2024届山东省泰安市泰山区泰安一中数学高二下期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届山东省泰安市泰山区泰安一中数学高二下期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，则与的夹角为（）A．0 B． C． D．2．已知复数，则下列结论正确的是A．的虚部为i B．C．为纯虚数 D．3．在等差数列中，，则为（）A．2 B．3 C．4 D．54．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A． B． C． D．5．正六边形的边长为，以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为；以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为．若分别为的最小值、最大值，其中，则下列对的描述正确的是（）A． B． C． D．6．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了A．60里 B．48里 C．36里 D．24里7．若函数在为增函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．8．设，则的大小关系是A． B． C． D．9．已知函数，则的值为（）A． B．1 C． D．010．外接圆的半径等于1，其圆心O满足，则向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．311．第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．15012．已知单位圆有一条长为的弦，动点在圆内，则使得的概率为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．观察下列算式：，，，，…，，则____．14．命题“若，则”的否命题为．15．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，代表“生活不能自理”，按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位，则被访问地3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为___16．若方程有实数解，则的取值范围是____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）(1)已知可逆矩阵的逆矩阵为，求的特征值.(2)变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是：变换对应用的变换矩阵是，求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程.18．（12分）已知函数.（1）若在处取得极值，求的单调递减区间；（2）若在区间内有极大值和极小值，求实数的取值范围.19．（12分）一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为p、、，且每题答对与否相互独立．(1)当时，求考生填空题得满分的概率；(2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求的p值．20．（12分）求下列函数的导数：（1）；（2）.21．（12分）某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？22．（10分）设函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】由题设，故，应选答案C．2、C【解题分析】

先利用复数的除法将复数化为一般形式，然后利用复数的基本知识以及四则运算法则来判断各选项的正误．【题目详解】，的虚部为，，为纯虚数，，故选C.【题目点拨】本题考查复数的四则运算、复数的概念、共轭复数等的理解，解题的关键就是将复数化为一般形式，借助相关概念进行理解，考查计算能力，属于基础题．3、A【解题分析】

由等差数列性质，得，问题得解.【题目详解】是等差数列，，，解得.故选：A【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.4、A【解题分析】由圆，化为，∴，化为，∴圆心为，半径r=．∵tanα=，取极角，∴圆的圆心的极坐标为．故选A．5、A【解题分析】

利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而得到结论．【题目详解】由题意，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为，以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为，则利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，又因为分别为的最小值、最大值，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题．6、C【解题分析】

每天行走的里程数是公比为的等比数列，且前和为，故可求出数列的通项后可得.【题目详解】设每天行走的里程数为，则是公比为的等比数列，所以，故（里），所以（里），选C.【题目点拨】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题.7、A【解题分析】

利用函数的导函数在区间恒为非负数列不等式，用分离常数法求得的取值范围.【题目详解】依题意，在区间上恒成立，即，当时，，故，在时为递增函数，其最大值为，故.所以选A.【题目点拨】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.8、A【解题分析】试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．9、D【解题分析】

求出的导函数，代入即得答案.【题目详解】根据题意，，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查导函的四则运算，比较基础.10、C【解题分析】分析：先根据题意画出图形，由已知条件可知三角形为直角三角形，且，再根据直角三角形射影定理可求得所求投影的值.详解：根据题意画出图像如下图所示，因为，所以为中点，所以是圆的直径，所以.由于，所以三角形为等边三角形，所以，根据直角三角形射影定理得，即.故选C.点睛：本小题主要考查圆的几何性质，考查向量加法的几何意义，考查直角三角形射影定理等知识.属于中档题.11、D【解题分析】分析：将人分成满足题意的组有与两种，分别计算分为两类情况的分组的种数，再分配到三个不同的展馆，即可得到结果．详解：将人分成满足题意的组有与两种，分成时，有种分法；分成时，有种分法,由分类计数原理得，共有种不同的分法，故选D．点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．12、A【解题分析】

建立直角坐标系，则，设点坐标为，则，故，则使得的概率为，故选A．【题目点拨】（1）当试验的结果构成的区域为长度､面积､体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、142；【解题分析】

观察已知等式的规律，可猜想第行左边第一个奇数为后续奇数依次为：由第行第一个数为，即：，解得：，可得：，即可得解.【题目详解】第行等号左边第一个加数为第个奇数，即，于是第一个加数为，所以第个等式为，，【题目点拨】本题主要考查归纳与推理，猜想第行左边第一个奇数为进而后续奇数依次为：是解题的关键.14、若，则【解题分析】

试题分析：否命题是对命题的条件和结论同时否定，同时否定和即可.命题“若，则”的否命题为:若，则考点：四种命题.15、【解题分析】

先确定抽取5位中健康指数大于0和不大于0的人数，再根据古典概型概率求解.【题目详解】因为350人中健康指数大于0和不大于0各有280，70人，所以根据分层抽样抽取5位中健康指数大于0和不大于0的人数分别为4，1；因此被访问地3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为故答案为：【题目点拨】本题考查分层抽样以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.16、【解题分析】

关于x的方程sinxcosx＝c有解，即c＝sinxcosx＝2sin（x-）有解，结合正弦函数的值域可得c的范围．【题目详解】解：关于x的方程sinx-cosx＝c有解，即c＝sinx-cosx＝2sin（x-）有解，由于x为实数，则2sin（x-）∈[﹣2，2]，故有﹣2≤c≤2【题目点拨】本题主要考查两角差的正弦公式、正弦函数的值域，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），.（2）【解题分析】

(1)根据得出的逆矩阵，结合特征值的性质即可求解;(2)先求出,再求点的变换，从而利用函数求出变换作用下所得曲线的方程.【题目详解】（1）解：由可知，所以，，所以，；所以，，由，，.（2）.设变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是，即，所以所求曲线的方程是.【题目点拨】本题主要考查了逆矩阵、特征值以及矩阵变换等知识，意在考查运算求解能力，属于中档题.18、（1）；（2）【解题分析】

分析：（1）由，可得，利用，即，可得，从而可得结果；（2）在内有极大值和极小值，等价于在内有两不等实根，结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可.详解：，（1）∵在处取得极值，∴，∴，∴，∴，令，则，∴，∴函数的单调递减区间为.（2）∵在内有极大值和极小值，∴在内有两不等实根，对称轴，∴，即，∴.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）设考生填空题得满分为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出考生填空题得满分的概率．（2）设考生填空题得15分为事件B，得10分为事件C，由考生填空题得10分与得15分的概率相等，利用互斥事件概率加法公式能求出．【题目详解】设考生填空题得满分、15分、10分为事件A、B、C（1）（2）因为，所以得【题目点拨】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20、（1）；（2）.【解题分析】

(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导.【题目详解】(1)f'(x)=(1+sinx)'(1-4x)+(1+sinx)(1-4x)'=cosx(1-4x)-4(1+sinx)=cosx-4xcosx-4-4sinx.(2)f(x)=-2x=1--2x,则f'(x)=-2xln2.【题目点拨】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.21、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）不应该.【解题分析】

（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过台的概率即可；（2）（i）求出的可能取值及其对应的概率，得出的分布列和数学期望；（ⅱ）求出有名维修工人时的工厂利润，得出结论．【题目详解】解：（1）因为该工厂只有名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有台大型机器出现故障．∴该工厂