新疆兵团二师华山中学2024届高二数学第二学期期末质量检测试题含解析

新疆兵团二师华山中学2024届高二数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，202．已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]3．已知…，依此规律，若，则的值分别是（）A．48，7 B．61，7 C．63，8 D．65，84．若函数有个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．5．若展开式的常数项为60，则值为()A． B． C． D．6．如果根据是否爱吃零食与性别的列联表得到，所以判断是否爱吃零食与性别有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（）注：0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A．2.5% B．0.5% C．1% D．0.1%7．已知数列为等差数列，且，则的值为A． B．45 C． D．8．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．若满足约束条件则的最大值为A．2 B．6 C．7 D．810．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（）A．140种 B．80种 C．70种 D．35种11．已知点P(x，y)的坐标满足条件那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为()A．2 B．1 C． D．12．直线与曲线的公共点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中，项的系数为______．14．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则这球的半径为______cm.15．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a，x＝a＋1(a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.运用类比推理，若对∀n∈N*，恒成立，则实数A＝________.16．已知在平面内，点关于轴的对称点的坐标为.根据类比推理，在空间中，点关于轴的对称点的坐标为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了研究玉米品种对产量的，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：高茎矮茎总计圆粒111930皱粒13720总计242650（1）现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；（2）根据玉米生长情况作出统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？附：0.050.013.8416.63518．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）证明：当时，方程在区间上只有一个解；（3）设，其中.若恒成立，求的取值范围.19．（12分）已知函数在与时都取得极值．（1）求的值与函数的单调区间；（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围．20．（12分）已知函数.（I）讨论极值点的个数.（II）若是的一个极值点，且，证明：.21．（12分）若不等式的解集是，求不等式的解集．22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若，圆与直线交于两点，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【题目详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.2、D【解题分析】

由为上的减函数，根据和时，均单调递减，且，即可求解.【题目详解】因为函数为上的减函数，所以当时，递减，即，当时，递减，即，且，解得，综上可知实数的取值范围是，故选D.【题目点拨】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3、C【解题分析】

仔细观察已知等式的数字可发现:,根据此规律解题即可.【题目详解】由,

,

,

归纳可得,故当时,,

故选C.【题目点拨】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.4、D【解题分析】分析：首先研究函数的性质，然后结合函数图象考查临界情况即可求得最终结果.详解：令，，原问题等价于与有两个不同的交点，当时，，，则函数在区间上单调递增，当时，，，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，绘制函数图象如图所示，函数表示过坐标原点的直线，考查临界情况，即函数与函数相切的情况，当时，，当时，，数形结合可知：的取值范围是.本题选择D选项.点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5、D【解题分析】

由二项式展开式的通项公式写出第项，求出常数项的系数，列方程即可求解.【题目详解】因为展开式的通项为，令，则，所以常数项为，即，所以.故选D【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.6、A【解题分析】

根据得到，得到答案.【题目详解】，故，故判断“是否爱吃零食与性别有关”出错的可能性不超过2.5%.故选：.【题目点拨】本题考查了独立性检验问题，意在考查学生的理解能力和应用能力.7、B【解题分析】由已知及等差数列性质有，故选B.8、D【解题分析】不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；平行于同一条直线的两个平面平行或相交；正确.9、C【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【题目详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线在纵轴的截距最大，此时最大，由，解得，代入目标函数得，的最大值为，故选C.【题目点拨】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10、C【解题分析】

按照选2台甲型1台乙型，或是1台甲型2台乙型，分别计算组合数.【题目详解】由题意可知可以选2台甲型1台乙型，有种方法，或是1台甲型2台乙型，有种方法，综上可知，共有30+40=70种方法.故选：C【题目点拨】本题考查组合的应用，分步，分类计算原理，重点考查分类讨论的思想，计算能力，属于基础题型.11、A【解题分析】

由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点到直线的最小值，即可求解．【题目详解】由约束条件作出可行域，如图所示，由图可知，当与重合时，点到直线的距离最小为．故选：A．【题目点拨】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．12、B【解题分析】分析：由于已知曲线函数中含有绝对值符号，将x以0为分界进行分类讨论，当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x<0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数，详解：当x≥0时，方程化为；当x<0时，化为，所以曲线是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图像可知，直线与曲线的公共点的个数为2故答案选B点晴：本题主要考查了学生对直线与圆锥曲线相交的掌握情况，熟练掌握椭圆，双曲线的区别，然后利用数形结合即可解决本题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用二项式展开式的通项公式，求得项的系数.【题目详解】二项式，展开式中含项为，所以项的系数为.故答案为：.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.14、13；【解题分析】

