2024届河南省郑州市十九中数学高二下期末统考试题含解析

2024届河南省郑州市十九中数学高二下期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知定义域为R的函数满足：对任意实数有，且，若，则＝()A．2 B．4 C． D．2．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，且侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，则球的表面积为（）A．36π B．64π C．100π D．104π3．若是第四象限角，，则（）A． B． C． D．4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（）A． B． C． D．5．名同学合影，站成了前排人，后排人，现摄影师要从后排人中抽人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（）A． B． C． D．6．一个质量均匀的正四面体型的骰子，其四个面上分别标有数字，若连续投掷三次，取三次面向下的数字分别作为三角形的边长，则其能构成钝角三角形的概率为（）A． B． C． D．7．在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．8．已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A．8 B．16 C．32 D．649．定义在上的函数，满足为的导函数，且，若，且，则有（）A． B．C． D．不确定10．若离散型随机变量的分布如下：则的方差（）010.6A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．111．若等差数列的前项和满足，，则（）A． B．0 C．1 D．312．函数的极大值为（）A．3 B． C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设随机变量，，若，则___________．14．若，则________．15．已知向量，，且与共线，则的值为__.16．若函数为偶函数，则的值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值是，求的最小值.18．（12分）在直角坐标系中，将单位圆上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线的参数方程；(2)设为曲线上一点，点的极坐标为，求的最大值及此时点的坐标．19．（12分）在中，角所对的边分别为．已知．（1）若，，求的面积；（2）求的取值范围．20．（12分）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若直三棱柱的体积为，求四棱锥的体积.21．（12分）已知抛物线，过定点作不垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点.（1）设O为坐标原点，求证：为定值；（2）设线段的垂直分线与x轴交于点，求n的取值范围；（3）设点A关于x轴的对称点为D，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.22．（10分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有帮助”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：60分及以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班（人数）3612159乙班（人数）4716126现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.（1）由以上统计数据填写列联表，并判断是否有的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助；（2）对甲乙两班60分及以下的同学进行定期辅导，一个月后从中抽取3人课堂检测，表示抽取到的甲班学生人数，求及至少抽到甲班1名同学的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：令，可求得，再令，可求得，再对均赋值，即可求得.详解：，令，得，又，再令，得，，令，得，故选B.点睛：本题考查利用赋值法求函数值，正确赋值是解题的关键，属于中档题.2、C【解题分析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积.详解：，，∴三角形的外接圆直径，，平面，，∴该三棱柱的外接球的半径，∴该三棱柱的外接球的表面积为，故选C．点睛：本题主要考查三棱柱的外接球表面积，正弦定理的应用、余弦定理的应用以及考查直线和平面的位置关系，意在考查综合空间想象能力、数形结合思想以及运用所学知识解决问题的能力.3、C【解题分析】

确定角所处的象限，并求出的值，利用诱导公式求出的值．【题目详解】是第四象限角，则，，且，所以，是第四象限角，则，因此，，故选C．【题目点拨】本题考查三角求值，考查同角三角函数基本关系、诱导公式的应用，再利用同角三角函数基本关系求值时，要确定对象角的象限，于此确定所求角的三角函数值符号，结合相关公式求解，考查计算能力，属于中等题．4、A【解题分析】设圆的半径为，则圆的面积，正六边形的面积，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率，故选A.5、C【解题分析】分析：首先从后排的7人中选出2人，有C72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52，利用乘法原理可得结论．详解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有C72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52，∴不同的调整方法有C72A52，故选：C点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．6、C【解题分析】

三次投掷总共有64种,只有长度为或223的三边能构成钝角三角形,由此计算可得答案.【题目详解】解：由题可知：三次投掷互不关联，所以一共有种情况：能构成链角三角形的三边长度只能是：或者是所以由长度为的三边构成钝角三角形一共有：种：由三边构成钝角三角形一共有：种：能构成钝角三角形的概率为.故选:C.【题目点拨】本题考查了古典概型的概率求法,分类计数原理,属于基础题.7、A【解题分析】因为,若,则,，故选A.8、C【解题分析】

先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【题目详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【题目点拨】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题9、A【解题分析】

函数满足，可得.由，易知，当时，，单调递减.由，则.当,则.当,则,，，即.故选A.10、C【解题分析】分析：由于已知分布列即可求出m的取值，进而使用期望公式先求出数学期望，再代入方差公式求出方差．详解：由题意可得：m+0.6=1，所以m=0.4，所以E（x）=0×0.4+1×0.6=0.6，所以D（x）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.1．故选：C．点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．11、B【解题分析】根据等差数列的性质仍成等差数列，则，则，，选B.12、B【解题分析】

