重庆市主城四区2024届数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

重庆市主城四区2024届数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数向右平移个单位后得到函数，若在上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．3．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．乙B．甲C．丁D．丙4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种5．设集合，则A． B． C． D．6．“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球8．在(x+1x2A．-32 B．-8 C．8 D．489．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A． B．C． D．10．已知随机变量的分布列为（）01若，则的值为（）A． B． C． D．11．已知等比数列中,，则等于（）A．9 B．5 C． D．无法确定12．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（）①若，，且∥，则∥；②若，∥，且∥，则；③若∥，，且，则∥；④若，，且，则.其中真命题的个数是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．按照国家标准规定，袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布，经检测某种品牌的奶粉，一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋，则卖出的奶粉质量在以上袋数大约为________14．若某圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是__________．15．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为_____.16．已知，则________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在如图所示的六面体中，面是边长为的正方形，面是直角梯形，，，.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）若二面角为，求直线和平面所成角的正弦值.18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上在第二象限内的一点，且直线的斜率为.（1）求点的坐标；（2）过点作一条斜率为正数的直线与椭圆从左向右依次交于两点，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆经过极点，且其圆心的极坐标为.（1）求圆的极坐标方程；（2）若射线分别与圆和直线交于点，（点异于坐标原点），求线段的长.20．（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.21．（12分）已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)当a>0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2，求a的取值范围；(Ⅲ)若∀x1，x2∈(0,+∞)，且x122．（10分）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

首先求函数，再求函数的单调递增区间，区间是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求的取值范围.【题目详解】,令解得，若在上单调递增，,解得：时，.故选D.【题目点拨】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型.2、D【解题分析】分析：对求导，令，即可求出函数的单调递减区间.详解：函数的定义域为，得到.故选D点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题.3、A【解题分析】

由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【题目详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【题目点拨】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.4、D【解题分析】每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有种，应选D.5、A【解题分析】由题意，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．6、B【解题分析】

根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【题目详解】由可得或，所以若可得，反之不成立，是的必要不充分条件故选B【题目点拨】命题：若则是真命题，则是的充分条件，是的必要条件7、C【解题分析】

由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.【题目详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；本题选择C选项.【题目点拨】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．8、C【解题分析】

利用x-25的展开式通项，与x和1x2分别做乘法，分别求得x的系数，作和求得整体的【题目详解】x-25展开式的通项为：与x相乘可得：x⋅当r=5时得：C与1x2当r=2时得：C∴x的系数为：-32+40=8本题正确选项：C【题目点拨】本题考查二项式定理求解xn的系数的问题，关键在于能够运用多项式相乘的运算法则，分别求出同次项的系数，合并同类项得到结果9、A【解题分析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10、A【解题分析】

先由题计算出期望，进而由计算得答案。【题目详解】由题可知随机变量的期望，所以方差，解得，故选A【题目点拨】本题考查随机变量的期望与方差，属于一般题。11、A【解题分析】

根据等比中项定义，即可求得的值。【题目详解】等比数列，由等比数列中等比中项定义可知而所以所以选A【题目点拨】本题考查了等比中项的简单应用，属于基础题。12、B【解题分析】

根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.【题目详解】由且，可得，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；由于，，所以，则，故②正确；若与平面的交线平行，则，故不一定有，故③错误；设，在平面内作直线，，则，又，所以，，所以，从而有，故④正确.因此，真命题的个数是.故选：B【题目点拨】本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10【解题分析】

根据正态分布曲线的特征，计算出的概率，然后再根据总体计算出满足要求的袋数.【题目详解】因为且，所以，所以以上袋数大约为：袋.故答案为10.【题目点拨】本题考查正态分布曲线的对称性，难度较易.正态分布曲线是一个对称图象，对称轴即为也就是均值，计算相应概率时可借助对称性计算.14、【解题分析】

由轴截面面积求得轴截面边长，从而得圆锥的底面半径和母线长．【题目详解】设轴截面等边三角形边长为，则，，∴．故答案为．【题目点拨】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题基础．15、【解题分析】

