预习篇第13讲基本立体图形2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）（原卷版）

第13讲基本立体图形本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！1棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.2棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.3棱台(1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.(2)棱台的分类:由三棱锥、四棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台…….(3)正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形.4圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.5圆锥以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.6圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.7球体以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.【题型1】棱柱、棱锥、棱台的结构特征【知识点解读】1棱柱(1)概念有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2)性质①侧棱都相等，侧面是平行四边形；注：如图，由定义可得A'B'所以四边形AA'B'B是平行四边形！②两个底面是全等的多边形；注：由①可得两个底面各边相等，故底面是全等多边形.(3)分类①按底面多边形的边数分为：三棱柱，四棱柱等.②按侧棱是否垂直底面分为斜棱柱，直棱柱(底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体)注：直棱柱的侧棱垂直底面，则侧面是矩形.2棱锥(1)概念有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.注：正棱锥顶点与底面中心所在直线垂直与底面.(2)性质正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；(3)常见棱锥正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥.正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥，正四面体是特殊的正三棱锥.注：尝试画下这两个几何体.3棱台(1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.(2)棱台的分类:由三棱锥、四棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台…….(3)正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形.【典题1】下列说法中，正确的个数为()(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱(2)有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；(3)底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；(4)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【典题2】如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B经M到C1的最短路线长及此时A1【巩固练习】1.(★)下列几何体中，棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个2.(★)在棱柱中，()[来源:]A．只有两个面平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也平行3.(★)棱台不具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都平行D．侧棱延长后都交于一点4.(★★)下列说法中正确的是()A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．上下底面全等，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．棱台的底面是两个相似的正方形 D．棱台的侧棱延长后必交于一点5.(★★)给出下列命题①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；④一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确的命题是()A．①②③ B．①③ C．②③④ D．④6.(★★)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC7.(★★)有下列命题：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫做棱台；④棱柱的各相邻侧面的公共边互相平行．以上命题中，正确命题的序号是__________．8.(★★)如图，四棱柱ABCD-A1B19.(★★★)如图所示，在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中:

(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗?

(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗?

(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，水面的形状，水的形状有何变化?【题型2】圆柱、圆锥、圆台的结构特征【知识点解读】1圆柱(1)概念以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.(2)性质上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.(3)侧面展开图圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2圆锥(1)概念以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.(2)性质平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；轴截面是等腰三角形；如右图:三角形SAB如上图：l2(3)侧面展开图圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形.3圆台(1)概念用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.【典题1】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1上、下底面中心分别为A． B． C． D．【典题2】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比是1∶4，母线长为10，求圆锥的母线长．【巩固练习】1.(★)关于下列几何体，说法正确的是()A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台2.(★)如图所示的组合体，其结构特征是()A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的 C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的3.(★)一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转一周所得各面围成的几何体是()A．圆柱B．圆台C．圆锥D．以上都不对4.(★)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别坚直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是()A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面5.(★★)以一个等腰梯形的较长的底边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体的几何特征是()A．一个圆柱、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 C．一个圆台、两个圆锥 D．两个圆柱、一个圆台6.(★★)将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为7.(★★)已知一个圆台的上、下底面半径分别是1cm，2【题型3】球体的结构特征【知识点解读】(1)概念以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.(2)性质球心与截面圆心的连线垂直于截面；R2=r2+d2(【典题1】球的两个平行截面的面积分别为5π，8π两截面之间的距离为1，求球的半径．【巩固练习】1.(★)下列说法正确的是()A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线 B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 C．圆锥的轴截面是等腰三角形 D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆2.(★)如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体3.(★★)在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为()A．64B．65 C．66 D．671.(★)下列说法正确的是()A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三个顶点B．四面体有四个面、六条棱和四个顶点C．六棱锥有七个顶点D．棱柱的各条侧棱可以不相等2.(★)下列命题正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C．棱锥的底面一定是三角形 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱3.(★)下列叙述中，正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．A．3 B．2 C．1 D．04.(★★)北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是四层)如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)(A．14B．14πC．1+45.(★★)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1DA．π6 B．π3