设球的半径为，得到截面圆的半径为，球心距为，再由，列出方程，即可求解.【题目详解】设球的半径为，将球取出，留下空穴的直径为，深，则截面圆的半径为，球心距为，又由，即，化简得，解得.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了球的几何特征，其中解答中根据球的半径，截面圆的半径，以及球心距构造直角三角形，利用勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15、【解题分析】令，依据类比推理可得A1＝dx＝ln(n＋1)－lnn，A2＝dx＝ln(n＋2)－ln(n＋1)，…，An＝dx＝ln(2n)－ln(2n－1)，所以A＝A1＋A2＋…＋An＝ln(n＋1)－lnn＋ln(n＋2)－ln(n＋1)＋…＋ln(2n)－ln(2n－1)＝ln(2n)－lnn＝ln2.16、【解题分析】

在空间中，点关于轴的对称点：轴不变，轴取相反数.【题目详解】在空间中，点关于轴的对称点：轴不变，轴取相反数.点关于轴的对称点的坐标为故答案为：【题目点拨】本题考查了空间的对称问题，意在考查学生的空间想象能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）有的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．【解题分析】

（1）采用分层抽样的方式，从样本中取出的6株玉米随机选出2株中包含高杆的2株，矮杆的4株，故可求这2株之中既有高杆玉米又有矮杆玉米的概率；（2）带入公式计算值，和临界值表对比后即可得答案．【题目详解】（1）依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为，；矮茎4株，记为，，，；从中随机选取2株的情况有如下15种：，，，，，，，，，，，，，，．其中满足题意的共有，，，，，，，，共8种，则所求概率为．（2）根据已知列联表：高茎矮茎合计圆粒111930皱粒13720合计242650得，又，有的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．【题目点拨】本题主要考查古典概型的概率和独立性检验，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．18、（1）在上单调递减，在区间上单调递增.（2）见解析(3)【解题分析】分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导函数，根据函数的单调性，得到函数在的零点个数，求出方程在的解的个数即可；（3）设，，根据函数的单调性求出函数的最小值，，求出的范围即可.详解：（1）由已知.所以，在区间上，函数在上单调递减，在区间上，函数在区间上单调递增.（2）设，.，由（1）知，函数在区间上单调递增.且，.所以，在区间上只有一个零点，方程在区间上只有一个解.（3）设，，定义域为，，令，则，由（2）知，在区间上只有一个零点，是增函数，不妨设的零点为，则，所以，与在区间上的情况如下：-0+所以，函数的最小值为，，由，得，所以.依题意，即，解得，所以，的取值范围为.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，应用导数研究函数的零点，应用导数研究恒成立问题，正确求解函数的导函数是解题的关键.19、解：（1），递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（1）【解题分析】

（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（1）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，1]恒成立求出函数的最大值为f（1），代入求出最大值，然后令f（1）＜c1列出不等式，求出c的范围即可．【题目详解】（1），f（x）＝3x1+1ax+b由解得，f（x）＝3x1﹣x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：x（﹣∞,）（，1）1（1，+∞）f（x）+0﹣0+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（1）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，1）上递增，所以当x时，f（x）为极大值，而f（1）＝，所以f（1）＝1+c为最大值．要使f（x）＜对x∈[﹣1，1]恒成立，须且只需＞f（1）＝1+c．解得c＜﹣1或c＞1．【题目点拨】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．20、（I）答案不唯一，具体见解析（II）见解析【解题分析】

（I）根据题目条件，求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求得函数的极值的个数。（II）根据是的一个极值点，得出，再根据，求出的范围，再利用（１）中的结论，得出的单调性，观察得出，对与的大小关系进行分类讨论，结合函数单调性，即可证明。【题目详解】（I）∵，，．∴或1、当，即时，若，则，单调递增；若，则，单调递减；若，则，单调递增；此时，有两个极值点：，．2、当，即时，，f（x）单调递增，此时无极值点.3、当，即时，若，则，单调递增；若，则，单调