1-司<0

解得：1—A/3<x<1+A/3

(1)X2-2X-2>0

解分析先令式子X2-2X-2=0

因为a=l,b=-2,c=~2,所以4加=(-2)2—4X1X(—2)=12>0.

_-b+ylb2-4ac_-(-2)+4n_r-

所以x---------------------------------1±5/3

2a2

即X1=1+JJ,X2=1-V3.

—2x—2>0

|x-(l+⑸]x-(1-V3)]>0

解得：%>1+<1-V3

二.一元二次不等式习题演练

(1).x?+2x—3>0(2).x~+3x—4<0

(3).2x2+2x+4>0(4).x2+2x+2>0

(5).3x~+2x+3<0(6),+6x+9K0

(7).-x?-7x+6<0(8).2x2+2x+3<0

(9).r—2x—15<0(10)2r—x—320

(11)-2X2+5X-7>0(12)X2-2X+3<0

(13)/+9%+8<0(14)X2-7X+12>0

(15)3X2+2X+3<0(16)x~—2%—3<0

三.一元二次不等式课后习题巩固

1.x"+2x+1K()2.x2+6x4-5>03.x"+12x+11<0

4.x2-6x4-9>05.+4x+3406.x?—4x+320

7.x，+2x—3<08.x~-2x-3>09.12-7%+6〈0

10.x2—5x—62011,x~+3x—6<012.2x?-x—6>0

13.%2—x-6>014.2x--3x—6V()15.广—x—720

16.2x2—2x-6K017.3x?-x—6>018.X2-4X-4<0

19.2X2-X<020.-2厂—x<021.—x?—x—6N0

22.2^2-X-6>023.2厂—x—6>024.2x~-x—7>0

25・2%2-x―34026.2x2+5x-7<027.4X2-X-6>0

课时四：根与系数的关系

1.填写表格并进行观察你能得出什么结论

xXx+x=xx=

方程\~2-]2}2

2

X—3x+2=0Xj=1x2=3X1+%2=3x{x2—2

2

X—2x—8=0玉=4x2=-2X1+x2=2X|X2=8

2

X-3x-4=0Xj=4%2=-]Xj+x2=3x}x2--4

9

x~—5x+6=0xl=2x2=3x1+x2=5xxx2--6

对于二次项系数为1的一元二次方程f+px+g=O,若XI,X2是其两根，则

Xl+%2=-p,X\-X2~q^

2.根与系数的关系

若一元二次方程加+/u+c=O（存0）有两个实数根□

+-4ac-b-\Jb2-4ac

王

2a2a

则有

12

-h4-yjb-4ac-b—\Jh-4ac-2bb

X]+x2--------------1--------------

2a2a2aa

-b+yjb2-4ac-b-y/b2-4acb-(b-4ac)4acc

XjX2

la2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:

hr,

如果ax2+〃x+c=0（存0）的两根分别是XI，X2f那么Xl+%2=——，X1X2=—.这一关系

aa

也被称为韦达定理.

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程f+px+q=0,若光1,及是其两根，由韦达定

理可知

阳+九2=-P，X\-X2—C{y

即p=—（Xl+x2）,q=X\-X2>

所以，方程f+px+qu。可化为f—（»+尢2）工+汨式2=0,由于XI,犬2是一元二次方程f+

px+q=0的两根，所以，Xl,X2也是一元二次方程（冗1+及）工+»・12=0.因此有

以两个数为，“2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

X2-（Xl+x2）x+xrX2=0.

例1已知方程5/+乙-6=0的一个根是2,求它的另一个根及左的值.

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另

一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个

根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和

求出％的值.

解法一：二？是方程的一个根，

・•・5x22+2x2—6=0,

:・k=-7.

所以，方程就为5/—7x—6=0,解得xi=2,X2=--.

5

3

所以，方程的另一个根为一；，%的值为一7.

解法二：设方程的另一个根为幻，则2xi=--,=

55

3k

由（一一）+2=--,得k=-7.

55

所以，方程的另一个根为一:，々的值为-7.

例2已知关于x的方程/+2（m-2）九十加2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平

方和比两个根的积大21,求相的值.

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于根的方程,

从而解得加的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根

的判别式应大于零.

解：设X”X2是方程的两根，由韦达定理，得

xi+x2=-2（m-2）,xi-X2=m2+4.

,.*XI2+X22—Xl-X2==21,

...（XI+%2）2-3Xi-X2=21,

即［一2（加-2）］2—3（m2+4）=21,

化简，得nr—16/72-17=0,

解得m=~\,或m=17.

