数学（北京B卷）-2023年高考第二次模拟考试卷（全解全析）

2023年高考数学第二次模拟考试卷（北京B卷）

高三数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第I卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.己知复数z=i（2+i）,贝的共物复数为（）

A.l-2iB.2-iC.l+2iD.-l-2i

【答案】D

【详解】依题意，z=—l+2i，所以W=-l-2i.

故选：D

2.若集合人=伸<2*<4},8={X|1<X<3},则AU3=（）

A.（1,4）B.（1,2）C.（0,4）D.（0,3）

【答案】D

【详解】A={x|0<xv2},AAB=（O,3）.

故选：D.

3.ABC中，“A为锐角”是“sinA>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【详解】在AABC中,由“A为锐角”,易得“sinA>0”,

“A为锐角”是“sinA>0”的充分条件;

在aABC中，由“sinA>0"，不能得出“A为锐角”（如sinA=l>0,A为直角，实际上，当人«0,兀）时，sinA>0

恒成立），

二“A为锐角”不是“sinA>0”的必要条件;

综上所述，“A为锐角”是“sinA>0”的充分不必要条件.

故选：A.

4.己知函数/（x）是奇函数，且当*20时，则〃-4）=（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】C

【详解】因为/（X）是奇函数，所以〃7）=-〃4）,

因为当时，/（x）=Vx-x,

所以〃4）=4-4=-2,

所以〃T）=2.

故选：C.

5.某地区的统计数据表明新生儿的实际出生日期与预产期的天数差X~N（0Q2）.已知尸（04X45）=0.12,

估计在100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数（）

A.34B.36C.38D.40

【答案】C

【详解】因为X~N（0,cr2）,且P（0WXV5）=0.12.

根据正态分布的对•称性，则有P（-5<X<0）=0.12,

所以P（X4-5）=g-P（-54xW0）=0.38.

故100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数为100x0.38=38.

故选：C.

6.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角''记录于其重要著作

《详解九章算法》，该著作中的“垛积术'’问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，

其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2,

3,6,11,则该数列的第15项为（）

A.196B.197C.198D.199

【答案】C

【详解】设该数列为｛4｝,则q=2,々=3,%=6,4=11；

由二阶等差数列的定义可知，%-4=1，%-%=3,%-4=5,…

所以数列｛为“-%｝是以。-4=1为首项,公差d=2的等差数列,

即40+|-4,=2〃-1,所以

%—q=1,

a3—a2=3,

a4-a3=5,

%一"“=2”-1

将所有上式累加可得q向=q+=1+2,所以％="+2=198；

即该数列的第15项为%=直8.

故选：C

37r7T

7.下列是函数/(x)=2sin(x+不)sin*+：)图像的对称轴的是()

44

兀C兀〃加C兀

AA.x=-B.x=-C.x=-D,x=—

6432

【答案】D

【详解】/(x)=2sin[(x+-)+—]sin(x+—)=2sin(x+—)cos(x+—)=sin(2x+-)=cos2x,

424442

显然/(看)=8$]=；*±1,/(；)=COsT=0W±l，/q)=cosg=-；w±l,/(1)=COS7t=-l,

所以函数“X)=2sin(x+当sin(x+f)图像的对称轴的是x=g,ABC错误，D正确.

442

故选：D

8.已知双曲线G：上->2=1的左焦点与抛物线C?：y2="的焦点/重合，。为抛物线上一动点，定点

8

A(-5,2),则|加+|班|的最小值为()

A.5B.3C.4D.8

【答案】D

【详解】对于双曲线G，a=2叵,b=\,则c=7^^=3,故点F(一3,0),

所以，抛物线G的方程为V=-12x,抛物线C2的准线为2：x=3,如下图所示:

过点Q作。3中，垂足为点3,由抛物线的定义可得|QF|=|Q百，

所以，iQN+lQFRQH+lQBl，当且仅当AB，/时，|Q4|+|QB］取最小值为3+5=8.

故选：D.

