安徽省三校2024届数学高二第二学期期末联考试题含解析

安徽省三校2024届数学高二第二学期期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是（）A．在100个男性中约有90人喜爱喝酒B．若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%C．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10%D．认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90%2．已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则（）A． B． C． D．4．已知直线与双曲线分别交于点，若两点在轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（）A． B． C．4 D．5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油6．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是（是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤7．已知抛物线（是正常数）上有两点、，焦点，甲：；乙：；丙：；丁：.以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（）A． B． C． D．8．集合，那么（）A． B． C． D．9．下列命题为真命题的个数是（）①，是无理数；②命题“∃∈R，”的否定是“∀x∈R，＋1≤3x”；③命题“若,则”的逆否命题为真命题；④。A．1 B．2 C．3 D．410．展开式中常数项为()A． B． C． D．11．甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为（）A． B． C． D．12．函数的零点所在的大致区间是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校有高一学生105人，高二学生126人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查，设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息，估计所有学生中“同意”的人数为________人同意不同意合计高一2高二4高三114．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，过作，垂足为，的中点为，若，则__15．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的道试题中，甲能答对其中的道，乙能答对其中的道，规定每次考试都从备选题中随机抽出道题进行测试，至少答对道题才算合格，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________.16．设集合，，则集合______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）、两人不排在一起，有几种排法？（2）、两人必须排在一起，有几种排法？（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线上恰好存在两个点到直线的距离为，求实数的取值范围.19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），为曲线上的动点，动点满足（且），点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.20．（12分）传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，如图是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成列联表，并据此资料你是否有的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？注：，其中.（2）若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；（3）如果在优秀等级的选手中取4名，在良好等级的选手中取2名，再从这6人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中有2名选手的等级为优秀的概率.21．（12分）设数列的前项的和为,且满足,对,都有(其中常数),数列满足.(1)求证:数列是等比数列；(2)若,求的值；(3)若,使得,记,求数列的前项的和.22．（10分）如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为．（1）求正四棱柱的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据独立性检验的含义只能得到出错的可能率或正确的可靠率【题目详解】独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故A，B错误.由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为10%，故C错误，D正确.选D.【题目点拨】本题考查独立性检验的含义，考查基本分析判断能力，属基础题.2、B【解题分析】

根据等价转化的思想，可得在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，可得，最后利用导数判断单调性，可得结果.【题目详解】令，依题意得方程有两个不等正根，，则，，令，在上单调递减，，故的取值范围是，故选：B【题目点拨】本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题.3、D【解题分析】

利用抛物线的定义列等式可求出的值.【题目详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，，解得，故选：D.【题目点拨】本题考查抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解，考查运算求解能力，属于中等题.4、A【解题分析】

由直线与双曲线联立，可知x=为其根，整理可得.【题目详解】解：由．，两点在轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，．．故选：．【题目点拨】本题考查双曲线的离心率，双曲线的有关性质和双曲线定义的应用，属于中档题．5、D【解题分析】

解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确故选D．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.6、B【解题分析】

销售的利润为，利用可得，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【题目详解】设销售的利润为，由题意，得，即，当时，，解得，故，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，故选B.【题目点拨】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．7、B【解题分析】

设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数的值，可以得出“直线经过焦点”的充要条件的个数.【题目详解】设直线的方程为，则直线交轴于点，且抛物线的焦点的坐标为.将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，，由韦达定理得，.对于甲条件，，得，甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于乙条件，，得，此时，直线过抛物线的焦点，乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；对于丙条件，，即，解得或，所以，丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于丁条件，，化简得，得，所以，丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有个，故选B.【题目点拨】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.8、D【解题分析】

把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A与B的并集．【题目详解】把集合A和集合B中的解集表示在数轴上，如图所示，则A∪B={x|-2＜x＜3}故选A．【题目点拨】本题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，属基础题．9、B【解题分析】

由①中，比如当时，就不成立；②中，根据存在性命题与全称命题的关系，即可判定；③中，根据四种命题的关系，即可判定；④中，根据导数的运算，即可判定，得到答案.【题目详解】对于①中，比如当时，就不成立，所以不正确；对于②中，命题“”的否定是“”，所以正确；③中，命题“若，则”为真命题，其逆否命题为真命题，所以正确；对于④中，根据导数的计算，可得，所以错误；故选B.【题目点拨】本题主要考查了命题真假的判定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及四种命题的关系，导数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、D【解题分析】