当机=一1时，方程为f+6x+5=0,A>0,满足题意；

当加=17时，方程为W+30x+293=0,A=302-4xlx293<0,不合题意，舍去.

综上，加=17.

根与系数的关系习题演练

1、如果一元二次方程以2+/zx+c=0（a。0）的两根为王,x2,那么/+》2=，.

2、如果方程V+px+q=0的两根为修，x2,那么%|+%2=,x,x2=.

3、方程2——3x-1=0的两根为％］,x2,那么再+》2=，X,x2=.

4、如果一元二次方程/+如+〃=0的两根互为相反数，那么加=；如果两根互为倒数，

那么"=.

5方程/+如+(〃-1)=0的两个根是2和一4,那么m=,n=.

6、以西，9为根的一元二次方程(二次项系数为1)是.

7、以6+1,6-1为根的一元二次方程是.

8、若两数和为3,两数积为一4,则这两数分别为.

9、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为.

10、已知方程2/+3x-4=0的两根为芭，x2,那么.

11＞若方程炉-6X+TM=0的一个根是3-后，则另一根是，机的值是___.

12、若方程/一(左—的两根互为相反数，则％=_,若两根互为倒数，则a=—.

三.根与系数的关系课后习题巩固

1、如果方程ax2+bx+c=0(aW0)的两根是xi、X2,那么xi+x2=，xi«x2=

2^己矢口x］、X2是方程2x2+3x—4=0的两个根，那么：xi+x2=;xi*x2=

11

---------1----------

Xi叼；X21+X22=；(xl+1)(X2+1)=;IXI—X2I

1o

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为D是。

4、如果关于x的一元二次方程x2+四x+a=O的一个根是1一行，那么另一个根是,

a的值为o

5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k=。

6、已知方程2x2+mx—4=0两根的绝对值相等，则［11=。

7、一元二次方程px2+qx+r=0(pW0)的两根为。和一1,贝"q:p=。

8、已知方程x2—mx+2=0的两根互为相反数，则01=。

9、已知关于x的一元二次方程(a2—l)x2—(a+l)x+l=0两根互为倒数，则@=。

10、已知关于x的一元二次方程mx2—4x—6=0的两根为xi和X2，且xi+x2=—2,则m=

(xi+x2)=。

13

11、已知方程3X2+X—1=0,要使方程两根的平方和为那么常数项应改为0

12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为。

13、若a、B为实数且Ia+B—3I+(2—a0)2=0,则以a、B为根的一元二次方程

为。(其中二次项系数为1)

14、已知关于x的一元二次方程*2—2加一1人+1112=0。若方程的两根互为倒数，则m=

若方程两根之和与两根积互为相反数，则1!1=。

15^已知方程x2+4x—2m=0的一个根a比另一个根B小4,则&=；B=

m=o

16、已知关于x的方程x2-3x+k=O的两根立方和为0,则1<=

113

------1------=------

17、已知关于x的方程x2—3mx+2(m—1)=0的两根为xi、X2,且〜气4,则!11=

18、关于x的方程2x2—3x+m=0,当时，方程有两个正数根；当m时，

方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0。

19、若方程X2—4x+m=0与X2—x—2m=0有一个根相同，则m=。

20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x—2=0两根的二倍，则所求的方程为

21、一元二次方程2x2—3x+l=0的两根与x2—3x+2=0的两根之间的关系是。

22、已知方程5x2+mx—10=0的一根是一5,求方程的另一根及m的值。

课时五：二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质

｛情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，

如作图(1)y=f(2)y=_/(?)丁=/+2》-3教师可采用计算机绘图软件辅助教学｝

问题1函数y=o?与的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y=2f,>=—22的图象，通过这些函数图

象与函数的图象之间的关系，推导出函数y=o?与的图象之间所存在的关系.

先画由函数y=1，y=2f的图象.

先列表:

X-3-2-10123.•.

・.•9410149・..

188202818

从表中不难看出，要得到2/的值，只要把相应,的/的值扩大

两倍就可以了.、V,yj=^

再描点、连线，就分别得到了函数y=幺，y=\\//2/的图象(如

图2—1所示)，从图2—1我们可以得到这两个函数\\//图象之间的关

系：函数^=源的图象可以由函数的图象各\\//点的纵坐标变

为原来的两倍得到.

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y\\//

"的图象，并研究这两个函数图象与函数的------科系-------《

图象之间的关

系•

图2.2-1

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数7=。—(存0)的图象可以由y=X2的图象各点的

纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数y=依2(存0)中，二

次项系数。决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开

口的大小.

