2024届河南省数学高二下期末经典模拟试题含解析

2024届河南省数学高二下期末经典模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数为内的奇函数，且当时，，记，则间的大小关系是（）A． B．C． D．2．随机变量，且，则（）A．64 B．128 C．256 D．323．从装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于（）A． B． C． D．4．已知，，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．5．定义在区间上的函数的图象如图所示，以为顶点的△ABC的面积记为函数，则函数的导函数的大致图象为()A． B． C． D．6．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A． B． C． D．7．已知函数与函数，下列选项中不可能是函数与图象的是A． B．C． D．8．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为()A． B． C． D．19．“”是“对任意恒成立”的A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件10．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中不可能成立的是A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素11．已知随机变量满足条件～，且，那么与的值分别为A． B． C． D．12．甲乙丙丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说:“乙、丁都未获奖.”乙说：“是甲或丙获奖.”丙说：“是甲获奖.”丁说：“是乙获奖.”四人所说话中只有两位是真话，则获奖的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．14．已知复数的共轭复数是，且，则的虚部是__________．15．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个.（用数字作答）16．若函数的导函数为，则_____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某校高二理科1班共有50名学生参加学业水平模拟考试，成绩（单位：分，满分100分）大于或等于90分的为优秀，其中语文成绩近似服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图.（1）这50名学生中本次考试语文、数学成绩优秀的大约各有多少人？（2）如果语文和数学两科成绩都优秀的共有4人，从语文优秀或数学优秀的这些同学中随机抽取3人，设3人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望；（3）根据（1）（2）的数据，是否有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀？语文优秀语文不优秀合计数学优秀数学不优秀合计附：①若，则，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）某校为了了解学生对电子竞技的兴趣，从该校高二年级的学生中随机抽取了人进行检查，已知这人中有名男生对电子竞技有兴趣，而对电子竞技没兴趣的学生人数与电子竞技竞技有兴趣的女生人数一样多，且女生中有的人对电子竞技有兴趣.在被抽取的女生中与名高二班的学生，其中有名女生对电子产品竞技有兴趣，先从这名学生中随机抽取人，求其中至少有人对电子竞技有兴趣的概率；完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“电子竞技的兴趣与性别有关”.有兴趣没兴趣合计男生女生合计参考数据：参考公式：20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线（是参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程：.（1）写出曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）设，直线与曲线交于、两点，求的值.21．（12分）已知函数f（x）＝xex（1）求函数f（x）的极值．（2）若f（x）﹣lnx﹣mx≥1恒成立，求实数m的取值范围．22．（10分）已知函数,函数⑴当时,求函数的表达式;⑵若,函数在上的最小值是2,求的值;⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据奇函数解得，设，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案.【题目详解】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，，所以在内单调递减又，故，选D.【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性单调性，比较大小，构造函数是解题的关键.2、A【解题分析】

根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得的值，进而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.【题目详解】随机变量服从二项分布，且，所以，则，因此.故选A.【题目点拨】本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题.3、C【解题分析】

根据二项分布的数学期望计算，即可得出答案。【题目详解】根据题意可得出，即所以故选C【题目点拨】本题考查二项分布，属于基础题。4、C【解题分析】

构造函数，原不等式等价于两次求导可证明在上递减，从而可得结论.【题目详解】由题意，，，设，，设，，在单调递减，且，,所以在递减，，故选C.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出；（2）令求出的范围，可得增区间；（3）令求出的范围，可得减区间.5、D【解题分析】

连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【题目详解】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选D．【题目点拨】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题．6、B【解题分析】试题分析：记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件，则，解得，故选B．考点：对立事件与独立事件的概率．7、D【解题分析】

对进行分类讨论，分别作出两个函数图象，对照选项中的图象，利用排除法,可得结果.【题目详解】时，函数与图象为：故排除；，令，则或，当时，0为函数的极大值点,递减，函数与图象为：故排除；当时，0为函数的极小值点，递增，函数与图象为：故排除；故选.【题目点拨】本题考查的知识点是三次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8、D【解题分析】

令y=，从而求导y′=以确定函数的单调性及取值范围，再令=t，从而化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，从而可得a＜﹣3或a＞1，讨论求解即可．【题目详解】令y=，则y′=，故当x∈（0，e）时，y′＞0，y=是增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＞0，y=是减函数；且=﹣∞，=，=0；令=t，则可化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故结合题意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨设方程的两个根分别为t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，与t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，则方程的两个根t1，t2一正一负；不妨设t1＜0＜t2，结合y=的性质可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故选：D．【题目点拨】本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，考查了函数的零点个数问题，考查了分类讨论思想的应用．9、C【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法进行判断即可．【题目详解】解：对任意恒成立，推不出，，“”是“对任意恒成立”的必要不充分条件．故选：C．【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本题的关键．10、C【解题分析】试题分析：设,显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；,显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；,显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能；同时，假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故选C．考点：以集合为背景的创新题型．【方法点睛】创新题型，应抓住问题的本质，即理解题中的新定义，脱去其“新的外衣”，转化为熟悉的知识点和题型上来．本题即为，有理数集的交集和并集问题，只是考查两个子集中元素的最值问题，即集合M、N中有无最大元素和最小元素．11、C【解题分析】

