北京市西城区市级名校2024届数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

北京市西城区市级名校2024届数学高二第二学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．对于函数，有下列结论：①在上单调递增，在上单调递减；②在上单调递减，在上单调递增；③的图象关于直线对称；④的图象关于点对称．其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④2．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8xC．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x3．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：月份12345广告投入（万元）9.59.39.18.99.7利润（万元）9289898793由此所得回归方程为，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（）A．97万元 B．96.5万元 C．95.25万元 D．97.25万元4．函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．5．如图所示，程序框图算法流程图的输出结果是A． B． C． D．6．下列命题中正确的个数()①“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x0≤0，2x0≤sinx0”；②用相关指数R2可以刻画回归的拟合效果，A．0 B．1 C．2 D．37．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．8．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A． B．C． D．9．已知直线（t为参数）上两点对应的参数值分别是，则（）A． B．C． D．10．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（）A． B． C． D．12．已知非空集合，全集，集合,集合则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是__________．14．组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求和的展开式中的系数．前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为.因为，则两个展开式中的系数也相等，即．请用“算两次”的方法化简下列式子：______．15．在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则_______.16．已知函数，则的解集是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？18．（12分）已知函数.（I）讨论极值点的个数.（II）若是的一个极值点，且，证明：.19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半粙为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设点极坐标为，且，，.（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求点的直角坐标；②若直线与曲线交于，两点，求.20．（12分）已知椭圆：的离心率，该椭圆中心到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点的直线，使直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过定点？若存在，求出所有符合条件的直线方程；若不存在，请说明理由.21．（12分）已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足.（1）求抛物线的方程；（2）若为上动点，，在轴上，圆内切于，求面积的最小值.22．（10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求点D到平面PBC的距离；(2)设Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求二面角B-CQ-D的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

将原函数的导数求出来，分析其符号即可得出原函数的单调性，又，故函数的图象关于直线对称【题目详解】由得令得当时，，原函数为增函数当时，，原函数为减函数，故②正确因为所以函数的图象关于直线对称，故③正确故选：C【题目点拨】本题考查的是利用导数研究函数的单调性及函数的对称性，属于中档题.2、B【解题分析】

求函数在处的导数即可求解.【题目详解】∵，．令，得，.故.【题目点拨】本题主要考查导数定义的运用.求解在处的导数是解题的关键.3、C【解题分析】

首先求出的平均数，将样本中心点代入回归方程中求出的值，然后写出回归方程，然后将代入求解即可【题目详解】代入到回归方程为，解得将代入，解得故选【题目点拨】本题是一道关于线性回归方程的题目，解答本题的关键是求出线性回归方程，属于基础题。4、A【解题分析】

根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数的单调性【题目详解】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为，故选：．【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是识图，属于基础题．5、D【解题分析】

模拟程序图框的运行过程，得出当时，不再运行循环体，直接输出S值．【题目详解】模拟程序图框的运行过程，得S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环：S=满足条件，进入循环：进入循环：不满足判断框的条件，进而输出s值，该程序运行后输出的是计算：．故选D．【题目点拨】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6、C【解题分析】

根据含量词命题的否定可知①错误；根据相关指数的特点可知R2越接近0，模型拟合度越低，可知②错误；根据四种命题的关系首先得到逆命题，利用不等式性质可知③正确；分别在m=0和m≠0的情况下，根据解集为R确定不等关系，从而解得m【题目详解】①根据全称量词的否定可知“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x②相关指数R2越接近1，模型拟合度越高，即拟合效果越好；R2越接近③若“a>b>0，则3a>3b>0④当m=0时，mx2-2当m≠0时，若mx2-2m+1解得：m≥1，则④正确.∴正确的命题为：③④本题正确选项：C【题目点拨】本题考查命题真假性的判断，涉及到含量词命题的否定、四种命题的关系及真假性的判断、相关指数的应用、根据一元二次不等式解集为R求解参数范围的知识.7、A【解题分析】

构造函数，首先判断函数的奇偶性，利用可判断时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.【题目详解】设，则的导数为，因为时，，即成立，所以当时，恒大于零，当时，函数为增函数，又，函数为定义域上的偶函数，当时，函数为减函数，又函数的图象性质类似如图，数形结合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范围是故选：A.【题目点拨】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.8、D【解题分析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.考点：三角函数图像与性质9、C【解题分析】试题分析：依题意，，由直线参数方程几何意义得，选C．考点：直线参数方程几何意义10、B【解题分析】

利用余弦定理化简后可得，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.【题目详解】，因为为锐角三角形，所以，，，故,选B.【题目点拨】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.11、C【解题分析】

依题意可得，0＜k＜1，结合函数y＝k|x|与y＝﹣|x﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由⇒x，即可得k.【题目详解】解：依题意可得，0＜k＜1，函数y＝k|x|与y＝﹣|x﹣2|的图象如下，由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由⇒xB，故k；故选：C【题目点拨】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．12、B【解题分析】分析：根据题意画出图形，找出与的并集，交集，判断与的关系即可详解：全集，集合,集合，，故选点睛：本题主要考查的是交集，并集，补集的混合运算，根据题目画出图形是解题的关键，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、48【解题分析】分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论.详解：已知样本中的前两个编号分别为03，08，样本数据组距为，则样本容量为，则对应的号码数，则当时，取得最大值为.故答案为：48.点睛：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键.14、【解题分析】

