宁夏回族自治区银川市第一中学2024届数学高二下期末考试试题含解析

宁夏回族自治区银川市第一中学2024届数学高二下期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．242．若离散型随机变量的分布列为则的数学期望（）A． B．或 C． D．3．已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性，则不等式的解集为（）A． B． C． D．4．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的体积为（）A． B．C． D．5．定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．6．曲线上一点处的切线方程是（）．A． B．C． D．7．若实数x,y满足约束条件x-3y+4≥03x-y-4≤0x+y≥0，则A．-1 B．1C．10 D．128．已知函数，满足和均为偶函数，且，设，则A． B． C． D．9．从装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于（）A． B． C． D．10．函数的极大值为（）A．3 B． C． D．211．若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．12．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A． B．2 C．-3 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线:的左右焦点分别为，过斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率是_________．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为_________________.15．已知函数，则_________16．设实数x，y满足，则的最小值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）观察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)个等式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.18．（12分）随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数，）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：，）（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）．（附：若随机变量，则，）19．（12分）某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示年份2010+x（年）01234人口数y（十万）5781119(1)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；(2)据此估计2015年该城市人口总数．20．（12分）甲、乙两班进行“一带一路”知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分.(1)求的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.21．（12分）已知函数.（I）求不等式；（II）若不等式的解集包含，求实数的取值范围..22．（10分）如图，已知点是椭圆上的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率都存在．（1）若直线过原点，求证：为定值；（2）若直线不过原点，且，试探究是否为定值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种考点：排列、组合及简单计数问题2、C【解题分析】

由离散型随机变量的分布列，列出方程组，能求出实数，由此能求出的数学期望.【题目详解】解：由离散型随机变量的分布列，知：

，解得，

∴的数学期望.

故选：C.【题目点拨】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列等基础知识，是基础题.3、D【解题分析】

先判断的奇偶性及单调性，即可由为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解.【题目详解】函数，定义域为；则，即为奇函数，，函数在内单调递减，由复合函数的单调性可知在内单调递减，由题意可得函数为在内单调递减的奇函数，所以不等式变形可得，即，则，解不等式组可得，即，故选：D.【题目点拨】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.4、A【解题分析】

试题分析：由三视图可知该几何体的体积等于长方体体积和半个圆柱体积之和，．考点：三视图与体积．5、C【解题分析】

构造函数，利用导数可判断出函数为上的增函数，并将所求不等式化为，利用单调性可解出该不等式.【题目详解】构造函数，，所以，函数为上的增函数，由，则，，可得，即，，因此，不等式的解集为.故选：C.【题目点拨】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6、A【解题分析】

求导利用导数的几何意义求出曲线上一点处的切线斜率,再用点斜式写出方程即可.【题目详解】由题.故.故曲线上一点处的切线方程是.化简得.故选：A【题目点拨】本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程.属于基础题.7、C【解题分析】

本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【题目详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数z=3x+2y经过平面区域的点(2,2)时，【题目点拨】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.8、C【解题分析】分析：根据函数的奇偶性和周期性求出，然后即可得到答案详解：由题意可得：故，周期为故选点睛：本题考查了函数的奇偶性和周期性，运用周期性进行化简，结合已知条件求出结果，本题的解题方法需要掌握。9、C【解题分析】

根据二项分布的数学期望计算，即可得出答案。【题目详解】根据题意可得出，即所以故选C【题目点拨】本题考查二项分布，属于基础题。10、B【解题分析】

求得函数的导数，得出函数的单调性，再根据集合的定义，即可求解.【题目详解】由题意，函数，则，令，即，解得或，令，即，解得，即函数在上函数单调递增，在上函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值，故选B.【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及求解函数的极值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11、A【解题分析】

