浙江省丽水市2021年中考数学真题（含答案）

2021年浙江省丽水市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.-2的倒数是（）

11

A.-2B.-----C.—D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据倒数的定义求解.

【详解的倒数是《

故选B

【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握

2.计算：（一4）2./的结果是（）

s686

A.aB.aC.-tzD.-a

【答案】B

【解析】

【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数塞的乘法计算即可.

【详解】解：原式=/./=片+4=。6.

故选B.

【点睛】此题考查的是累的运算性质，掌握同底数哥的乘法法则是解题关键.

3.如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（）

【答案】B

【解析】

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【详解】解：从正面看下面一层是三个正方形，上面一层中间是一个正方形.即：

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

4.一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是

()

1135

A.-B.-C.-D.一

3588

【答案】C

【解析】

【分析】先求出所有球数的总和，再用红球的数量除以球的总数即为摸到红球的概率.

【详解】解：任意摸一个球，共有8种结果，任意摸出一个球是红球的有3种结果，因而从中任意摸出一个

球是红球的概率是，.

O

故选：C.

【点睛】本题考查了等可能事件的概率，关键注意所有可能的结果是可数的，并且每种结果出现的可能性

相同.

5.若一3a>1,两边都除以一3,得()

A.o<—B.G>—C.a<—3D.CL>—3

33

【答案】A

【解析】

【分析】利用不等式的性质即可解决问题.

【详解】解：-3a>1，

两边都除以一3,得

3

故选：A.

【点睛】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：

(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

6.用配方法解方程》2+4犬+1=0时，配方结果正确的是()

A.(x—2)2=5B.(x—2K=3C.(X+2)2=5D.(x+2)2=3

【答案】D

【解析】

【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完

全平方公式写成平方形式即可.

【详解】解：；f+4x+l=0，

X2+4x——1>

x2+4x+4——1+4>

*+2)2=3,

故选：D.

【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方.

7.如图，是的直径，弦CDLQ4于点E,连结OC,O£>.若。的半径为m,N4OD=Na,则

下列结论一定成立的是()

2

A.OE=mtanaB.CD=2m-sinaC.AE=mcosaD.SCOD=m-sina

【答案】B

【解析】

【分析】根据垂径定理、锐角三角函数定义进行判断即可解答.

【详解】解：；AB是O。的直径，弦CDJ_O4于点E,

DE^-CD

2

在H/7XEDO中，0D=m,ZAOD=Za

DE

tana=-----

OE

DE_CD

：.OE=故选项A错误，不符合题意;

tana2tana

DE

又sina

~0D

DE=OD^sina

/.CD=IDE=2m«sina,故选项8正确，符合题意;

又2%

0D

OE=(?D»cosa=/n»cosa

AO=DO=m

，AE=AO—。七二加一m»cosa,故选项C错误，不符合题意;

CD=2m»sina，OE=m«cosa

2

SACOD=—CDxOE=—x2m«sinaxm»cosa=msincu-cosa故选项。错误，不符合题意;

故选艮

【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂

径定理和锐角三角函数的定义.

8.四盏灯笼的位置如图.己知A,B,C,£＞的坐标分别是(T,/?),(1,b),(2,b),(3.5,b),平移y轴右

侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是()

ABCD

0x

A.将8向左平移4.5个单位B.将C向左平移4个单位

C.将。向左平移5.5个单位D.将C向左平移3.5个单位

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用利用关于)，轴对称点的性质得出答案.

【详解】解：•••点A(T,b)关于y轴对称点为8(1,b),

C(2,C关于y轴对称点为(-2,b),

需要将点。(3.5,h)向左平移3.5+2=55个单位,

故选：c.

【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

9.一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变.甲、乙、丙、

丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力EP、七、五丙、R「，将相同重量的水桶吊起同样的高度,

若七＜4j＜耳，，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）

A.甲同学B.乙同学C.丙同学D.丁同学

【答案】B

【解析】

【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力X动力臂=阻力X阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解.

【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，

根据题意，:F乙＜/＜外，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，

乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，

故选：B.

【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原

理是解答的关键.

10.如图，在纸片中，ZACB=90°,AC=4,3。=3,点。,后分别在48,4。上，连结。后,

将,沿OE翻折，使点A的对应点尸落在3c的延长线上，若FD平分NEFB,则AD的长为（）

20

D.

T

【答案】D

【解析】

【分析】先根据勾股定理求出A8,再根据折叠性质得出/D4E=NQFE,AD=DF,然后根据角平分线的定

义证得进而证得NBOF=90。，证明Rt^ABCsRtz\F8。，可求得AD的长.

