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文档简介

第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数记为

一、偏导数的定义及其计算法记为

例1

在不产生误解时，偏导函数也简称为偏导数。

或，，,偏导函数偏导数的概念可以推广到三元以上函数如在处对

x的偏导数解[解法一]先求偏导数再代入具体点.“先求后代”[解法二]先固定

y=2，再对

x

求偏导数.“先代后求”思考:解:证原结论成立．14有关偏导数的几点说明：１、即不能看作分子分母之商.２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；注意:不能用“代入法”!请问函数在该点连续吗?连续多元函数中在某点偏导数存在

连续，？函数多元函数中在某点偏导数存在

连续，3、

偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在一元函数中在某点可导

连续，连续.(即书P67

例4)

多元函数中在某点连续偏导数存在，连续偏导数存在.？

可见，二元函数在一点处偏导数存在和连续没有必然的联系.偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.4、偏导数的几何意义4.二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点

M0处的切线对x

轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的

详细例:

求曲线在点处的切线与y

轴正向夹角.解二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域

D

内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们的偏导数是z=f(x,y)的二阶偏导数

.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:纯偏导混合偏导例如，z=f(x,y)

关于

x的三阶偏导数为z=f(x,y)

先关于x的n–1阶偏导数,再关于

y

的一阶偏导数为:类似可以定义更高阶的偏导数.定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.解问题：混合偏导数都相等吗？(注:不相等的例子可参见书P67例6)具备怎样的条件才相等？问题:混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？附注:

(书P68)1.

C(q)类函数是指具有直到q阶的连续偏导数的函数.如:f∈C(2),即指f

具有二阶连续偏导数

2.

函数连续+偏导数存在偏导数连续？注意二者概念不同!说明:因为多元初等函数的偏导数仍为多元初等函数，定理可以推广，例如：对三元函数

u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点

(x,y,z)连续时,有故求多元初等函数的高阶偏导数时可以选择方便的求偏导顺序.而多元初等函数在其定义区域内是连续的，补充：若函数满足f(x,y)=f(y,x)，则称函数f(x,y)对x,y具有轮换对称性.证求证补充：若函数满足f(x,y)=f(y,x)，则称函数f(x,y)对x,y具有轮换对称性.

则推广：若f(x,y,z)变量x,y,z位置任意互换，不会改变f

的表达式，则称f

(x,y,z)

具有轮换对称性.

则若f(x,y,z)具有轮换对称性，且已(z不动,x与y对调)(y不动,x与z对调)满足拉普拉斯证：方程(作业:P16三)利用对称性,有例3.证明函数记号;几何意义内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.

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