第03讲向量的数量积（知识解读题型归纳随堂测试）（原卷版）

第03讲向量的数量积考点1：平面向量的数量积(1)已知两个非零向量和，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，∠AOB＝θ(0≤θ≤)叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.(2)||||cos叫作与的数量积(或内积)，记作,即＝||||cos.规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.两个非零向量与平行的充要条件是＝||||.考点2：平面向量数量积的几何意义数量积等于的长度||与在方向上的射影||cosθ的乘积．即＝||||cosθ.(在方向上的射影||cosθ;在方向上的射影||cosθ).考点3：平面向量数量积的重要性质性质1.性质2性质3当与同向时；当当与反向时.或.性质4性质5注意：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.考点4：平面向量数量积满足的运算律（1）（交换律）；（2）为实数）；（3）（分配律）。数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分.【题型1向量的投影】【典例1】向量，夹角为，且，|，则在方向上的投影的数量等于（

）A．4 B．2 C．1 D．【变式11】已知，，，则在方向上的投影向量是.【变式12】如图所示，求出以下向量的数量积．(1)；(2)；(3)．【变式13】已知与的夹角为.(1)求；(2)求在上的投影向量的模长.【题型2向量数量积的计算】【典例2】已知向量与的夹角为，且，求：(1)；(2)【变式21】已知，，与的夹角为，计算下列各式：(1)；(2)．【变式22】已知向量，，与的夹角为.求(1)(2)求；(3)求.【题型3求向量的夹角(夹角的余弦值)】【典例3】已知向量，满足，，.(1)求；(2)若，，求.【变式31】已知，，，求与的夹角．【变式32】已知，，.(1)求；(2)求向量与的夹角的余弦值.【变式33】已知向量与的夹角，且，.(1)求与的夹角的余弦值.(2)若，求在上的投影向量的坐标.【题型4已知向量的夹角求参数】【典例4】已知，，与的夹角是.(1)计算；(2)当k为何值时，？【变式41】已知的夹角为，(1)求的值；(2)当为何值时，.【变式42】设向量，满足，，满足．(1)判断与能否垂直；(2)若与的夹角为，求实数的值．【变式43】如图，在平行四边形中，，垂足为.(1)若，求的长；(2)设，求的值.【题型5向量的模】【典例5】已知平面向量满足．(1)求与的夹角；(2)求在方向上的投影向量的模．【变式51】已知，，且向量与的夹角为，则向量的模为.【变式52】已知非零向量满足，且，则向量的模长为．【变式53】已知非零向量，满足=2，则向量的模是（）A．4 B． C．2 D．【题型6向量数量积的最值问题】【典例6】已知向量，满足，，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．4【变式61】若，且，则的最大值为.【变式62】已知向量满足，则的最大值是，最大值是．【变式63】如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．10一、单选题1．在边长为2的等边中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．2．已知，，且，的夹角为，则（

）A．1 B． C．2 D．3．若向量满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．设向量，满足，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．85．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．在中，满足，，，则（

）A． B．0 C．25 D．657．已知单位向量与单位向量的夹角为，则（

）A．2 B． C． D．18．已知向量满足，，，则（

）A． B． C．5 D．209．已知非零向量，满足，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．110．中，，，则的面积为（

）A． B． C． D．211．已知为单位向量，若，则（

）A． B． C． D．二、填空题12．设向量，，若，则．13．已知为平面向量，．若在方向上的投影向量为，则.14．在中，，若，则．15．已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则．16．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则.17．已知向量满足，，，则与的夹角为．三、解答题18．，的夹角为，，.(1)求；(2