【详解】解：•••ZAC8=90°,AC=4,BC=3,

•••AB=VAC2+BC2=V42+32=5>

由折叠性质得：NDAE=NDFE,AD=DF,则BD=5-A。，

•/FD平分空FB,

：.NBFD=NDFE=NDAE,

，/Z£>A£+ZB=90°,

ZBDF+NB=90°,即NBD尸=90°,

.•.RtZVWCsRsFBD,

BDBC5-AD3

•*.--------即nn-------——,

DFACAD4

20

解得：A£>=y,

故选：D.

【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定

理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.分解因式：m2—4-___.

【答案】（机+2）（机一2）

【解析】

【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.

【详解】m2-4=（m+2）（m-2）,

故填0+2）（加一2）

【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.

12.要使式子J三有意义，则x可取的一个数是.

【答案】如4等（答案不唯一，X>3）

【解析】

【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可.

【详解】解：•.•式子J口有意义,

:.X-3N0,

x23,

.•.X可取的任意一个数，

故答案为：如4等（答案不唯一，x>3.

【点睛】本题考查二次根式、解--元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键.

13.根据第七次全国人口普查，华东AB,C,D,E,尸六省60岁及以上人口占比情况如图所示，这六省60

岁及以上人口占比的中位数是

华东六省60岁及以上人口占比统计图

ABCDEF省份

【答案】18.75%

【解析】

【分析】由图，将六省60岁及以上人口占比由小到大排列好，共有6个数，所以中位数等于中间两个数之

和除以二.

【详解】解：由图，将六省人口占比由小到大排列为：16.0,16.9,18.7,18.8,20.9,21.8,

|Q7+122

由中位数定义得：人口占比的中位数为一------=18.75,

2

故答案为：18.75%.

【点睛】本题考查了求解中位数，解题的关键是：将数由小到大排列，根据数的个数分为两类.当个数为

奇数时，中位数等于最中间的数：当个数为偶数个时，中位数等于中间两个数之和除以2.

14.一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°,则原多边形的边数是.

【答案】6或7

【解析】

【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形.

【详解】解：由多边形内角和，可得

(〃-2)xl80°=720°,

n=6,

新的多边形为6边形，

•••过顶点剪去一个角，

原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，

故答案为6或7.

【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键.

15.小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2

的“奔跑者’’形象来激励自己.已知图1正方形纸片的边长为4,图2中则“奔跑者”两脚之间

的跨度，即AB,CD之间的距离是.

奔

跑

者

【分析】先根据图1求EQ与CO之间的距离，再求出BQ,即可得到AB,CO之间的距离=EQ与CD之

间的距离+8。.

【详解】解：过点E作EQL8M,则EQ〃CQ

根据图1图形EQ与CO之间的距离=1X4+LX1X4=3

222

由勾股定理得：2EF?=不，解得：EF=272；

/1\2

4”=2x1/x4,解得：AM=2/2

,/FM=2EM

：.EM=-FM^-AM

33

'：EQ±BM,/B=90°

：.EQ//AB

224

...BQ=-BM=-x2=-

333

413

AB,8之间的距离=EQ与CO之间的距离+8。=3+1=]

13

故答案为—.

3

【点睛】本题考查了平行线间距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形

结合法找到需要的数据是解答此题的关键.

16.数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：

己知实数a力同时满足"+2a=b+2,b2+2b=a+2,求代数式夕+@的值.

ab

结合他们的对话，请解答下列问题:

（1）当a=〃时，a的值是

(2)当标b时，代数式2+@的值是__________.

ab

【答案】⑴.—2或1(2).7

【解析】

【分析】(1)将。=匕代入〃+2a=b+2解方程求出。，b的值，再代入。2+如=。+2进行验证即可;

(2)当出6时，求出a+b+3=0,再把？+乌通分变形，最后进行整体代入求值即可.

ab

a2+2a=Z?+2①

【详解】解：已知《9实数。，人同时满足①，②，

[b2+2b=a+2@

①-②得，a1-b1+3a-3>b=O

・，・(a-/?)(a+〃+3)=0

/.。一/?=0或。+/?+3=0

①+②得，a2+Z?2=4-a—h

(1)当。=6时，将。=Z?代入〃2+2。=人+2得，

/+Q-2=0

解得，q=l,a2=-2

b、=1,b2=-2

把a=/?=l代入〃2+27?=Q+2得，3=3,成立；

把。=6=-2代入〃z+2〃=々+2得，0=0，成立；

・••当时，。的值是1或-2

故答案为：1或・2；

(2)当球力时，则。+〃+3=0,即。+/?=—3

:a2^-b2=4—a-b

・•・a2+b2=7

(a+b)2=a2+2ab+h2=9

ab—\

.baa2+/?27

.•—卜—=-------=—=/

ahab1

故答案为:7.