将条件转化为有解，然后利用导数求出右边函数的值域即可.【题目详解】因为函数至少存在一个零点所以有解即有解令，则因为，且由图象可知，所以所以在上单调递减，令得当时，单调递增当时，单调递减所以且当时所以的取值范围为函数的值域，即故选：A【题目点拨】1.本题主要考查函数与方程、导数与函数的单调性及简单复合函数的导数，属于中档题.2.若方程有根，则的范围即为函数的值域12、A【解题分析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到、的值，可得答案【题目详解】第1次执行循环体后：，；第2次执行循环体后：，；第3次执行循环体后：，；第4次执行循环体后：，；经过4次循环后，可以得到周期为4，因为，所以输出的值为，故选A．【题目点拨】本题考查程序框图的问题，本题解题的关键是找出循环的周期，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据，由定义得，由余弦定理得的方程求解即可【题目详解】根据，由双曲线定义得，又直线的斜率为，故，中由余弦定理得故答案为【题目点拨】本题考查双曲线定义及几何性质，余弦定理，运用定义得是本题关键，是中档题14、【解题分析】

先求出截面圆的半径，再算截面面积。【题目详解】截面圆半径为，截面面积为。【题目点拨】先求出截面圆的半径，再算截面面积。15、3【解题分析】

判断，再代入，利用对数恒等式，计算求得式子的值为.【题目详解】因为，所以，故填.【题目点拨】在计算的值时，先进行幂运算，再进行对数运算，能使运算过程更清晰.16、【解题分析】

由题意画出可行域，令，转化目标函数为，数形结合即可得解.【题目详解】由题意画出可行域，如图，令，则，数形结合可知，当直线过点A时，取最小值，由可得点，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了简单的线性规划，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)(i)当时,等式显然成立；(ii)见证明；【解题分析】

（1）猜想第个等式为.（2）先验证时等式成立，再假设等式成立，并利用这个假设证明当时命题也成立.【题目详解】（1）猜想第个等式为.（2）证明：①当时，左边，右边，故原等式成立；②设时，有，则当时，故当时，命题也成立，由数学归纳法可以原等式成立.【题目点拨】数学归纳法可用于证明与自然数有关的命题，一般有2个基本的步骤：（1）归纳起点的证明即验证命题成立；（2）归纳证明：即设命题成立并证明时命题也成立，此处的证明必须利用假设，最后给出一般结论.18、（1）见解析（2）技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．（3）2.27元【解题分析】

（1）由表格中的数据，，所以，转化，利用相关指数的定义即得解；（2）当时，由已知可得，可得，可得y与x满足的线性回归方程，代入计算即得结论；（3）由，，所以，即得解.【题目详解】解：（1）由表格中的数据，，所以，所以．可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．所以回归模型②的拟合效果更好．所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）．（2）当时，由已知可得．．所以．所以当时，y与x满足的线性回归方程为．当时，科技升级直接收益的预测值为亿元．当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．（3）因为，，所以；．所以（元）．【题目点拨】本题考查了线性回归方程、回归系数，正态分布等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.19、（1）；（2）196万.【解题分析】试题分析：（1）先求出五对数据的平均数，求出年份和人口数的平均数，得到样本中心点，把所给的数据代入公式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出a的值，从而得到线性回归方程；（2）把x=5代入线性回归方程，得到，即2015年该城市人口数大约为19.6（十万）.试题解析：解：（1），=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，=故y关于x的线性回归方程为（2）当x=5时，，即据此估计2015年该城市人口总数约为196万.考点：线性回归方程.20、（1）；（2）.【解题分析】

(1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，计算得到答案.(2)甲队和乙队得分之和为4，则甲可以得1,2,3分三种情况，计算其概率，再根据条件概率公式得到结果，【题目详解】(1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故.(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分为η，则η～，，，，，，，∴所求概率为.【题目点拨】本题考查了概率的计算和条件概率，意在考查学生的计算能力.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）利用零点分类讨论法解不等式；（Ⅱ）即在恒成立，即，即，再化为在恒成立解答即可.【题目详解】解：（Ⅰ）.当时，，即，解得；当时，，即，解得；当时，，即，解得.综上，不等式的解集为.（Ⅱ）对，恒成立，即在恒成立，即，，在恒成立，.【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.22、（1）见解析（2），详见解析【解题分析】

（1）设，，由椭圆对称性得，把点，的