初中数学-第29课时　与圆有关的计算

第29课时与圆有关的计算第六单元圆正多边形和圆的关系

正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的①

正多边形和圆的有关概念

一个正多边形②

的圆心叫做这个正多边形的中心

正多边形外接圆的半径叫做正多边形的③

正多边形每一边所对的④

叫做正多边形的中心角

正多边形的⑤

到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距

考点一正多边形和圆考点聚焦外接圆外接圆半径圆心角中心（续表）1.若圆的半径是R,则圆的周长C=⑥

.

2.若一条弧所对的圆心角是n°,半径是R,则弧长l=⑦

.在应用公式时,n和180不再写单位.

考点二圆的周长与弧长公式2πR考点三扇形的面积公式扇形面积(1)S扇形=⑧

(n是圆心角度数,R是半径);

(2)S扇形=⑨

(l是弧长,R是半径)

弓形面积S弓形=S扇形±S△图形圆锥简介(1)h是圆锥的高;(2)a是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的⑩

;

(3)r是底面圆半径;(4)圆锥的侧面展开图是半径等于

⑪

长,弧长等于圆锥底面圆⑫

的扇形

圆锥的侧面积S侧=

⑬

圆锥的全面积S全=S侧+S底=πra+πr2考点四圆锥的侧面积与全面积半径母线周长πra1.[九上P87习题第1题改编]已知圆锥的母线长为12cm,底面圆的直径为12cm,则圆锥的侧面积是 (

)A.24πcm2 B.36πcm2C.70πcm2 D.72πcm2题组一必会题对点演练[答案]D2.[九上P87练习第2题改编]用半径为30,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径等于(

)A.10 B.9 C.8 D.7[答案]A3.[九上P85练习第1题改编]已知圆弧所在圆的半径为24,所对的圆心角为60°,则弧长为

.

[答案]8π4.[九上P85拓展与延伸改编]如图29-1,半圆的直径AB=40,C,D是半圆的3等分点.则弦AC,AD与围成的阴影部分的面积为

.

图29-15.[九上P78例改编]如图29-2,正六边形ABCDEF的半径为4.则这个正六边形的周长为

,面积为

.

图29-2题组二易错题【失分点】记错弧长公式与扇形面积公式;没弄清圆锥侧面展开图的面积与弧长的关系;不会化归不规则图形的面积.6.[2018·镇江]圆锥底面圆的半径为1,侧面积等于3π,则它的母线长为

.

7.[2018·永州]如图29-3,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),以点O为旋转中心,将点A逆时针旋转到点B的位置,则弧AB的长为

.

图29-338.[2018·青岛]如图29-4,Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,O为AC上一点,OA=2,以O为圆心,OA为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE,OF,则图中阴影部分的面积是

.

图29-4考向一正多边形和圆图29-5例1如图29-5①,②,③,…,,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.(1)求图①中∠MON的度数;(2)图②中∠MON的度数是

,图③中∠MON的度数是

;

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).解:(1)连接OB,OC,∵△ABC为正三角形,∴∠ABC=∠ACB,∵O是外接圆的圆心,∴CO平分∠ACB,BO平分∠ABC,∴∠OBM=∠OCN=30°,又∵BM=CN,OB=OC,∴△OMB≌△ONC,∴∠BOM=∠NOC,∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∴∠MON=∠BOC=120°.图29-5例1如图29-5①,②,③,…,,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.(2)图②中∠MON的度数是

,图③中∠MON的度数是

;

90°72°图29-5例1如图29-5①,②,③,…,,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).【方法点析】圆内接正多边形的每条边所对的圆心角都相等,并且所对圆心角的和是360°.|考向精练|1.[2019·滨州]若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为

.

[答案]15[解析]连接BO,∵AC是☉O内接正六边形的一边,∴∠AOC=360°÷6=60°.∵BC是☉O内接正十边形的一边,∴∠BOC=360°÷10=36°,∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=60°-36°=24°,∴n=360°÷24°=15.故答案为:15.图29-6[答案]6π考向二与弧长相关的计算例2[2019·泰州]如图29-7,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm,则该莱洛三角形的周长为

cm.

图29-7|考向精练|[答案]C[答案]A图29-8[答案]C图29-94.[2018·盐城]如图29-10,图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分.图②中,图形的相关数据:半径OA=2cm,∠AOB=120°.则图②的周长为

cm(结果保留π).

图29-10考向三与扇形面积相关的计算图29-11例3

[2019·遂宁]如图29-11,△ABC内接于☉O,若∠A=45°,☉O的半径r=4,则阴影部分的面积为

(

)A.4π-8 B.2π C.4π D.8π-8[答案]A|考向精练|1.[2019·长沙]一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是(

)A.2π B.4π C.12π D.24πC图29-12[答案]A图29-13[答案]B图29-14考向四和圆锥的侧面展开图有关的问题图29-15例4

如图29-15所示,有一直径是1m的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC.(1)求被剪掉的阴影部分的面积;(2)用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?(结果可用根号表示)图29-15例4

如图29-15所示,有一直径是1m的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC.(2)用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?(结果可用根号表示)【方法点析】对于圆锥的计算主要有三种考查形式:(1)圆锥的底面圆半径、高、母线长中已知两个求圆锥的侧面积或全面积;(2)已知圆锥的侧面积和底面圆半径,求母线长或高或圆锥侧面展开图的圆心角;(3)已知圆锥侧面展开图的弧长及圆心角度数,求圆锥的底面圆半径和高.解此类题的方法就是利用圆锥的底面圆周长等于侧面展开图扇形的弧长及勾股定理计算.|考向精练|1.[2019·湖州]已知圆锥的底面半径为5cm,母线长为13cm,则这个圆锥的侧面积是(

)A.60πcm2 B.65πcm2C.120πcm2 D.130πcm2[答案]B[答案]D

图29-163.[2019·淮安]若圆锥的侧面积是15π,母线长是5,则该圆锥底面圆的半径是

.

[答案]34.[2019·聊城]如图29-17是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位:cm),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为

.

[答案]120°

图29-17考向五用化归思想求不规则图形的面积图29-18例5设计一个商标图案(如图29-18阴影部分),矩形ABCD中,AB=2BC,且AB=8,以点A为圆心,AD为半径作半圆与BA的延长线交于点F,连接CF,求商标图案的面积.|考向精练|图29-19[答案]C[答案]A图29-203.[2019·福建]如图29-21,边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的☉O的圆心重合,E,F分别是AD,BA的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积为

.(结果保留π)

图29-21[答案]

π-1[答案]

32π

4.[2019·扬州]如图29-22,将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45