【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等

知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键.

三、解答题(本题有8小题，第17〜19题每题6分，第20,21题每题8分，第22,23题每

题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程)

17.计算：|-2021|+(-3)°-V4.

【答案】2020

【解析】

【分析】先计算绝对值、零指数基和算术平方根，最后计算加减即可；

【详解】解：1-2021|+(-3)°-V4

=2021+1-2,

=2020.

【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则.

x=2y

18.解方程组：*

x-y=6

x=12,

【答案】〈

y=6.

【解析】

【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可.

【详解】解：〈

x-y=6(2)

把①代入②，得2y-y=6,

解得y=6.

把y=6代入①，得X=12.

x=12

原方程组解是《

y=6

【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键.

19.在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调

查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图信息解答下列问题：

抽取的学生视力情况统计表

检查结

类别人数

果

A正常88

轻度近

B—

视

中度近

C59

视

重度近

D—

视

抽取的学生视力情况统计图

A.正常

B.轻度近视

C.中度近视

D.重度近视

（1）求所抽取的学生总人数;

（2）该校共有学生约1800人,请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数;

（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议.

【答案】（1）200人；（2）810人；（3）答案不唯一，见解析

【解析】

【分析】（1）根据检查结果正常的人数除以所占百分比即可求出抽查的总人数；

（2）首先求出近视程度为中度和重度的人数所占样本问题的百分比，再依据样本估计总体求解即可;

（3）可以从不同角度分析后提出建议即可.

详解［解：（1）88+44%=200（人）.

.•.所抽取的学生总人数为200人.

(2)1800x(1-44%-!1%)=810(人).

•••该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数有810人.

（3）本题可有下面两个不同层次的回答，

A层次：没有结合图表数据直接提出建议，如：加强科学用眼知识的宣传.

8层次：利用图表中的数据提出合理化建议.

如：该校学生近视程度为中度及以上占比为45%,说明该校学生近视程度较为严重，建议学校要加强电子

产品进校园及使用的管控.

【点睛】本题考查了频率分布表及用样本估计总体的知识，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，解

题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息.

20.如图，在5x5的方格纸中，线段A3的端点均在格点上，请按要求画图.

图2图3

（1）如图1,画出一条线段AC,使AC=A8,C在格点上；

（2）如图2,画出一条线段EF，使互相平分，E,尸均在格点上；

（3）如图3,以A8为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可；

（2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以A8对角线的平行四边形即可画出另一条对角线EF；

（3）画出平行四边形A8PQ即可.

【详解】解：⑴如图1,线段AC即为所作：

（2）如图2,线段EF即为所作；

（3）四边形A8PQ为所作；

图1图2图3

【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题.

21.李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地.行驶过程中，货车离目的

地的路程s（千米）与行驶时间，（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计.当油箱中剩余油

量为10升时，货车会自动显示加油提醒.设货车平均耗油量为01升/千米，请根据图象解答下列问题：

（1）直接写出工厂离目的地的路程；

（2）求s关于f的函数表达式；

（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间，在怎样的范围内货车应进站加油？

【答案】（1）工厂离目的地的路程为880千米；（2）s=—80『+880（0</<11）；（3）

42

【解析】

【分析】（1）根据图象直接得出结论即可：

（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为

（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的f值，即可求得f的范围.

【详解】解：（1）由图象，得r=0时，s=880,

答：工厂离目的地的路程为880千米.

(2)设$=e+。(&。0),将r=(),s=88O和f=4,s=560分别代入表达式,

880=。，^=-80

,解得＜

560=4k+b.6=880

...s关于，的函数表达式为s=-80,+880(0<r<ll).

（3）当油箱中剩余油量为10升时，s=880—（60-10）+0.1=380（千米）,

.-.380=-80/+880,解得f=—（小时）.

4

当油箱中剩余油量为0升时，5=880—60+0.1=280（千米）,

.•.280=-80r+880,解得"纹（小时）.

2

左=-80＜0,s随t的增大而减小，

的取值范围是2三5＜/＜1二5.

42

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，能从函数图象上提取有效信息解决问题.

22.如图，在,.ABC中，AC=BC，以8c为直径的半圆O交A3于点。，过点。作半圆O的切线，交AC

于点E.

(1)求证：ZACB=2ZADE；

(2)若。E=3,AE=G，求co的长.