9.平面向量a，8满足汽=3%，且卜-陷=4,则a与〃一人夹角的正弦值的最大值为（）

1112

C--

A.4-B.3-2D.3

【答案】B

【详解】如图所示：设a=OA，b=OB，则a-6=BA，设忖="?,k|=3"，1</??<2,

2

曲+喇-雨9m2+16-zn2_/w2〉？T2V2

cosZOAB=J­!~!—!!_L=

2网.网24m33m

当竺=二2，即相=&时等号成立，故NOABE（）,弓,

33m\；

当cosNQAB最小时，sin/OAB最大,

故〃与“_/,夹角的正弦值的最大值为

故选：B

10.如图，在圆柱。。1中，A3为底面直径，E是A8的中点，。是母线8C的中点，M是上底面上的动点,

则点M的轨迹长度为（）

「5不

A.|B."Vx.-----D.4

4

【答案】c

【详解】连接0E,作ONJL4）,交CF于点、N,

E是AB的中点，・•.OELAB，

8c_L平面OEu平面ABE,:.BC±OE,

.ABcBC=B,4氏8(70平面48(7/，

.•.0丘_1平面43(7/，又AOu平面ABCF,

:.OE±AD,又ONLAD,OEON=O,OE,ONu平面ONE,

.•.AD_L平面。N£,

设平面ONE与上底面交于PQ,ME_LA£),..•点M的轨迹为PQ；

43=4,BC=3,。是母线BC中点，

tan/.BAD=tanZO.ON^-^-,

1AB8

9

O、N=Oq•tan乙O0N=

8

故选：C.

第n卷

二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分.

11.函数y=1g片的定义域是______.

2-x

【答案】（-1,2）

I1

【详解】由题意得r告＞0，即（x+l）（2-x）＞0,解得—1＜X＜2,

故定义域是（-1,2）.

故答案为：（-1,2）

12.（l-x）4（l+2»的展开式中孙z的系数为（用数字作答）.

【答案】-48

［详解】dPa+2y甘的展开式中［的系数，是（1—）4的展开式中x的系数与（1+2y＞的展开式中」的系

数之积，

即C〉(T)xC；"=_48.

故答案为：-48

13.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班

出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为提；*,而他自驾，坐公交

车，骑共享单车迟到的概率分别为富],结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是

【答案】?

【详解】法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件8表示“坐公交车”，

事件C表示“骑共享单车”，事件£>“表示迟到”，

则尸(A)=尸(B)=P©=1P(D|A)=1P(D|B)=ip(D|C)=:；

3456

P(D)=P(A)P(£>|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=-x|1+1+1|,

31456J

小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是

£1

尸⑷尸(£>|A)」5

P(D)P(D)lyfl,1H37'

3(45

]_

法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率P=]:1=捺,

-+-+-37

456

故答案为：石.

14.对于三次函数〃力=加+加+B+d(awO),给出定义:设尸(x)是函数/(X)的导数,一"(X)是/'(X)

的导数，若方程.广(同=0有实数解%,则称点&,/(七))为函数>=/")的“拐点”.经过探究发现：任何一

个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数

/("=#+3公卷，则“X)的拐点为，

心]+/㈡+心)++f弗=

(2023)12023)I2023)I2023)----------

【答案】2022

【详解】/(X)=1X3-4*1X2+3X-^,故r(x)=x?-x+3,r(x)=2x-l,

令"（x）=0,解得：x=；,而=1

故函数〃x）的对称中心坐标是（；，1）:

由于函数/⑴的对称中心为则函数图像上的点（xj（x））关于（别的对称点（1--⑼也在函数

图像上，即/(lr)=2_f(无).

.-./(l-x)+/(x)=2.

・••d-M+QL㈡++/笆]=

U023；U023JU023J<2023)

f[^^\+/f—>|+…+/f-

2|_(2023J(2023)1.2023J1k2023J2023)(2023〃

=1(2x2022)

=2022.

；」），2022.

故答案为:

15.如图，某市一学校V位于该市火车站。北偏东45。方向，且O”=4及km,已知OM，ON是经过火车站。的

两条互相垂直的笔直公路,CE,。尸及圆弧C。都是学校道路，其中CE〃。时尸〃ON,以学校”为圆心，半径

为2km的四分之一圆弧分别与CE,DF相切于点C,。.当地政府欲投资开发AOB区域发展经济，其中A,8分

别在公路OM,ON上，且AB与圆弧C。相切，设NOAB=0,AOB的面积为5km2.

