2024届广东省深圳市红岭中学高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届广东省深圳市红岭中学高二数学第二学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．3．已知是离散型随机变量，，则（）A． B． C． D．4．已知函数且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知数列满足，，，设为数列的前项之和，则（）A． B． C． D．6．在用反证法证明命题“三个正数a，b，c满足，则a，b，c中至少有一个不大于2”时，下列假设正确的是（）A．假设a，b，c都大于2 B．假设a，b，c都不大于2C．假设a，b，c至多有一个不大于2 D．假设a，b，c至少有一个大于27．设为两个随机事件，给出以下命题：（1）若为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则为相互独立事件；（3）若，，，则为相互独立事件；（4）若，，，则为相互独立事件；（5）若，，，则为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数的单调递减区间为（）A．或 B． C． D．9．若a，b为实数，则“”是“”的A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分必要条件10．在△ABC中，，，，则角B的大小为（）A． B． C． D．或11．若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的单调递减区间为（）A． B．C． D．12．正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是()A． B．2 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，且，则称集合是“兄弟集合”，在集合中的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“兄弟集合”的概率是__________14．若，则的解析式为________________.15．如果复数的实部与虚部相等，则_______.16．已知不等式对任意恒成立，其中，是与无关的实数，则的最小值是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数满足，其中.（1）求的值及的最小正周期；（2）当时，求的最值.18．（12分）设正整数,集合，是集合P的3个非空子集,记为所有满足：的有序集合对（A,B,C）的个数.（1）求；（2）求.19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值．20．（12分）已知函数（为常数）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值.21．（12分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米。要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个桶圆形状（如图）。（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3）22．（10分）已知复数，且为纯虚数，求.（其中为虚数单位）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【题目详解】化简不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【题目点拨】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．2、B【解题分析】

通过可判断函数在上为增函数，再利用增函数的性质即可得到，，的大小关系.【题目详解】由于当时，都有成立，故在上为增函数，,,而，所以，故答案为B.【题目点拨】本题主要考查函数的性质，利用函数性质判断函数值大小，意在考查学生的转化能力，分析能力和计算能力，难度中等.3、B【解题分析】

根据题意，由随机变量的分布列的性质可得则只有两个变量，进而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性质计算可得答案.【题目详解】根据题意，，则则只有两个变量，则，得，即，则，则.故选：B【题目点拨】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、数学期望以及方差与方差性质，属于基础题.4、A【解题分析】分析：先确定函数奇偶性与单调性，再利用奇偶性与单调性解不等式.详解：因为，所以,为偶函数，因为当时，单调递增，所以等价于，即，或，选A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为同一单调区间上的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.5、A【解题分析】

由可知数列为等差数列且公差为，然后利用等差数列求和公式代入计算即可．【题目详解】由可知数列为等差数列且公差为，所以故选．【题目点拨】本题主要考查等差数列的概念及求和公式，属基础题．6、A【解题分析】

否定结论，同时“至少有一个”改为“全部”【题目详解】因为“a，b，c至少有一个不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故选A.【题目点拨】本题考查反证法，在反证法中假设命题反面成立时，结论需要否定的同时，“至少”，“至多”，“都”等词语需要改变．7、D【解题分析】

根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1，结合相互独立事件的概率满足，可判断（2）、（3）、（4）、（5）的正误.【题目详解】若为互斥事件，且，则，故（1）正确；若则由相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（2）正确；若，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（3）正确；若，当为相互独立事件时，故（4）错误；若则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（5）正确.故选D.【题目点拨】本题考查互斥事件、对立事件和独立事件的概率，属于基础题.8、C【解题分析】

先求出函数的导函数，令导函数小于零，解不等式即可得出单调递减区间。【题目详解】由题可得，令，即，解得或，又因为，故，故选C【题目点拨】本题考查利用导函数求函数的单调区间，解题的关键是注意定义域，属于简单题。9、B【解题分析】

根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【题目详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B【题目点拨】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.10、A【解题分析】

首先根据三角形内角和为，即可算出角的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B【题目详解】在△ABC中有,所以,所以,又因为,所以，所以,因为，，所以由正弦定理得，因为,所以。所以选择A【题目点拨】本题主要考查了解三角形的问题，在解决此类问题时常用到：1、三角形的内角和为。2、正弦定理。3、余弦定理等。属于中等题。11、A【解题分析】