【答案】（1）见解析；（2）拽王

3

【解析】

【分析】（1）连结利用圆的切线性质，间接证明：ZADE=/ODC,再根据条件中：AC=BC

且OD=OC,即能证明：NAC6=2NA£）£；

（2）由（1）可以证明：,「AED为直角三角形，由勾股定求出AO的长，求出tanA,可得到NA的度数,

从而说明，ABC为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出

ZC<9£>=120°,半径0C=2百，最后根据弧长公式即可求解.

【详解】解：(1)证明：如图，连结O2CO.

0

DE与:O相切，NODE=90。,;.ZODC+ZEDC=90°.

8C是圆的直径，NBOC=90°,ZADC=90°.

/.ZADE+ZEDC=90°,ZADE=ZODC.

AC=BC,:.ZACB=2NDCE=2NOCD.

OD=OC,AODC=ZOCD.

ZACB=2ZADE.

（2）由（1）可知，ZADE+ZEDC=90°,ZADE=ZDCE,ZAED=90°,

DE=3,AE=M,

AD=m+（扬2=26,tanA="ZA=60°，

AC=8C"..ABC是等边三角形.

NB=60°,BC=AB=2AD=4G,

NCOD=2NB=120°,OC=26，

120^x273

CD=-------=-----

1803

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式

等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质.

23.如图，已知抛物线=+c经过点。(0,-5),5(5,0).

(1)求仇C的值；

(2)连结AB，交抛物线L的对称轴于点M.

①求点M的坐标；

②将抛物线L向左平移机伽＞0)个单位得到抛物线乙.过点例作MN//y轴，交抛物线乙于点N.P是抛

物线右上一点，横坐标为-1，过点P作PE//X轴，交抛物线L于点E,点E在抛物线L对称轴的右侧.若

PE+MN=10,求机的值.

【答案】(1)-4,-5；(2)①(2,-3)；②1或-1+厢.

2

【解析】

【分析】(1)直接运用待定系数法求解即可；

(2)①求出直线A8的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物

线右的表达式，再分三种情况进行求解即可.

【详解】解：⑴把点40,-5),8(5,0)的坐标分别代入y=/+法+，，

c=-5,仿=-4,

得Lucc•解得U

25+5b+c=Q.[c=-5.

的值分别为-4,-5.

(2)①设A8所在直线的函数表达式为丁=丘+”(人力0)，

把A(O,—5),8(5,0)的坐标分别代入表达式，得、'

5k+"=0.

k=1,

解得〈u

n=-5.

A5所在直线的函数表达式为y=x-5.

由(1)得，抛物线L的对称轴是直线龙=2,

当x=2时，y=x_5=_3.

.•.点M的坐标是(2,-3).

②设抛物线4的表达式是y=(x—2+机产一9,

MN//y轴，

二点N的坐标是(2,病一*

•.•点P的横坐标为一1,

，点P的坐标是(-1,加2-6/n),

设PE交抛物线乙于另一点。，

抛物线L｝的对称轴是直线x=2-m,PE//X轴，

.•.根据抛物线的轴对称性，点。的坐标是(5-2相，加之一6").

图2

图1

(i)如图1,当点N在点M下方，即0〈加4布时,

PQ=5—2m-(-1)=6-2m,

W=-3-(W2-9)=6-/7/2,

由平移性质得QE=m,,

PE=6-2m+m=6-m

QPE+MN=IO,

**-6-m+6-m2=10，

解得叫=一2(舍去)，m2=1.

(ii)图2,当点N在点M上方，点。在点P右侧，

即瓜〈根W3时，PE=6—m,MN=m2—6，

QPE+MN=10,

/.6—m+m2—6=10»

解得叫=1+心（舍去），色=匕严（舍去）.

（iii）如图3,当点N在点M上方，点。在点P左侧,

即机＞3时，

PE=m,MN=m2-6,

QPE+MN=10,

m+ivr—6=10，

一"底(舍去)，%=

解得叫T+而

综上所述，奏的值是1或一"而

2

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方

程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键.

24.如图，在菱形ABCO中，NA3C是锐角，E是边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转,

交直线CD于点F.

(1)当AEABC,?EAF?ABC时，

①求证：AE=AFx

FF2S*pp

②连结3。，EF,若J=一，求”的值;

BD5A菱形A8CO

(2)当/E4尸=时，延长8C交射线A厂于点M，延长QC交射线AE于点N,连结AC,MN,

若A8=4,AC=2,则当C£为何值时，是等腰三角形.

844

【答案】(1)①见解析；②一；(2)当CE=—或2或一时，..AMN是等腰三角形.

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【解析】

【分析】(1)根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出ZR4£=NZMF，得到

_ABE^ADF，由AE=AF,CE=CFACEF的垂直平分线，得到//8D,/\CEF^/\CBD,

再根据已知条件证明出一算出面积之比；

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(2)等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当