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文档简介
2024届浙江省衢州市Q21教联盟数学九上期末复习检测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每题4分,共48分)1.如图,在一张矩形纸片中,对角线,点分别是和的中点,现将这张纸片折叠,使点落在上的点处,折痕为,若的延长线恰好经过点,则点到对角线的距离为().A. B. C. D.2.为测量某河的宽度,小军在河对岸选定一个目标点A,再在他所在的这一侧选点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,然后找出AD与BC的交点E,如图所示.若测得BE=90m,EC=45m,CD=60m,则这条河的宽AB等于()A.120m B.67.5m C.40m D.30m3.方程x2=3x的解为()A.x=3 B.x=0 C.x1=0,x2=﹣3 D.x1=0,x2=34.如图,将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF(面积记为S1)变形为以点D为圆心,CD为半径的扇形(面积记为S2),则S1与S2的关系为()A.S1=S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.S1>S25.设有12只型号相同的杯子,其中一等品7只,二等品2只,三等品3只。则从中任意取一只,是二等品的概率等于()A. B. C. D.6.在同一坐标系中,一次函数与二次函数的大致图像可能是A. B. C. D.7.如图平行四边变形ABCD中,E是BC上一点,BE∶EC=2∶3,AE交BD于F,则S△BFE∶S△FDA等于()A.2∶5 B.4∶9 C.4∶25 D.2∶38.已知,则的度数是()A.30° B.45° C.60° D.90°9.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图,试按其天中发生的先后顺序排列,正确的是()A.①②③④ B.④①③② C.④②③① D.④③②①10.如图,以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点,交直角边AC于点E,B、E是半圆弧的三等分点,弧BE的长为π,则图中阴影部分的面积为()A. B. C. D.11.一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是()A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根12.一元二次方程的一次项系数和常数项依次是()A.和 B.和 C.和 D.和二、填空题(每题4分,共24分)13.已知圆锥的底面圆半径为3cm,高为4cm,则圆锥的侧面积是________cm2.14.如图,已知A(5,0),B(4,4),以OA、AB为边作▱OABC,若一个反比例函数的图象经过C点,则这个函数的解析式为_____.15.若m是关于x的方程的一个根,则的值为_________.16.抛物线的顶点坐标是______.17.把一袋黑豆中放入红豆100粒,搅匀后取出100粒豆子,其中红豆5粒,则该袋中约有黑豆_______粒.18.如图,已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴,OD=2OA=6,AD:AB=3:1.则点B的坐标是_____.三、解答题(共78分)19.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,3),点B(4,0),点C(0,﹣1).(1)以点C为中心,把△ABC逆时针旋转90°,请在图中画出旋转后的图形△A′B′C,点B′的坐标为________;(2)在(1)的条件下,求出点A经过的路径的长(结果保留π).20.(8分)如图,抛物线y=ax2+5ax+c(a<0)与x轴负半轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,D是抛物线的顶点,过D作DH⊥x轴于点H,延长DH交AC于点E,且S△ABD:S△ACB=9:16,(1)求A、B两点的坐标;(2)若△DBH与△BEH相似,试求抛物线的解析式.21.(8分)中国古贤常说万物皆自然,而古希腊学者说万物皆数.同学们还记得我们最初接触的数就是“自然数”吧!在数的学习过程中,我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究,我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特珠的自然数—“喜数”.定义:对于一个两位自然数,如果它的个位和十位上的数字均不为零,且它正好等于其个位和十位上的数字的和的倍(为正整数),我们就说这个自然数是一个“喜数”.例如:24就是一个“4喜数”,因为25就不是一个“喜数”因为(1)判断44和72是否是“喜数”?请说明理由;(2)试讨论是否存在“7喜数”若存在请写出来,若不存在请说明理由.22.