求得函数的导数，得出函数的单调性，再根据集合的定义，即可求解.【题目详解】由题意，函数，则，令，即，解得或，令，即，解得，即函数在上函数单调递增，在上函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值，故选B.【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及求解函数的极值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由求出，然后即可算出【题目详解】因为，所以解得，所以所以故答案为：【题目点拨】本题考查的是二项分布的相关知识，较简单.14、【解题分析】

利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得，计算求得结果.【题目详解】，则，故答案为.【题目点拨】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．15、2【解题分析】

先求得，然后根据两个向量共线列方程，解方程求得的值，进而求得的值.【题目详解】依题意，由于与共线，故，解得，故.【题目点拨】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，考查两个平面向量平行的坐标表示，属于基础题.16、2.【解题分析】分析：因为函数是偶函数，先根据得出第二段函数表达式，然后再计算即可.详解：由题可得：当时，-x>0，故所以=0+2=2，故答案为2.点睛：考查偶函数的基本性质，根据偶函数定义求出第二段表达式是解题关键，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）【解题分析】

（1）利用绝对值三角不等式即可求得结果；（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得结果.【题目详解】（1）由绝对值三角不等式得：（当且仅当时取等号）.为正实数，，即（当且仅当时取等号），的最大值为.（2）由（1）知：，即.，，（当且仅当，即，，时取等号）.的最小值为.【题目点拨】本题考查利用绝对值三角不等式和柯西不等式求解最值的问题；利用柯西不等式的关键是能够根据已知等式的形式，配凑出符合柯西不等式形式的式子，属于常考题型.18、(1)(为参数)；(2)最大值，此时．【解题分析】

(1)根据坐标变换可得曲线的方程，根据平方关系可求出其参数方程；(2)求出的直角坐标，再由两点间的距离公式可求出，结合三角函数即可求出最值．【题目详解】(1)依题意可得曲线C的直角坐标方程为，所以其参数方程为(为参数)．(2)，设，则，所以当时，取得最大值，此时．【题目点拨】本题主要考查曲线的伸缩变换，参数方程与普通方程的互化，极坐标化为直角坐标，同时考查三角函数最值的求法，属于中档题．19、（1）（2）【解题分析】

（1）根据正弦定理和利用，得到，最后求面积；（2）由已知可得，所以，转化为三角函数恒等变形，得到，根据角的范围求函数的取值范围.【题目详解】解：（1）在中，∵，∴，∵，，由正弦定理得：，∴，∴，，∴．（2）.∵，∴.∴，则.【题目点拨】本题考查了利用正余弦定理解三角形，和三角恒等变换求函数的最值，第一问也可利用余弦定理求边，利用求面积.20、（1）；（2）；【解题分析】

（1）以为坐标原点，以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出异面直线与的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线与所成角的大小；（2）连接．由，由已知中，是的中点，面，我们根据等腰三角形“三线合一”的性质及线面垂直的性质，即可得到，，进而根据线面垂直的判定定理，得到面，故即为四棱锥的高，求出棱锥的底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【题目详解】（1）以为坐标原点，以，，为轴正方向建立空间直角坐标系．不妨设．依题意，可得点的坐标，于是，由，则异面直线与所成角的大小为．（2）连接．由，是的中点，得；由面，面，得．又，因此面，由直三棱柱的体积为．可得．所以，四棱锥的体积为．【题目点拨】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，棱锥的体积，其中（1）的关键是建立空间坐标系，将异面直线夹角问题转化为向量夹角问题，而（2）的关键是根据线面垂直的判定定理，得到为棱锥的高．21、（1）见解析；（2）；（3）定点为。【解题分析】

（1）设直线的方程为，直线方程与抛物线方程联立消元得的二次方程，判别式，设，由韦达定理得，计算并代入即得；（2）写出线段的垂直平分线方程，令求出，利用可得的范围．（3）求出点坐标，求出直线方程，把分别用代入并化简，然后再代入(1)中的，整理后可知直线过定点．【题目详解】（1）设过点的直线的方程为，由得，设，则，∴为定值；（2）由（1）知的中点坐标为，则的中垂线方程为：，令得，又，即，∴。（3）点A关于x轴的对称点为，则直线方程为：，整理得，而，∴直线方程为，∴直线过定点，定点为。【题目点拨】本题考查直线与抛物线相交问题，方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，用直线方程与抛物线方程联立消元后用韦达定理得，题中其他关系都向靠拢，最后代入可得结论．22、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）根据题意得到列联表，然后由列联表中的数据得到的值，再结合临界值表可得结论．（2）由题意得到随机变量的所有可能取值，并分别求出对应的概率，进而得到的分布列，于是可得所