根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n与p的值．【题目详解】∵X～B（n，p）且，∴，解得n＝15，p故选C．【题目点拨】本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．12、C【解题分析】

本题利用假设法进行解答.先假设甲获奖，可以发现甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；然后依次假设乙、丙、丁获奖，结合已知，选出正确答案.【题目详解】解:若是甲获奖，则甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；若是乙获奖，则丁所说的话是真话，不合题意；若是丙获奖，则甲乙所说的话是真话，符合题意；若是丁获奖，则四人所说的话都是假话，不合题意.故选C.【题目点拨】本题考查了的数学推理论证能力，假设法是经常用到的方法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：先确定4位同学中选出3位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为4位同学中选出3位同学共有种，甲被选中事件数有,所以甲被选中的概率为.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.14、【解题分析】

设复数，代入等式得到答案.【题目详解】设复数故答案为【题目点拨】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数的模，意在考查学生的计算能力和对复数知识的灵活运用.15、1【解题分析】

题目要求得到能被5整除的数字，注意0和5的排列，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，根据分步计数原理得到结果．【题目详解】解：①四位数中包含5和0的情况：．②四位数中包含5，不含0的情况：．③四位数中包含0，不含5的情况：．四位数总数为．故答案为：1．【题目点拨】本题是一个典型的排列问题，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题.16、【解题分析】

先求导，再代值计算．【题目详解】，，故答案为：．【题目点拨】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）语文成绩优秀的同学有人，数学成绩优秀的同学有人.（2）分布列见解析，；（3）没有以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀.【解题分析】

（1）语文成绩服从正态分布，根据正态分布的原则可得语文成绩优秀的概型及人数，根据数学成绩的频率分布直方图可以计算数学成绩优秀的概率及人数；（2）语文和数学两科都优秀的有4人，则可算出单科优秀的学生人数，从中随机抽取3人，则3人中两科都优秀的可能为0、1、2、3四种情况，服从超几何分布，利用概率公式分别求出概率，即可写出分布列及数学期望；（3）先完成列联表，利用公式求出卡方的值比较参考数据即可得出结论；【题目详解】解：（1）因为语文成绩服从正态分布所以语文成绩优秀的概率数学成绩优秀的概率所以语文成绩优秀的同学有人，数学成绩优秀的同学有人.（2）语文数学两科都优秀的有4人，单科优秀的有10人，的所有可能取值为0、1、2、3，，，，所以的分布列为：（3）列联表：语文优秀语文不优秀合计数学优秀数学不优秀合计所以没有以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀.【题目点拨】本题考查正态分布的概率计算，频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列及期望的计算，独立性检验的应用，属于中档题.18、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）证明，再证明平面，即可证明；（2）以为原点建立空间直角坐标系，再求平面以及平面的法向量，再求两个平面法向量夹角的余弦值，结合图像即可求得二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：连接，.因为四边形是菱形且，为的中点，所以.因为平面，所以，又，所以平面，则.因为，所以.（2）以为原点建立空间直角坐标系（其中为与的交点），如图所示，则，，，.设平面的法向量为，则，，即，令，得.设平面的法向量为，则，，即，令，得.所以，由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.【题目点拨】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.19、；列联表见解析，没有.【解题分析】

（1）计算出从名学生中随机抽取人的可能，再计算出抽到的人中至少有人对电子竞技有兴趣的可能，利用古典概型公式即得答案；（2）先填写列联表，然后计算，与比较大小即可得到答案.【题目详解】从名学生中随机抽取人，共有种不同的抽取方案；抽到的人中至少有人对电子竞技有兴趣的方案数有：种抽取人中至少有人对电子竞技有兴趣的概率为.设对电子竞技没兴趣的学生人数为，对电子竞技没兴趣的学生人数与对电子竞技有兴趣的女生人数一样多由题，解得.又女生中有的人对电子竞技有兴趣，女生人数为男生人数为，其中有人对电子竞技没兴趣得到下面列联表没用的把握认为“对电子竞技的兴趣与性别有关”.【题目点拨】本题主要考查古典概型，独立性检验统计案例，意在考查学生的计算能力，分析能力，难度不大.20、（1）曲线的普通方程是，直线的直角坐标方程为（2）【解题分析】

（1）直接利用参数方程公式得到曲线方程，三角函数展开代入公式得到答案.（2）写出直线的参数方程，代入曲线方程，利用韦达定理得到答案.【题目详解】解：（1）曲线的普通方程是，直线的直角坐标方程为．（2）直线经过点，且倾斜角是∴直线的参数方程是（是参数）设，对应的参数分别