利用三角恒等变换化简的解析式，再根据的图象变换规律求得的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数的单调递减区间.【题目详解】解：将函数的图象上所有的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，令，求得，可得的单调递减区间为.故选：A.【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的单调性，属于基础题.12、A【解题分析】试题分析：由得解得，再由得，所以，所以.考点：数列与基本不等式.【思路点晴】本题主要考查等比数列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解决等比数列的首项和公比，也即求出等比数列的基本元，在求解过程中，先对具体的数值条件进行化简，可求出，由此化简第一个条件，可得到；接下来第二步是基本不等式常用的处理技巧，先乘以一个常数，再除以这个常数，构造基本不等式结构来求.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

首先确定非空子集的个数；根据“兄弟集合”的定义，可列举出所有“兄弟集合”，根据古典概型概率公式求得结果.【题目详解】集合的非空子集共有：个集合的非空子集中，为“兄弟集合”的有：，，，，，，，共个根据古典概型可知，所求概率本题正确结果：【题目点拨】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够根据“兄弟集合”的定义确定符合题意的集合个数.14、【解题分析】

利用换元法可求的解析式.【题目详解】令，

∴，则，故，即，故答案为：.【题目点拨】本题考查了函数的解析式的求法，常用求法本题中均有体现，是一道基础题．15、7【解题分析】

根据复数除法运算可求得，根据实部与虚部相等可构造方程求得结果.【题目详解】，，解得：.故答案为：.【题目点拨】本题考查根据复数的实部和虚部定义求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算问题，属于基础题.16、1【解题分析】

设，其中，求出的取值范围，即可得出的最小值．【题目详解】设，其中；；，，，，即；令，，则的最小值是．故答案为：1．【题目点拨】本题考查不等式恒成立应用问题，可转化为求函数的最值，结合单调性是解题的关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大值为3，最小值为．【解题分析】

(1)代入即可得到的值，化简整理，利用周期公式即可得到答案；（2）当，利用第一问求得的解析式分析可得到最值.【题目详解】解：（1）由，得，解得所以函数的最小正周期（2）当时，，所以的最大值为3，最小值为．【题目点拨】本题主要考查三角函数中周期的计算，最值的计算，意在考查学生的基础知识，难度不大.18、（1），（2）【解题分析】

（1）通过分析，，分别讨论可得到；（2）通过分析A共有种不同情形，集合B共有种不同情形，集合C随集合B确定而唯一确定，于是可得通项公式.【题目详解】当时，集合，因为是集合P的3个非空子集，根据题意，所以当时，或;当时，或;当时，或.所以.（2）当A中的元素个数为时，集合A共有种不同情形，集合B共有种不同情形，集合C随集合B确定而唯一确定，所以.【题目点拨】本题主要考查数列，集合，排列组合的综合运用，意在考查学生的划归能力，分析能力，逻辑推理能力，难度较大.19、（1）见解析（2）【解题分析】

要证线面平行，先证线线平行建系，利用法向量求解。【题目详解】（1）连接ME，BC∵M，E分别为B1B，BC的中点∴又∵∴A1DCB1是平行四边形∴∴∴NDEM是平行四边形∴NM∥DE又NM平面C1DE∴NM∥平面C1DE(2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以D为原点，DA，DE，DD1三边分别为x，y，z轴，建立空间坐标系O-xyz则A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1，，2）设平面A1MD的法向量为则∴解得又∴∴AM与平面A1MD所成角的正弦值.【题目点拨】要证线面平行，可证线线平行或面面平行。求线面所成角得正弦值，可用几何法做出线面角，再求正弦值；或者建立空间直角坐标系，利用法向量求解。20、（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为；（Ⅱ）.【解题分析】试题分析：（1）先求函数导数，讨论导函数符号变化规律：当时，导函数不变号，故的单调递增区间为.当时，导函数符号由正变负，即单调递增区间为,单调递减区间减区间为，（2）先求导数得为方程的两根，再求导数得，因此，而由为的零点，得,两式相减得,即得，因此，从而，其中根据韦达定理确定自变量范围：因为又，所以试题解析：（1），当时，由解得,即当时，单调递增，由解得,即当时，单调递减,当时，,即在上单调递增,当时，故，即在上单调递增,所以当时，的单调递增区间为,单调递减区间减区间为，当时，的单调递增区间为.（2）,则,所以的两根即为方程的两根.因为,所以,又因为为的零点，所以,两式相减得,得,而,所以令,由得因为,两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以，设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.21、(1)33.26；(2)拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米.【解题分析】

（1）根据题意，建立坐标系，可得的坐标并设出椭圆的方程，将与点坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得，计算可得答案；（2）根据题意，设椭圆方程为，将代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当且，时，，进而分析可得答案．【题目详解】（1）如图建立直角坐标系，则点，椭圆方程为．将与点坐标代入椭圆方程，得，此时此时因此隧道的拱宽约为33.26米；（2）