（1）求S关于6的函数解析式：.

（2）当夕=时，AOB面积S为最小，政府投资最低?

[2(sm^+cos^)-1]2q(八兀71

【答案】--------------------------,C7G0,—

sin0cosI24

【详解】解：（1）以点。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则”（4,4）,在RtAABO中，设48=/,又

Z.OAB=。,故OA—Icos0,OB—/sin0.

所以直线A8的方程为氤+焉5即xsW-0.

因为直线A8与圆H相切,

“14sin0+4cos0-1sin^cos0\.

所以一府E7—=2.(*)

因为点H在直线AB的上方，

所以4sin8+4cos，一/sin0cos3>0.

所以(*)式可化为4sin。+4cos0-1sinOcos0=2,解得/=

sin。cosg

,fl〜4(sine+cos6)-2八八4(sin0+cos^)-2

M以QA=-----------------------.OB=------------------------.

sin0cos0

所以一AOB面积为S=：OA•08=2•生堂詈^二上，夕©[°谭]

2sincosv2)

#2I7/_

(2)令，=2(sin0+cos6)—1,则sin6cos0-------------

8

=2(sin6>+cos6>)-l=272sinl6>+--lG(1,272-1],

所以f2+2/—33,2,/G(l,2>/2—1].

------------------------------yn-------r1

8rt

令机=；e+1」)g(=)=-3疗+2加+1=-3(m一g)+：,所以g⑺在21+1,]上单调递减.

所以，当m=拽土！■，即。=J时,g(m)取得最大值,S取最小值.

74

7T

所以当。=:时，:AOB面积S为最小，政府投资最低.

4

【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

6如图'在锐角"C中,8=5AB=3娓,AC=6,点。在8C边的延长线上，KCZ>=10.

BCD

⑴求/ACS；

(2)求ACO的周长.

【详解】（1）在，ABC中，B=~,AB=3指,AC=6,

4

由正弦定理可得.等，故./AB-sinB3舟不网,

sinZACBsin8sin/ACB=————=———^=—

AC62

因为ABC是锐角二:角形，所以NACB.

7TZTT

（2）由（1）得NAC8=§,所以NACD=可.

在,AC£>中，AC=6,CD=\O,NAC£>=T，

所以AD=〃C2+C》—2AC.C£).COSZACD=^62+102-2X6X10x^-lj=14.

所以AC£＞的周长为6+10+14=30.

17.在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资

源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统

计学生每天的学习时间，将样本数据分成口,4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8]五组，并整理得到如下频率

(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时

以上的学生人数；

(2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记

从甲班抽到的学生人数为X,求X的分布列和数学期望；

(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为R,2,试比较R与2的大小.(只需写出结论)

【详解】(1)由甲班的统计数据知：甲班学生每天学习时间在5小时以上的频率为0.5+0.25+0.05=0.8,

由此估计高三年级学生每天学习时间达到5小时以上的频率为0.8,人数为600x0.8=480人，

所以估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数480.

(2)依题意，甲班自主学习时长不足4小时的人数为：40x005=2人，

乙班自主学习时长不足4小时的人数为：40x0.1=4人,

X的可能值为:0,1,2,

C3Ic'C23C2clI

PU=0)=-i=-,P(x=l)=-^=-,P(X=2)=M=£,

所以X的分布列为:

X012

3

P

555

13i

X的数学期望为E(X)=0X：+1X]+2X：=1.

(3)甲班学生每天学习时间的平均数为吊=0.05x3.5+0.15x4.5+0.5x5.5+0.25x6.5+0.05x7.5=5.6,

甲班学生每天学习时间的方差为R=0.05x2.12+0.15x1.12+0.5X0.12+0.25x0.92+0.05xl.92=0.815,

乙班学生每天学习时间的平均数为兀=0.1x3.5+0.15x4.5+0.3*5.5+0.25x6.5+0.2*7.5=5.8,

甲班学生每天学习时间的方差为〃=().1x2了+().15x1.3?+0.3x0.32+0.25x().72+0.2xl.72=1.505,

所以。＜。2.