(10分)已知:如图,抛物线y=﹣x2+2x+3交x轴于点A、B,其中点A在点B的左边,交y轴于点C,点P为抛物线上位于x轴上方的一点.(1)求A、B、C三点的坐标;(2)若△PAB的面积为4,求点P的坐标.23.(10分)已知是上一点,.(Ⅰ)如图①,过点作的切线,与的延长线交于点,求的大小及的长;(Ⅱ)如图②,为上一点,延长线与交于点,若,求的大小及的长.24.(10分)某商店以每件40元的价格进了一批商品,出售价格经过两个月的调整,从每件50元上涨到每件72元,此时每月可售出188件商品.(1)求该商品平均每月的价格增长率;(2)因某些原因,商家需尽快将这批商品售出,决定降价出售.经过市场调查发现:售价每下降一元,每个月多卖出一件,设实际售价为x元,则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元.25.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,抛物线交x轴于A、C两点,与直线y=x﹣1交于A、B两点,直线AB与抛物线的对称轴交于点E.(1)求抛物线的解析式.(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动,若△ABP的面积最大,求此时点P的坐标.(3)在平面直角坐标系中,以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出符合条件点D的坐标.26.已知:关于x的方程,(1)求证:无论k取任何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,两个边长b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、B【分析】设DH与AC交于点M,易得EG为△CDH的中位线,所以DG=HG,然后证明△ADG≌△AHG,可得AD=AH,∠DAG=∠HAG,可推出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°,然后设BH=a,则BC=AD=AH=2a,利用勾股定理建立方程可求出a,然后在Rt△AGM中,求出GM,AG,再求斜边AM上的高即为G到AC的距离.【详解】如图,设DH与AC交于点M,过G作GN⊥AC于N,∵E、F分别是CD和AB的中点,∴EF∥BC∴EG为△CDH的中位线∴DG=HG由折叠的性质可知∠AGH=∠B=90°∴∠AGD=∠AGH=90°在△ADG和△AHG中,∵DG=HG,∠AGD=∠AGH,AG=AG∴△ADG≌△AHG(SAS)∴AD=AH,AG=AB,∠DAG=∠HAG由折叠的性质可知∠HAG=∠BAH,∴∠BAH=∠HAG=∠DAG=∠BAD=30°设BH=a,在Rt△ABH中,∠BAH=30°∴AH=2a∴BC=AD=AH=2a,AB=在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2即解得∴DH=2GH=2BH=,AG=AB=∵CH∥AD∴△CHM∽△ADM∴∴AM=AC=,HM=DH=∴GM=GH-HM=在Rt△AGM中,∴故选B.【点睛】本题考查了矩形的性质,折叠的性质,全等三角形与相似三角形的判定与性质,以及勾股定理的应用,解题的关键是求出∠BAH=30°,再利用勾股定理求出边长.2、A【解析】∵∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠CED,∴△ABE∽△DCE,∴.∵BE=90m,EC=45m,CD=60m,∴故选A.3、D【分析】根据因式分解法解一元二次方程,即可求解.【详解】∵x2﹣1x=0,∴x(x﹣1)=0,∴x=0或x﹣1=0,解得:x1=0,x2=1.故选:D.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法,掌握因式分解法解方程,是解题的关键.4、D【分析】由正六边形的长得到的长,根据扇形面积公式=×弧长×半径,可得结果.【详解】由题意:的长度==24,∴S2=×弧长×半径=×24×6=72,∵正六边形ABCDEF的边长为6,∴为等边三角形,∠ODE=60°,OD=DE=6,过O作OG⊥DE于G,如图:∴,∴,∴S1>S2,故选:D.【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式;熟练掌握正六边形的性质,求出弧长是解决问题的关键.5、B【分析】让二等品数除以总产品数即为所求的概率.【详解】解:∵现有12只型号相同的杯子,其中一等品7只,二等品2只,三等品3只,从中任意取1只,可能出现12种结果,是二等品的有2种可能,∴二等品的概率.故选:B.【点睛】本题主要考查了概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率.6、D【分析】对于每个选项,先根据二次函数的图象确定a和b的符号,然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确,若正确,说明它们可在同一坐标系内存在.