由题意计算出抛物线焦点坐标，即可得到双曲线焦点坐标，运用双曲线知识求出的值，即可得到渐近线方程【题目详解】因为抛物线的焦点为，所以双曲线的半焦距，解得，故其渐近线方程为，即.【题目点拨】本题考查了求双曲线的渐近线方程，结合题意分别计算出焦点坐标和的值，然后可得渐近线方程，较为基础16、【解题分析】分析：由题意，利用目标角和已知角之间的关系，现利用诱导公式，在结合二倍角公式，即可求解．详解：由题意，又由，所以．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系，合理选择三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析.(2).【解题分析】试题分析：（1）连接相交于点,取的中点为,连接，易证四边形是平行四边形，从而可得结论；（2）以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则,计算法向量，根据公式即可求出.试题解析：(1):连接相交于点,取的中点为,连接.是正方形,是的中点,,又因为,所以且,所以四边形是平行四边形,,又因为平面平面平面(2)是正方形,是直角梯形,,,平面,同理可得平面.又平面,所以平面平面,又因为二面角为60°，所以,由余弦定理得,所以，因为半面，,所以平面,以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则,所以,设平面的一个法向量为,则即令，则，所以设直线和平面所成角为，则18、（1）；（2）存在，使得【解题分析】

（1）由和直线的斜率可得方程；代入椭圆方程解方程即可求得点坐标；（2）由和点坐标得：轴；假设直线：，代入椭圆方程可求得的范围和韦达定理的形式，利用韦达定理表示出，可整理出，从而可得；结合轴可知，进而得到结果.【题目详解】（1）由及直线的斜率为得直线的方程为：代入椭圆方程整理得：解得：或（舍），则：点的坐标为（2）由及得：轴设直线的方程为：代入椭圆方程整理得：由直线与椭圆交于，两点得：，结合，解得：由韦达定理得：，直线和的倾斜角互补，从而结合轴得：，故综上所述：存在，使得【题目点拨】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到交点坐标的求解、椭圆中满足某条件的定值问题的求解问题，考查了韦达定理在直线与椭圆问题中的应用问题，对计算能力有一定的要求.19、（1）；（2）【解题分析】

(1)将圆心极坐标转化为直角坐标，可得圆是以为圆心，半径为2的圆，写出标准方程，，再转化成极坐标方程即可（2）将代入可求得，再根据直线的参数方程进行消参，得到普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，算出，可求得答案【题目详解】解：（1）圆是以为圆心，半径为2的圆.其方程是，即，可得其极坐标方程为，即；（2）将代入得，直线的普通方程为，其极坐标方程是，将代入得，故.【题目点拨】对于圆的普通方程和参数方程及极坐标方程，应熟练掌握，平时应熟记四种极坐标方程及对应的普通方程：，做题时才能游刃有余，本题第二问巧妙地运用了极径来求解长度问题，体现了极坐标处理解析几何问题的优越性20、（1）增区间为，减区间为；（2）【解题分析】

（1）将代入函数解析式，求出，利用导数值判断的单调区间即可；（2）由题求得，对进行分类讨论，判断在处取得极大值时的范围即可.【题目详解】（1）由题意，当时，，所以，令，解得，，，解得；，解得，；所以的单调增区间为，单调减区间为；（2）由题意，，①当时，，，解得；，解得，；所以在处取极大值；当时，令，得，，②当时，即，或时，，解得；，解得，；所以在处取极大值；③当，即时，，解得，，解得，，或；所以在处取极大值；④当，即时，，故不存在极值；⑤当时，即时，，解得，；，解得，，或；所以在处取极小值；综上，当在处取得极大值时，.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.21、（I）y=-2；（II）a≥1；（III）0≤a≤8.【解题分析】

(Ⅰ)求出f'(x),由f(1)的值可得切点坐标，求出f'(1)的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数确定函数的单调性，利用单调性求得函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2，即可求a的取值范围；(Ⅲ)设g(x)=f(x)+2x，则g(x)=ax2-ax+lnx，对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1【题目详解】(Ⅰ)当a=1时，f(x)=x2因为，f(1)=-2，所以切线方程为

y=-2.(Ⅱ)函数f(x)=ax2-(a+2)x+当a>0时，f'(x)=2ax-(a+2)+1令，即f'(x)=2ax2-(a+2)x+1x当0<1a≤1，即a≥1时，f(x)所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2；当1<1a<e时，f(x)在[1,e]当1a≥e时，f(x)在所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2，不合题意.综上可得

a≥1.(Ⅲ)设g(x)=f(x)+2x，则g(x)=ax2-ax+lnx，对任意x1，x2∈(0,+∞)，而g'(x)=2ax-a+1当a=0时，g'(x)=1x>0，此时g(x)当a≠0时，只需在(0,+∞)恒成立，因为x∈(0,+∞)，只要2ax2-ax+1≥0，则需要对于函数y=2ax2-ax+1，过定点(0,1)，对称轴综上可得

0≤a≤8.【题目点拨】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大