2024届上海市十二校高二数学第二学期期末预测试题含解析

2024届上海市十二校高二数学第二学期期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．欧拉公式：为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，（）A．1 B． C． D．2．设是函数的导函数，则的值为（）A． B． C． D．3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交4．若则满足条件的集合A的个数是A．6 B．7 C．8 D．95．定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间上是()A．增函数且 B．增函数且C．减函数且 D．减函数且6．已知，则()A．11 B．12 C．13 D．147．已知全集，则A． B． C． D．8．如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线与所围成阴影区域内的概率是（）A.B.C.D.9．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100 B．150C．200 D．25010．已知，，，若，则（）A．-5 B．5 C．1 D．-111．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有种不同的方案，其中的值为（）A．543 B．425 C．393 D．27512．直线与曲线所围成的曲边梯形的面积为（）A．9 B． C． D．27二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，则__________．14．记等差数列的前项和为，若，，则____．15．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为_____________．16．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列an是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，a1=1.若a1（I）求an及S（Ⅱ）设bn=1an+12-118．（12分）已知实数使得函数在定义域内为增函数；实数使得函数在上存在两个零点，且分别求出条件中的实数的取值范围；甲同学认为“是的充分条件”，乙同学认为“是的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由.19．（12分）在极坐标系中，圆的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.（1）求圆的标准方程和直线的普通方程；（2）若直线与圆交于两点，且，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）设，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围.21．（12分）已知点，经矩阵对应的变换作用下，变为点.（1）求的值；（2）直线在对应的变换作用下变为直线，求直线的方程.22．（10分）设函数.（1）解不等式；（2）求函数的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由题意将复数的指数形式化为三角函数式，再由复数的运算化简即可得答案．【题目详解】由得故选B．【题目点拨】本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数值的求法与复数的化简求值，是基础题．2、C【解题分析】分析：求导，代值即可.详解：，则.故选：C.点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3、D【解题分析】

通过条件判断直线l与平面α相交，于是可以判断ABCD的正误.【题目详解】根据直线l不平行于平面α，且l⊄α可知直线l与平面α相交，于是ABC错误，故选D.【题目点拨】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.4、C【解题分析】

根据题意A中必须有1，2这两个元素，因此A的个数应为集合4，的子集的个数．【题目详解】解：，集合A中必须含有1，2两个元素，因此满足条件的集合A为，，，，，，，共8个．故选C．【题目点拨】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键有n个元素的集合其子集共有个5、B【解题分析】

先利用函数奇偶性求出函数在上的解析式，然后利用周期性求出函数在上的解析式，结合解析式对其单调性以及函数值符号下结论．【题目详解】设，则，，由于函数为上的奇函数，则，当时，，则.所以，函数在上是增函数，且当时，，，故选B.【题目点拨】本题考查函数单调性与函数值符号的判断，解决函数问题关键在于求出函数的解析式，本题的核心在于利用奇偶性与周期性求出函数的解析式，属于中等题．6、B【解题分析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合题意,舍去)；∴n的值为12.故选：B.7、C【解题分析】

根据补集定义直接求得结果.【题目详解】由补集定义得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.8、B【解题分析】试题分析：图中阴影面积可以用定积分计算求出，即，正方形OABC的面积为1，所以根据几何概型面积计算公式可知，点落到阴影区域内的概率为。考点：1.定积分的应用；2.几何概型。9、A【解题分析】试题分析：根据已知可得：，故选择A考点：分层抽样10、A【解题分析】

通过平行可得m得值，再通过数量积运算可得结果.【题目详解】由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【题目点拨】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.11、C【解题分析】分析：根据题意，易得5名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．第二种先分组再排列，问题得以解决．详解：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x==243种，当每项比赛至少要安排一人时，先分组有（+）=25种，再排列有=6种，所以y=25×6=150种，所以x+y=1．故选：C．点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．12、A【解题分析】直线x=0,x=3,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积为：.本题选择A选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由正态分布中三个特殊区间上的概率知，∴．答案：14、2【解题分析】

