广东省汕头市潮阳区2024届数学高二下期末统考试题含解析

广东省汕头市潮阳区2024届数学高二下期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A． B． C． D．2．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为A． B．C． D．3．若二项式的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为A． B． C．160 D．2404．已知函数，若有两个零点，，则的取值范围是（）A． B．C． D．5．已知则的最小值是()A． B．4 C． D．56．设函数，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知，则不等式的解集为（）A． B． C． D．8．在四边形中，如果，，那么四边形的形状是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形9．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为（）A．75% B．96% C．72% D．78.125%10．将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度，所得函数图像关于对称，则（）A． B． C． D．11．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,612．从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则=________.14．已知函数若关于的方程恰有4个不同的实数解，则的取值范围是_____．15．已知，则_____．16．若的展开式中的第项等于，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f(x)=x（1）求不等式f(x)≤10的解集；（2）记f(x)的最小值为m，若正实数a，b，c满足a+b+c=m，求证：a+18．（12分）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.19．（12分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励元；共两只球都是绿色，则奖励元；若两只球颜色不同，则不奖励．（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得元的概率；（2）记为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量的分布列和数学期望．20．（12分）有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？(1)3名女生排在一起；(2)3名女生次序一定，但不一定相邻；(3)3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；(4)每两名女生之间至少有两名男生；(5)3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻．21．（12分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为，求的数学期望.22．（10分）已知函数，，若在处与直线相切．（1）求的值；（2）求在上的极值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【题目详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=10，则其与该校学生人数之比为10÷100=0.1．故选C．【题目点拨】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2、A【解题分析】

由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案.【题目详解】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A.【题目点拨】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题.3、D【解题分析】

由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为，由此得到，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案.【题目详解】由已知得到，所以，所以展开式的通项为，令，得到，所以展开式的常数项为，故选D.【题目点拨】本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、B【解题分析】

求出函数的解析式，并求出零点、关于的表达式，令，知，并构造函数，利用导数求出函数在上的值域，即可作出的取值范围．【题目详解】因为函数，所以，，由，得，，由，得，设，则，所以，，设，则，，，即函数在上是减函数，，故选B.【题目点拨】本题考查函数零点积的取值范围，对于这类问题就是要利用函数的解析式求出函数零点的表达式，并构造函数，利用导数来求出其范围，难点在于构造函数，考查分析问题的能力，属于难题．5、C【解题分析】

由题意结合均值不等式的结论即可求得的最小值，注意等号成立的条件.【题目详解】由题意可得：，当且仅当时等号成立.即的最小值是.故选：C.【题目点拨】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6、C【解题分析】

试题分析：令，则，当时，，由的导数为，当时，在递增，即有，则方程无解；当时，成立，由，即，解得且；或解得，即为，综上所述实数的取值范围是，故选C.考点：分段函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数，利用新函数的性质是解答的关键.7、A【解题分析】

利用导数判断出在上递增，而，由此将不等式转化为，然后利用单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.【题目详解】由，故函数在上单调递增，又由，故不等式可化为，，得，解得．故选A.【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题.8、A【解题分析】

由可判断出四边形为平行四边形，由可得出，由此判断出四边形的形状.【题目详解】，所以，四边形为平行四边形，由可得出，因此，平行四边形为矩形，故选A.【题目点拨】本题考查利用向量关系判断四边形的形状，判断时要将向量关系转化为线线关系，考查转化与化归思想，同时也考查了推理能力，属于中等题.9、C【解题分析】

不妨设出产品是100件，求出次品数，合格品中一级品数值，然后求解概率.【题目详解】解：设产品有100件，次品数为：4件，合格品数是96件，合格品中一级品率为75%.则一级品数为：96×75%＝72，现从这批产品中任取一件，恰好取到一级品的概率为：.故选：C.【题目点拨】本题考查概率的应用，设出产品数是解题的关键，注意转化思想的应用.10、B【解题分析】

