概率论与数理统计浙大四版3讲

概率论与数理统计浙大四版3讲汇报人：AA2024-01-20CATALOGUE目录概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念和方法假设检验和方差分析回归分析初步了解概率论基本概念01所有可能结果的集合，一般用大写字母S表示。样本空间空集，即不可能发生的事件。不可能事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。事件一般用大写字母A、B、C等表示。事件样本空间中的单个元素，即一个可能的结果。基本事件包含样本空间中所有元素的事件，即一定会发生的事件。必然事件0201030405样本空间与事件概率定义及性质概率定义在给定条件下，某一事件发生的可能性大小。一般用P(A)表示事件A发生的概率，且0≤P(A)≤1。非负性对于任何事件A，有P(A)≥0。规范性对于必然事件S，有P(S)=1。可加性对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。条件概率与独立性条件概率在另一事件B已发生的条件下，事件A发生的概率。记作P(A|B)，且有P(A|B)=P(AB)/P(B)。事件的独立性如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。即P(AB)=P(A)P(B)。全概率公式如果事件B1、B2、...、Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对于任意一个事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。贝叶斯公式在全概率公式的条件下，有P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。贝叶斯公式用于在已知某些条件下，求另一事件发生的概率。全概率公式与贝叶斯公式随机变量及其分布02VS随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量分类根据取值的不同，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量取值为有限个或可列个，而连续型随机变量取值则充满一个区间。随机变量定义随机变量概念及分类离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率。对于离散型随机变量X，其分布律可以用概率函数P(X=x)来表示，其中x为随机变量X的取值。分布律定义常见的离散型分布包括二项分布、泊松分布、几何分布等。这些分布各自具有不同的特点和适用场景。常见离散型分布离散型随机变量分布律连续型随机变量概率密度连续型随机变量的概率密度函数描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布情况。对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足P(a<X≤b)=∫abf(x)dx，其中a和b为任意实数。概率密度定义常见的连续型分布包括正态分布、均匀分布、指数分布等。这些分布各自具有不同的概率密度函数和性质。常见连续型分布随机变量函数分布描述了由随机变量构成的函数的分布情况。对于随机变量X和函数Y=g(X)，Y的分布情况可以通过求解P(Y≤y)或P(Y>y)等概率问题来得到。求解随机变量函数分布的方法包括直接法、变换法和卷积法等。这些方法可以帮助我们确定由随机变量构成的函数的分布情况，进而进行相关的概率计算和统计分析。函数分布定义求解方法随机变量函数分布多维随机变量及其分布03联合概率密度函数对于连续型二维随机变量，其联合分布函数可表示为一个非负可积函数$f(x,y)$，称为联合概率密度函数。联合分布律对于离散型二维随机变量，其联合分布函数可用一个二维表格表示，称为联合分布律。联合分布函数的定义与性质描述二维随机变量$(X,Y)$在整个平面上取值的概率分布情况，具有非负性、规范性、右连续性等性质。二维随机变量联合分布边缘分布函数由二维随机变量的联合分布函数，可以分别得到$X$和$Y$的分布函数，称为边缘分布函数。连续型和离散型二维随机变量的边缘分布对应的概率密度函数或分布律。在已知$X=x$的条件下，$Y$的条件分布函数定义为$P{Yleqy|X=x}$。连续型和离散型二维随机变量在给定条件下的条件概率密度函数或条件分布律。边缘概率密度函数/边缘分布律条件分布函数条件概率密度函数/条件分布律边缘分布与条件分布独立性及相关系数独立性定义如果二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数可以表示为两个边缘分布函数的乘积，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称$X$和$Y$是相互独立的。