【详解】A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a>0,b>0,则一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限,所以A选项错误;B、由二次函数y=ax2+bx的图象得a>0,b<0,则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限,所以B选项错误;C、由二次函数y=ax2+bx的图象得a<0,b<0,则一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限,所以C选项错误;D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a<0,b>0,则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限,所以D选项正确.故选:A.【点睛】本题考查了二次函数的图象:二次函数的图象为抛物线,可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象.也考查了二次函数图象与系数的关系.7、C【分析】由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BE,由平行得相似,即△BEF∽△DAF,再利用相似比解答本题.【详解】∵,
∴,∵四边形是平行四边形,
∴,∥,
∴,,
∴,,故选:C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.正确运用相似三角形的相似比是解题的关键.8、C【解析】根据特殊角三角函数值,可得答案.【详解】解:由,得α=60°,
故选:C.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.9、B【分析】北半球而言,从早晨到傍晚影子的指向是:西−西北−北−东北−东,影长由长变短,再变长.【详解】根据题意,太阳是从东方升起,故影子指向的方向为西方.然后依次为西北−北−东北−东,即④①③②故选:B.【点睛】本题考查平行投影的特点和规律.在不同时刻,同一物体的影子的方向和大小可能不同,不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变,方向也在改变,就北半球而言,从早晨到傍晚影子的指向是:西−西北−北−东北−东,影长由长变短,再变长.10、D【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数,进而利用锐角三角函数关系得出BC,AC的长,利用S△ABC﹣S扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可【详解】解:连接BD,BE,BO,EO,∵B,E是半圆弧的三等分点,∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°,∴∠BAC=∠EBA=30°,∴BE∥AD,∵弧BE的长为π,∴=π,解得:R=2,∴AB=ADcos30°=2,∴BC=AB=,∴AC==3,∴S△ABC=×BC×AC=××3=,∵△BOE和△ABE同底等高,∴△BOE和△ABE面积相等,∴图中阴影部分的面积为:S△ABC﹣S扇形BOE=﹣=﹣.故选D.【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识,根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键.11、B【解析】△=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,∴原方程有两个相等的实数根.故选B.【点睛】,本题考查根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.12、B【解析】根据一元二次方程的一般形式进行选择.【详解】解:2x2-x=1,
移项得:2x2-x-1=0,
一次项系数是-1,常数项是-1.
故选:B.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b分别叫二次项系数,一次项系数.二、填空题(每题4分,共24分)13、15π【解析】设圆锥母线长为l,根据勾股定理求出母线长,再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l,∵r=3,h=4,∴母线l=,∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π,故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积,熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.14、y=﹣【分析】直接利用平行四边形的性质得出C点坐标,再利用反比例函数解析式的求法得出答案.