结合所给信息，构造，利用系数相等可求.【题目详解】因为，则两个展开式中的系数也相等，在中的系数为，而在中的系数为，所以可得.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，精准理解题目所给信息是求解关键，侧重考查数学抽象和数学建模的核心素养.15、2【解题分析】

画出数轴，利用满足的概率，可以求出的值即可.【题目详解】如图所示，区间的长度是6，在区间上随机地取一个数，若满足的概率为，则有，解得，故答案是：2.【题目点拨】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.16、【解题分析】

讨论的值，去掉绝对值，作出函数图像，由图象可得原不等式或，分别求出它们，再求并集即可.【题目详解】根据题意，当时，，当时，由函数的图象可得在上递增，不等式即为或，化简得或，解得或，即，故解集为。【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性以及一元二次不等式的解法，利用图像来分析不等式的解是解题的关键，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）不应该.【解题分析】

（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过台的概率即可；（2）（i）求出的可能取值及其对应的概率，得出的分布列和数学期望；（ⅱ）求出有名维修工人时的工厂利润，得出结论．【题目详解】解：（1）因为该工厂只有名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有台大型机器出现故障．∴该工厂正常运行的概率为：．（2）（i）的可能取值有，，，．∴的分布列为：X3144P∴．（ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，工厂所获利润为万元，因为，∴该厂不应该再招聘名维修工人．【题目点拨】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．18、（I）答案不唯一，具体见解析（II）见解析【解题分析】

（I）根据题目条件，求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求得函数的极值的个数。（II）根据是的一个极值点，得出，再根据，求出的范围，再利用（１）中的结论，得出的单调性，观察得出，对与的大小关系进行分类讨论，结合函数单调性，即可证明。【题目详解】（I）∵，，．∴或1、当，即时，若，则，单调递增；若，则，单调递减；若，则，单调递增；此时，有两个极值点：，．2、当，即时，，f（x）单调递增，此时无极值点.3、当，即时，若，则，单调递增；若，则，单调递减；若，则，单调递增；此时，有两个极值点：，．故当时，无极值点：当时，有两个极值点.（II）由（Ⅰ）知，，且，∴，由（1）中3知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又（这一步是此题的关键点，观察力）1、当即时，在上单调递减，此时，成立.2、当即时，成立.3、当即时，在上单调递增.此时，成立.综上所述，，当时，“=”成立.【题目点拨】本题主要考查了求含有参数的函数的极值点的个数问题，以及利用利用导数证明不等式问题，解题时用到了分类讨论的思想。19、（Ⅰ）直线,曲线（Ⅱ）①②【解题分析】

（Ⅰ）利用参数方程化普通方程，利用极坐标化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求出，即得点M的直角坐标；②利用直线参数方程t的几何意义解答.【题目详解】解（Ⅰ），曲线.（Ⅱ）①，，.②将代入，得，，，.【题目点拨】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20、(1).(2)存在直线：或：，使得以为直径的圆经过点.【解题分析】分析：由，该椭圆中心到直线的距离为，求出椭圆方程；（2）先假设存在这样的直线，设出直线方程（注意考虑斜率），与椭圆联立，考虑然后设，，利用韦达定理，利用为直径的圆过定点，转化，转化坐标构造方程进行求解．详解：（1）直线的一般方程为，依题意得，解得，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线即为轴，此时，为椭圆的短轴端点，以为直径的圆经过点.当直线的斜率存在时，设其斜率为，由，得.所以，得.设，，则，①而.因为以为直径的圆过定点，所以，则，即.所以.②将①式代入②式整理解得.综上可知，存在直线：或：，使得以为直径的圆经过点.点晴：本题考查直线与椭圆的位置关系，这类题目一般涉及设直线方程，然后和椭圆联立，设点，考虑，然后利用韦达定理，接下来就是对题干的转化啦，本题中典型的垂直问题，主要转化方向就是向量点乘，因为斜率的话还需要考虑斜率是否存在．21、（1）（2）【解题分析】

（1）求出抛物线的焦点，设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；（2）设，，，不妨设，直线的方程为，由直线与圆相切的条件：，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值.【题目详解】（1）抛物线的焦点为，则过点且斜率为1的直线方程为，联立抛物线方程，消去得：，设，则，由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为（2）设，，，不妨设，化简得：，圆心到直线的距离为1，故，即，不难发现，上式又可化为，同理有，所以可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，，，由条件：，当且仅当时取等号.∴面积的最小值为8.【题目点拨】本题主要考查了抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：，以及基本不等式的运用，属于中档题.22、（1）.（2）.【解题分析】分析：（1）利用等体积法即可；（2）建立空间直角坐标系，利用换元法可得