相关系数定义及性质相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的量，取值范围为$[-1,1]$。当相关系数为0时，表示两个随机变量不相关；当相关系数为1或-1时，表示两个随机变量完全线性相关。不相关与独立的关系不相关不一定独立，但独立一定不相关。多维随机变量函数分布$Z=X+Y$的分布：当$(X,Y)$为连续型二维随机变量时，可以通过卷积公式或变换法求解$Z=X+Y$的分布；当$(X,Y)$为离散型二维随机变量时，可以通过直接列举法求解。02$Z=max{X,Y}$和$Z=min{X,Y}$的分布：可以通过对联合分布函数进行适当的变换得到这两个函数的分布。03其他多维随机变量函数的分布：对于其他形式的多维随机变量函数，如$Z=XY$、$Z=X/Y$等，可以通过适当的变换方法求解其分布。01数理统计基本概念和方法04研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。总体从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本样本中包含的个体数目，通常用n表示。样本容量总体与样本概念介绍统计量样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。要点一要点二统计量的性质包括无偏性、有效性、一致性等，用于评价统计量的优劣。统计量及其性质抽样分布定理描述样本统计量的分布规律，如中心极限定理、t分布、F分布等。应用在总体分布未知的情况下，可以利用抽样分布定理对样本统计量进行推断，如构造置信区间、进行假设检验等。抽样分布定理及应用点估计用样本统计量的某个值作为总体参数的估计值，如样本均值作为总体均值的点估计。区间估计利用样本统计量的分布规律构造出总体参数的一个置信区间，该区间以一定的概率包含总体参数的真值。常见的区间估计方法有枢轴量法、最大似然法等。参数估计方法假设检验和方差分析05假设检验原理及步骤假设检验原理及步骤010203提出原假设和备择假设选择适当的检验统计量，并确定其分布假设检验的步骤03判断是否拒绝原假设，作出统计决策01给定显著性水平，确定临界值和拒绝域02根据样本观测值计算检验统计量的值假设检验原理及步骤单个正态总体均值检验的原理当总体服从正态分布$N(mu,sigma^2)$时，样本均值$bar{X}$服从正态分布$N(mu,sigma^2/n)$。通过比较样本均值$bar{X}$与给定值$mu_0$的差异程度，可以判断原假设$H_0:mu=mu_0$是否成立。$Z$检验当总体标准差$sigma$已知时，使用$Z$检验统计量进行检验。$t$检验当总体标准差$sigma$未知时，使用$t$检验统计量进行检验。单个正态总体均值检验两个正态总体均值比较检验的原理当两个总体分别服从正态分布$N(mu_1,sigma_1^2)$和$N(mu_2,sigma_2^2)$时，通过比较两个样本均值$bar{X}_1$和$bar{X}_2$的差异程度，可以判断两个总体均值是否有显著差异。$Z$检验当两个总体标准差$sigma_1$和$sigma_2$已知时，使用$Z$检验统计量进行检验。$t$检验当两个总体标准差$sigma_1$和$sigma_2$未知但相等时，使用合并标准差进行$t$检验；当两个总体标准差$sigma_1$和$sigma_2$未知且不相等时，使用Welch$t$检验。两个正态总体均值比较检验方差分析是一种用于研究不同因素对某一指标影响程度的分析方法。它将总变异分解为因素引起的变异和随机误差引起的变异两部分，通过比较不同因素水平下观测值的变异程度，判断因素对指标是否有显著影响。方差分析原理方差分析在社会科学、医学、生物学、心理学等领域有广泛应用。例如，在医学研究中，可以通过方差分析比较不同治疗方法对患者病情的影响程度；在心理学研究中，可以通过方差分析探讨不同因素对个体心理特征的影响。方差分析的应用方差分析原理及应用回归分析初步了解06变量选择确定自变量和因变量，通常自变量为$x$，因变量为$y$。散点图观察绘制$x$和$y$的散点图，观察是否存在线性关系。假设提出假设$x$和$y$之间存在线性关系，即$y=beta_0+beta_1x+epsilon$，其中$beta_0$和$beta_1$为待估参数，$epsilon$为随机误差项。010203一元线性回归模型建立最小二乘法原理通过最小化残差平方和来求解参数估计值，即使$sum_{i=1}^{n}(y_i-(beta_0+beta_1x_i))^2$达到最小。参数估计值求解利用最小二乘法求解得到参数估计值$hat{beta}_0$和$hat{beta}_1$。最小二乘法求解参数估计值总平方和分解将总平方和分解为回归平方和与残差平方和两部分。F检验通过构造F统计量，检验回归方程是否显著，即检验自变量$x$对因变量$y$是否有显著影响。t检验通过构造t统计量，检验回归系数是否显著，即检验自变量$x$的系数是否为0。回归方程显著性检验030201多元线性回归模型当自变量个数大于1时，建立多