运用三角函数的图像变换，可得，再由余弦函数的对称性，可得，计算可得所求值.【题目详解】函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则可得，再把得到的图像向左平移个单位长度，则可得，因为所得函数图像关于对称，所以，即，解得：，所以：故选：B【题目点拨】本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.11、D【解题分析】试题分析：由题意，得抽样比为，所以高级职称抽取的人数为，中级职称抽取的人数为，初级职称抽取的人数为，其余人员抽取的人数为，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D．考点：分层抽样．【方法点睛】分层抽样满足“”，即“或”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个．12、C【解题分析】分析：根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.详解：由题得恰好是2个白球1个红球的概率为.故答案为:C.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-1【解题分析】试题分析：把给出的函数求导，在其导函数中取x=1，则f′（1）可求．解：由f（x）=x1+3xf′（1），得：f′（x）=1x+3f′（1），所以，f′（1）=1×1+3f′（1），所以，f′（1）=﹣1．故答案为﹣1．考点：导数的运算．14、【解题分析】

先求得的零点，由此判断出方程恰有2个不同的实数解，结合图像求得的取值范围.【题目详解】有两个零点，画出图像如下图所示，依题意恰有4个不同的实数解，则方程恰有2个不同的实数解，由图可知，故的取值范围为．故答案为：【题目点拨】本小题主要考查根据分段函数图像以及方程零点个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15、【解题分析】

令分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值.【题目详解】令得：，令得：，.【题目点拨】赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.16、【解题分析】

先根据二项展开式的通项公式求得,然后根据等比数列的求和公式求和,再求极限即可得到答案.【题目详解】由的展开式的通项公式,得,依题意可得,解得,所以.故答案为:1【题目点拨】本题考查了二项展开式的通项公式,等比数列的求和公式,求极限,属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）[-2,8];（Ⅱ）见解析.【解题分析】试题分析:（Ⅰ）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f（x）≤10的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式，求出m，再利用柯西不等式进行证明．试题解析：（Ⅰ）f当x≤0时，由-2x+6≤10，解得-2≤x≤0；当0<x≤6时，因为6<10，所以0<x≤6；当x>6时，由2x-6≤10，解得6<x≤8综上可知，不等式fx≤10的解集为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，fx的最小值为6，即m=6.（或者x+x-6≥由柯西不等式可得a+b+c1+2+3=a2+因此a+2b+18、（1）；（2）4.【解题分析】

（1）运用等差数列的性质求得公差d，再由及d求得通项公式即可．（2）利用前n项和公式直接求解即可.【题目详解】（1）设数列的公差为，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式及项数的求法，考查了前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）根据古典概型概率计算公式可求得结果；（2）分别求出一名顾客摸球中奖元和不中奖的概率；确定所有可能的取值为：，，，，，分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求解期望即可.【题目详解】（1）记一名顾客摸球中奖元为事件从袋中摸出两只球共有：种取法；摸出的两只球均是红球共有：种取法（2）记一名顾客摸球中奖元为事件，不中奖为事件则：，由题意可知，所有可能的取值为：，，，，则；；；；随机变量的分布列为：【题目点拨】本题考查古典概型概率问题求解、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，关键是能够根据通过积事件的概率公式求解出每个随机变量的取值所对应的概率，从而可得分布列.20、（1）4320（2）6720（3）2880（4）2880（5）5760【解题分析】

(1)根据题意，用捆绑法分2步分析：①，3名女生看成一个整体，②，将这个整体与5名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；(2)根据题意，先计算8人排成一排的排法，由倍分法分析可得答案；(3)根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，②，将3名女生安排在5名男生形成的空位中，由分步计数原理计算可得答案；(4)根据题意，分2种情况讨论：①，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，②，任意2名女生之间都有2名男生，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案；(5)根据题意，分2种情况讨论：①，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，②，A、B、C三人不全相邻，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案．【题目详解】(1)根据题意，分2步分析：①，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有A3②，将这个整体与5名男生全排列，有A6则3名女生排在一起的排法有6×720=4320种；(2)根据题意，将8人排成一排，有A8由于3名女生次序一定，则有A8(3)根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，有A5②，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有A4则3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻的排法有120×24=2880种；(4)根据题意，将3名女生排成一排，有A33=6①，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，将5名男生分成3、2的两组，分别安排在3名女生之间，有6×C②，任