求出展开式的通项公式，然后进行化简，最后让的指数为零，最后求出常数项.【题目详解】解:，令得展开式中常数项为，故选D.【题目点拨】本题考查了求二项式展开式中常数项问题，运用二项式展开式的通项公式是解题的关键.11、B【解题分析】若是3:2获胜，那么第五局甲胜，前四局2:2，所以概率为，故选B.12、C【解题分析】

，函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，∴f(3)·f(e)＜0，∴在区间（e，3）内函数f(x)存在零点.故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、126【解题分析】

根据抽样比求出各个年级抽取的人数，然后填表格，最后根据“同意的”比例求所有学生中“同意”的人数.【题目详解】一共人，抽样比高一学生：人，高二学生：人，高三学生人，同意不同意合计高一325高二246高三112同意的共有6人，同意的共有人.故答案为：126【题目点拨】本题考查分层抽样和统计的初步知识，属于基础题型.14、16【解题分析】

由题意画出图形，利用几何知识得到直线的斜率，进一步求得直线的方程，与抛物线方程联立，由弦长公式即可得答案．【题目详解】由题意画出图形如图，，为的中点，且，，则直线的倾斜角为，斜率为．由抛物线，得，则直线的方程为．联立，得．则，．【题目点拨】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线位置关系的应用，以及弦长的求法．15、【解题分析】

设事件表示甲考试合格，事件表示乙考试合格，计算出、，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为，由此能求出结果.【题目详解】设事件表示甲考试合格，事件表示乙考试合格，则，.则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.故答案为：.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．16、【解题分析】

根据集合,，求出两集合的交集即可【题目详解】,故答案为【题目点拨】本题主要考查了集合交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）利用插空法可求出排法种数；（2）利用捆绑法可求出排法种数；（3）分两种情况讨论：①若在排尾；②若不在排尾.分别求出每一种情况的排法种数，由加法原理计算可得出答案.【题目详解】（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为；（2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排，因此，排法种数为；（3）分以下两种情况讨论：①若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法；②若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法.综上所述，共有种不同的排法种数.【题目点拨】本题考查了排列、组合的应用，同时也考查了插空法、捆绑法以及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.18、（Ⅰ）：，：；（Ⅱ）【解题分析】

（1）利用消去参数，得到曲线的普通方程，再由，化直线为直角坐标方程；（2）与直线的距离为的点在与平行且距离为的两平行直线上，依题意只有一条平行线与圆相交，另一条平行线与圆相离，利用圆心到直线的距离与半径关系，即可求解.【题目详解】（Ⅰ）由曲线的参数方程（为参数，）消去参数，可得曲线的普通方程.，代入，得直线的直角坐标方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，曲线表示以原点为圆心，以为半径的圆，且原点到直线的距离为.所以要使曲线上恰好存在两个点到直线的距离为，则须，即.所以实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.19、（1）见解析；（2）2【解题分析】分析：（1）设，，根据，推出，代入到，消去参数即可求得曲线的方程及其表示的轨迹；（2）法1：先求出点的直角坐标，再求出直线的普通方程，再根据题设条件设点坐标为，然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值；法2：将，代入，即可求得，再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值.详解：（1）设，，由得.∴∵在上∴即（为参数），消去参数得.∴曲线是以为圆心，以为半径的圆.（2）法1：点的直角坐标为.∴直线的普通方程为，即.设点坐标为，则点到直线的距离.∴当时，∴的最大值为∴.法2：将，代入并整理得：，令得.∴∴∴当时，取得最大值，依题意，∴.点睛：本题主要考查把参数方程转化为普通方程，在引进参数和消去参数的过程中，要注意保持范围的一致性；在参数方求最值问题中，将动点的参数坐标，根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.20、(1)没有的把握认为优秀与文化程度有关(2)60人(3)【解题分析】分析：（1）由条形图可知列联表，求出，从而即可判断；（2）由条形图可知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为，由此能求出参赛选手中优秀等级的选手人数；（3）记优秀等级中4人分别为，，，，良好等级中的两人为，，通过利用列举法即可求得所选团队中有2名选手的等级为优秀的概率.详解：（1）由条形图可知列联表如表：优秀合格合计大学组451055中学组301545合计7525100，∴没有的把握认为优秀与文化程度有关.（2）由