【详解】解:∵A(5,0),B(4,4),以OA、AB为边作▱OABC,∴BC=AO=5,BE=4,EO=4,∴EC=1,故C(﹣1,4),若一个反比例函数的图象经过C点,则这个函数的解析式为:y=﹣.故答案为:y=﹣.【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和反比例函数解析式的求法,将反比例函数上的点带入解析式中即可求解.15、2【分析】将代入方程,进行化简即可得出答案.【详解】由题意得:则故答案为:2.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义,理解题意得到一个关于m的等式是解题关键.16、(1,3)【分析】根据顶点式:的顶点坐标为(h,k)即可求出顶点坐标.【详解】解:由顶点式可知:的顶点坐标为:(1,3).故答案为(1,3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标,掌握顶点式:的顶点坐标为(h,k)是解决此题的关键.17、1【分析】先根据取出100粒豆子,其中有红豆5粒,确定取出红豆的概率为5%,然后用100÷5%求出豆子总数,最后再减去红豆子数即可.【详解】解:由题意得:取出100粒豆子,红豆的概率为5%,则豆子总数为100÷5%=2000粒,所以该袋中黑豆约有2000-100=1粒.故答案为1.【点睛】本题考查了用频率估计概率,弄清题意、学会用样本估计总体的方法是解答本题的关键.18、(5,1)【分析】过B作BE⊥x轴于E,根据矩形的性质得到∠DAB=90°,根据余角的性质得到∠ADO=∠BAE,根据相似三角形的性质得到AE=OD=2,DE=OA=1,于是得到结论.【详解】解:过B作BE⊥x轴于E,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∴∠ADO+∠OAD=∠OAD+∠BAE=90°,∴∠ADO=∠BAE,∴△OAD∽△EBA,∴OD:AE=OA:BE=AD:AB∵OD=2OA=6,∴OA=3∵AD:AB=3:1,∴AE=OD=2,BE=OA=1,∴OE=3+2=5,∴B(5,1)故答案为:(5,1)【点睛】本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,坐标与图形性质,正确的作出辅助线并证明△OAD∽△EBA是解题的关键.三、解答题(共78分)19、(1)图见解析;B′的坐标为(﹣1,3);(2).【分析】(1)过点C作B′C⊥BC,根据网格特征使B′C=BC,作A′C⊥AC,使A′C=AC,连接A′B′,△A′B′C即为所求,根据B′位置得出B′坐标即可;(2)根据旋转的性质可得∠ACA′=90°,利用勾股定理可求出AC的长,利用弧长公式求出的长即可.【详解】(1)如图所示,△A′B′C即为所求;B′的坐标为(﹣1,3).(2)∵A(3,3),C(0,﹣1).∴AC==5,∵∠ACA′=90°,∴点A经过的路径的长为:=.【点睛】本题考查旋转的性质及弧长公式,正确得出旋转后的对应边和旋转角是解题关键.20、(1);(2)见解析.【分析】(1)根据顶点公式求出D坐标(利用a,b,c表示),得到OC,DH(利用a,b,c表示)值,因为S△ABD:S△ACB=9:16,所以得到DH:OC=9:16,得到c=4a,利用交点式得出A,B即可.(2)由题意可以得到,求出DH,EH(利用a表示),因为△DBH与△BEH相似,得到,即可求出a(注意舍弃正值),得到解析式.【详解】解:(1)∴∵C(0,c)∴OC=-c,DH=∵S△ABD:S△ACB=9∶16∴∴∴∴(2)①∵EH∥OC∴△AEH∽△ACO∴∴∴∵∵△DBH与△BEH相似∴∠BDH=∠EBH,又∵∠BHD=∠BHE=90°∴△DBH∽△BEH∴∴∴(舍去正值)∴【点睛】此题主要考查了二次函数与相似三角形等知识,熟练运用待定系数法、相似三角形是解题的关键.21、(1)44不是一个“喜数”,72是一个“8喜数”,理由见解析;(2)“7喜数”有4个:21、42、63、1【分析】(1)根据“n喜数”的定义解答即可;(2)设存在“7喜数”,设其个位数字为a,十位数字为b,(a,b为1到9的自然数),则10b+a=7(a+b),化简得:b=2a,由此即可得出结论.【详解】(1)44不是一个“喜数”,因为,72是一个“8喜数”,因为;(2)设存在“7喜数”,设其个位数字为,十位数字为,(,为1到9的自然数),由定义可知:化简得:因为,为1到9的自然数,∴,;,;,;,;∴“7喜数”有4个:21、42、63、1.【点睛】本题考查了因式分解的应用.掌握“n喜数”的定义是解答本题的关键.22、(1)A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3);(2)P点坐标为(1﹣,2),(1+,2)【分析】(1)当时,可求点A,点B坐标,当,可求点C坐标;(2)设点P的纵坐标为,利用三角形面积公式可求得,代入y=﹣x2+2x+3即可求得点P的横坐标,从而求得答案.