问题2函数y=a(x+/?)2+A与y=a?的图象之间存在怎

样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来

研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y=2(x+l)2+l

与y=2/的图象(如图2—2所示)，从函数的同学我们不难

发现，只要把函数y=2?的图象向左平移一个单位，再向上

平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+l)2+l的图象.这两

个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.

类似地，还可以通过画函数y=-3_?,y=-3(x—l)2+l的图象，研究它们图象之间的相互

关系.

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y=a(x+/i)2+A(a#))中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；无决定了二次

函数图象的左右平移，而且“无正左移，人负右移”；女决定了二次函数图象的上下平移，而且”

正上移，上负下移,,.

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=a?+/；x+c(存0)的图象的方法：

由于>=以2+法+。=。（『+2x）+c=a（f+2X+Av）+c——

aa4a4a

="（X+_L）2+b1-4ac

2a4a

所以，y=o?+云+c（WO）的图象可以看作是将函数丁=加的图象作左右平移、上下平移得

到的，于是，二次函数＞=加+笈+。（存0）具有下列性质：

b4-cic—b2

（1）当。＞0时，函数y="2+法+。图象开口向上；顶点坐标为（-一,-------）,对称轴为直线x=

2a4。

当‘＜一.时’,随着'的增大而减小；当、＞一3时''随着'的增大而增大；当*=一5时'

4-cic—b~

函数取最小值y=.

4a

h4-cic—

（2）当aVO时，函数y=〃/+以+c图象开口向下；顶点坐标为（一一,-------）,对称轴为直线

2a4a

X=--t当xV—2时，y随着X的增大而增大；当上＞一2时，y随着X的增大而减小；当x=—2时,

2a2a2a2a

4QC—力2

函数取最大值y=.

4a

上述二次函数的性质可以分别通过图2.2—3和图2.2—4直观地表示出来.因此，在今后解决二次函

数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.

例1求二次函数y=-3f—6x+l图象的开口方向、对称

轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取

随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象.

解：*.,y=­3/—6x+l=-3（x+iy+4,

...函数图象的开口向下；

对称轴是直线x=-1;

顶点坐标为（-1,4）；

当x=-1时，函数y取最大值y=4；

图2.2—5

当xV—1时，y随着x的增大而增大；当x>—1时，y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点4—1,4））,与x轴交于点8（2①二2,0）和C（一2母口,0）,与

y轴的交点为。（0,1）,过这五点画出图象（如图2—5所示）.

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点,

减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.

函数y^ax+bx+c图象作图要领：

（1）确定开口方向：由二次项系数a决定

（2）确定对称轴：对称轴方程为》=-幺

2a

（3）确定图象与x轴的交点情况，①若△>（）则与x轴有两个交点，可由方程,+以

+c=0求出②①若△=（）则与x轴有一个交点，可由方程/+&+c=0求出③①若

△<0则与x轴有无交点。

（4）确定图象与y轴的交点情况，令x=0得出y=c,所以交点坐标为（0,c）

（5）由以上各要素出草图。

练习：作出以下二次函数的草图

(1)y=x2-X-6(2)y=x2+2x+l(3)y=-x2+1

例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y

（件）之间关系如下表所示:

X/元130150165

y/件705035

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售

价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润=日销售量yx（销售价无一120）,日销售量y又是销售价x的一次函

数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关

系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.

解：由于y是x的一次函数，于是，设了=日+（B）

将x=130,y=70；x=150,y=50代入方程，有

’70=130%+仇

50=150%+"

解得k=~l,0=200.

/.y=-x+200.

设每天的利润为z（元），则

z=（-x+200）（x-120）=-^+320%-24000

=-（X-160）2+1600,

，当尤=160时，z取最大值1600.

答:当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元.

例3把二次函数y=f+法+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位,得到函数），=1的图像,

求6,c的值.

hh2

解法一：y^2+bx+c^（x+-）2+c--,把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到

X24

y=(x+^+4)2+c-2+2的图像，也就是函数y=/的图像，所以，

24

_1-4=0,

-2解得人=—8,c=14.

C-y+2=0,

二次函数习题演练

一、选择题

1.已知y=2f的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位,

那么在新坐标系下抛物线的解析式是().

A.y=2(x—2>+2B.y=2(x+2)2-2

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2+2

1.已知二次函数>=依2+笈+，的图像如图所示，对称轴是x=1,

则下列结论中正确的是().

A.ac>QB.b<QC.b1-4«c<0D.2a+b=0

若〃%)=办2+汝+c图像的顶点坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为

(0,11),则()

A.4Z=1,Z7=-