利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S1．【题目详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=0，a6+a1=2，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S1=1a1+=﹣28+42=2．故答案为：2．【题目点拨】本题考查等差数列的前1项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15、2π【解题分析】分析：由的几何意义可知，点的轨迹是以为圆心，为半径的实心圆，由圆的面积公式可得结论.详解：，在复平面内对应点的的轨迹是以为圆心，为半径的实心圆，该圆的面积为，故答案为.点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.16、19【解题分析】按系统抽样方法，分成4段的间隔为＝13，显然在第一段中抽取的起始个体编号为6，第二段应将编号6＋13＝19的个体抽出．这就是所要求的．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）an=2n-1，Sn【解题分析】

（Ⅰ）设等差数列an的公差为d，根据题中条件列方程组求出a1和d的值，于此可得出an（Ⅱ）将bn的通项表示为bn=141n【题目详解】（Ⅰ）由题意，得a1=1a2=a1所以an=a（Ⅱ）因为bn所以Tn【题目点拨】本题考查等差数列通项和求和公式，考查裂项求和法，在求解等差数列的问题时，一般都是通过建立首项与公差的方程组，求解这两个基本量来解决等差数列的相关问题，考查计算能力，属于中等题。18、（1），（2）甲、乙两同学的判断均不正确，理由见解析【解题分析】

（1）真时，先求函数的导数，令恒成立，整理得到恒成立，转化为求函数的最小值；真时，只需满足即可；（2）根据（1）的结果，判断两个集合是否具有包含关系，根据集合的包含关系判断充分必要条件.【题目详解】解，的定义域为，因为在定义域内为增函数，所以对，恒有整理得，恒成立．于是因此满足条件的实数的取值范围是因为的存在两个零点且，所以即，解得因此满足条件的实数的取值范围是甲、乙两同学的判断均不正确，因为，所以不是的充分条件，因为，所以不是的必要条件．【题目点拨】本题考查了由命题的真假，求参数取值范围的问题，本题的一个易错点是真时，有的同学只写出，而忽略了的正负决定函数图像的开口，第二问考查了当命题是以集合形式给出时，如何判断充分必要条件，,，若时，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，当没有包含关系时，是的既不充分也不必要条件，当时，是的充要条件.19、（1）详见解析；（2）。【解题分析】试题分析：（1）由得，根据极坐标与直角坐标互化公式，，所以圆C的标准方程为，直线的参数方程为，由得，代入得：，整理得：；（2）直线与圆C相交于A,B两点，圆心到直线：距离，根据直线与圆相交所得的弦长公式，所以，由题意，所以得，即，整理得：，即，解得：。试题解析：（1）的直角坐标方程为，在直线的参数方程中消得：；（2）要满足弦及圆的半径为可知只需圆心到直线的距离即可。由点到直线的距离公式有：,整理得：即解得：，故实数的取值范围为：考点：1.极坐标；2.参数方程。20、（1）；（2）【解题分析】

（1）令，通过零点分段法可得解析式，进而将不等式变为，在每一段上分别构造不等式即可求得结果；（2）将问题转化为的值域是值域的子集的问题；利用零点分段法可确定解析式，进而得到值域；利用绝对值三角不等式可求得的最小值，由此可构造不等式求得结果.【题目详解】（1）令，由得：得或或，解得：.即不等式的解集为.（2）对任意，都有，使得成立，则的值域是值域的子集.，值域为；，，解得：或，即的取值范围为.【题目点拨】本题考查绝对值不等式的求解、与绝对值不等式有关的恒成立和能成立问题的求解，涉及到零点分段法和绝对值三角不等式的应用；关键是能够将恒、能成立问题转化为两函数的值域之间的关系，进而通过最值确定不等式.21、(1)；(2)【解题分析】

（1）根据题意，结合题中的条件，利用矩阵乘法公式，列出满足条件的等量关系式，求得结果；（2）设直线上任意一点经矩阵变换为，利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，利用在直线上，代入求得，进而得出直线的方程.【题目详解】（1）解得∴；（2）由（1）知：设直线上任意一点经矩阵变换为则∵∴即∴直线的方程为.【题目点拨】该题考查的是有关点和直线经矩