【详解】(1)对于抛物线y=﹣x2+2x+3,令y=0,得到﹣x2+2x+3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,则A(﹣1,0),B(3,0),令,得到y=﹣x2+2x+3=3,则C点坐标为(0,3);故答案为:A(﹣1,0),B(3,0),(0,3);(2)设点P的纵坐标为,∵点P为抛物线上位于x轴上方,∴,∵△PAB的面积为4,∴,解得:,∵点P为抛物线上的点,将代入y=﹣x2+2x+3得:﹣x2+2x+3=2,整理得x2﹣2x﹣1=0,解得:x1=1﹣,x2=1+,∴P点坐标为:(1﹣,2),(1+,2).【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用,利用二次函数的性质求解是关键.23、(Ⅰ),PA=4;(Ⅱ),【分析】(Ⅰ)易得△OAC是等边三角形即∠AOC=60°,又由PC是○O的切线故PC⊥OC,即∠OCP=90°可得∠P的度数,由OC=4可得PA的长度(Ⅱ)由(Ⅰ)知△OAC是等边三角形,易得∠APC=45°;过点C作CD⊥AB于点D,易得AD=AO=CO,在Rt△DOC中易得CD的长,即可求解【详解】解:(Ⅰ)∵AB是○O的直径,∴OA是○O的半径.∵∠OAC=60°,OA=OC,∴△OAC是等边三角形.∴∠AOC=60°.∵PC是○O的切线,OC为○O的半径,∴PC⊥OC,即∠OCP=90°∴∠P=30°.∴PO=2CO=8.∴PA=PO-AO=PO-CO=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)知△OAC是等边三角形,∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°∴∠AQC=30°.∵AQ=CQ,∴∠ACQ=∠QAC=75°∴∠ACQ-∠ACO=∠QAC-∠OAC=15°即∠QCO=∠QAO=15°.∴∠APC=∠AQC+∠QAO=45°.如图②,过点C作CD⊥AB于点D.∵△OAC是等边三角形,CD⊥AB于点D,∴∠DCO=30°,AD=AO=CO=2.∵∠APC=45°,∴∠DCQ=∠APC=45°∴PD=CD在Rt△DOC中,OC=4,∠DCO=30°,∴OD=2,∴CD=2∴PD=CD=2∴AP=AD+DP=2+2【点睛】此题主要考查圆的综合应用24、(1)20%;(2)60元【分析】(1)设该商品平均每月的价格增长率为m,根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格,即可得出关于m的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;(2)根据总利润=单价利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【详解】解:(1)设该商品平均每月的价格增长率为m,依题意,得:50(1+m)2=72,解得:m1=0.2=20%,m2=﹣2.2(不合题意,舍去).答:该商品平均每月的价格增长率为20%.(2)依题意,得:(x﹣40)[188+(72﹣x)]=4000,整理,得:x2﹣300x+14400=0,解得:x1=60,x2=240(不合题意,舍去).答:x为60元时商品每天的利润可达到4000元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.25、(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)点P(,);(3)符合条件的点D的坐标为D1(0,3),D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7).【分析】(1)令y=0,求出点A的坐标,根据抛物线的对称轴是x=﹣1,求出点C的坐标,再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可;(2)设点P(m,﹣m2﹣2m+3),利用抛物线与直线相交,求出点B的坐标,过点P作PF∥y轴交直线AB于点F,利用S△ABP=S△PBF+S△PFA,用含m的式子表示出△ABP的面积,利用二次函数的最大值,即可求得点P的坐标;(3)求出点E的坐标,然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式,再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式,即可求出交点坐标.【详解】解:(1)令y=0,可得:x﹣1=0,解得:x=1,∴点A(1,0),∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,∴﹣1×2﹣1=﹣3,即点C(﹣3,0),∴,解得:∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动,∴设点P(m,﹣m2﹣2m+3),∵抛物线与直线y=x﹣1交于A、B两点,∴,解得:
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