初中数学-第27课时　圆的基本概念和性质

第27课时圆的基本概念和性质第六单元圆1.圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做①

,线段OA叫做②

.

2.圆的对称性:圆既是③

对称图形,又是④

对称图形,圆还具有旋转不变性.

3.确定圆的条件:不在⑤

点确定一个圆.

考点一圆的有关概念及性质考点聚焦圆心半径轴中心同一条直线上的三个4.圆的有关概念优弧劣弧直径考点二圆心角、弧、弦之间的关系弧弦考点三垂径定理及其推论平分弦

垂直垂直平分线考点四圆周角定理及推论圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑭

常见图形推论1同弧或等弧所对的圆周角⑮

推论2

半圆(或直径)所对的圆周角是⑯

,90°的圆周角所对的弦是⑰

一半相等直角直径考点五圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角⑱

.

[拓展]圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,如图27-1,∠ABE=∠D.图27-1互补1.[九上P61习题第5题改编]如图27-2,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠DCB=30°,则∠ABD的度数是 (

)A.30° B.45° C.60° D.75°题组一必会题对点演练C图27-22.[2018·张家界]如图27-3,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE= (

)A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm图27-3A3.如图27-4,AB是☉O的直径,BC是☉O的弦.若∠OBC=60°,则∠BAC的度数是(

)A.75°

B.60° C.45°

D.30°图27-4D4.[九上P41思考与探索改编]如图27-5,AB是☉O的直径,C是BA延长线上一点,点D在☉O上,且CD=OA,CD的延长线交☉O于点E.若∠C=20°,则∠BOE=

°.

图27-5605.[九上P60练习第3题改编]如图27-6,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠C=130°,则∠BOD=

°.图27-6100题组二易错题【失分点】圆周角与圆心角概念混淆;圆周角定理的推论应用不清楚;图形不确定时,忽略分类讨论;综合题找不到思路.6.[2018·淮安]如图27-7,点A,B,C都在☉O上,若∠AOC=140°,则∠B的度数是(

)A.70° B.80° C.110° D.140°图27-7C7.[2018·孝感]已知☉O的半径为10cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是

cm.

[答案]2或148.[2018·杭州]如图27-8,AB是☉O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交☉O于D,E两点,过点D作直径DF,连接AF,则∠DFA=

.

图27-8[答案]30°考向一圆心角、弧、弦之间的关系例1[2019·南京]如图27-9,☉O的弦AB,CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.图27-9|考向精练|1.[2019·东营]如图27-10,AC是☉O的弦,AC=5,点B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°,若点M,N分别是AC,BC的中点,则MN的最大值是

.

图27-10图27-11考向二垂径定理例2

[2019·安徽]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图27-12,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)图27-12|考向精练|1.[2019·龙东地区]如图27-13,在☉O中,半径OA垂直于弦BC,点D在圆上,且∠ADC=30°,则∠AOB的度数为

.

[答案]60°图27-132.如图27-14,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为

.

图27-14考向三圆周角定理及其推论图27-15例3

[2019·常州]如图27-15,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,∠AOC=120°,则∠CDB=

°.

[答案]30

[解析]∵AB是☉O的直径,∠AOC=120°,∴∠BOC=60°.∴∠CDB=30°.|考向精练|1.[2019·娄底]如图27-16,C,D两点在以AB为直径的圆上,AB=2,∠ACD=30°,则AD=

.

图27-16[答案]

12.[2019·连云港]如图27-17,点A,B,C在☉O上,BC=6,∠BAC=30°,则☉O的半径为

.

图27-17[答案]

6

[解析]连接OB,OC,∵∠BOC=2∠BAC=60°,OB=OC,∴△BOC是等边三角形,∴OB=BC=6,故答案为6.3.[2019·雅安]如图27-18,△ABC内接于☉O,BD是☉O的直径,∠CBD=21°,则∠A的度数为

.

图27-18[答案]69°

[解析]∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°,∵∠CBD=21°,∴∠D=69°,∴∠A=∠D=69°,故答案为69°.考向四圆内接四边形图27-19例4

已知,如图27-19,☉O1与☉O2都经过A,B两点,过点A的直线CD与☉O1交于点C,与☉O2交于点D.过点B的直线EF与☉O1交于点E,与☉O2交于点F.求证:CE∥DF.证明:连接AB.∵四边形ABEC是☉O1的内接四边形,∴∠E+∠BAC=180°.又∵∠BAC+∠BAD=180°,∴∠BAD=∠E.又∵四边形ABFD是☉O2的内接四边形,∴∠BAD+∠F=180°.∴∠E+∠F=180°,∴CE∥DF.|考向精练|1.[2019·兰州]如图27-20,四边形ABCD内接于☉O,若∠A