18.如图所示，已知三棱台ABC-AAG中，ABt1BB{,CBt1BB],ZABB]=Z.CBBX=60°,ABIBC,

阴=1.

⑴求二面角A-C的余弦值：

⑵设E、F分别是棱AC、AG的中点，若放/平面ABC,求棱台ABC-ABg的体积.

【详解】（1）因为CBJBB,,所以二面角A-84-C的平面角为NAB。.

因为=6（）。，BBt=1,所以44=<74=6，AB=CB=2.

因为AB工3C,所以AC=2j5.

因为AC?=AB；+CB；-2ABt-CBt-cosZAB.C,

所以cosNABQ=-；,故：面角A-B8「C余弦值为

（2）因为ABC-AB©是三棱台，所以直线AA、SB-CC,共点，设其交点为O,

因为£尸分别是棱4C、AG的中点，所以直线EF经过点O.

因为CBJBB、,ABtCq=与且u面布C,所以陷_L面阴C，

又E4u面A8,C,所以8g_LEg.

因为EB=6,BB、=1,所以NS8E=45。.

因为EFI平面ABC，£Bu平面ABC,所以EFJ_£B,

所以EF=8B「sinNE8B1=立，OE=EB=g，故尸为OE的中点.

2

三棱台ABC-44G的体积v=%一板-%-=(%-枷=(x：xOExS-c=¥•

ooJ1Z

19.如图，已知抛物线V=4)，，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切点作抛物线的切线/交x轴

于点8,过点B作垂直于/的直线r交抛物线于C,。两点，其中点C在第一象限，设/'与y轴交于点K.

(1)若点A的横坐标为2,求切线/的方程.

⑵连结0coK,AC,记△。/^△。/△^。的面积分别为岳同同，求今•仔

一1的最小值.

【详解】(1)根据题意，有42,1),且在A处的切线的斜率存在,

y=k(x—2)+\

设切线方程为y=Mx-2)+l,山/_分可得*2-4履+8々-4=0,

山A=16&2一32%+16=0解得女=1，故切线的方程为：x-y-l=O.

(2)设A(4f,4/)(f>0),同(1)可得/：2rx-y-4『=0,

进而B⑵,0),从而/':x+2方-2f=0,因此K(0,l).

设C(4m,4m2),£>(4〃,4〃2),由一°可得£+2彳_勿=0,

1

(4i=’9〃5=-“

故£叫1

4/nx4H=-4m+n=-----,

i2t

因此设自=，=-。显然门,贝”+:2=-吟/4

解得一+手

且由点到直线的距离公式邑=d(A,KC)|4r+2r4r-2t|

=4/+1

$2d(O,KC)-|0+2入0-2〃

因此今2-1=(4?+1)-1+^4f+1=(5+1)2--=2^+-+2]>8,

S?J2tsIsJ

其中S="?7i-1，等号当S=1H"=等时取得，因此所求最小值为8.

20.设函数/(x)=x2+or-lnx(aeR).

(1)若a=l,求函数y=〃x)的单调区间；

(2)若函数/(x)在区间(0,1］上是减函数，求实数a的取值范围；

(3)过坐标原点。作曲线y=/(x)的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.

【详解】(1)。=1时，/(x)=x2+x-lnx(x>0),

/"(r)=2x+］」=(2xT)(x+°a>0),

XX

•.•当xe(0,£|,J"(x)<0,/(x)为单调减函数.

当,盟x)>0,/(x)为单调增函数.

...“X)的单调减区间为(。，£),单调增区间为(g，+8；

(2)V/(x)=2x+a-l,“X)在区间(0,1]上是减函数,

二f'(x)40对任意xw(O,l］恒成立,

g|J2x+a--<0对任意xe(0川恒成立，

令g(x)=：-2x,则。“⑺厮，

因为函数丫=1，)，=-2》在(0』上都是减函数，

所以函数g(x)在(0/上单调递减，8(力疝“=g(i)=-1,

Cl«—1;

(3)设切点为M(rj(r))(f>0),

由题意得f'(x)=2x+a-g,

/'⑺=2f+a-；,

曲线在点切线方程为y-/⑺=/'(r)(x-。，

即y_(/+6-In/)=(2/+a」)(x_r).

又切线过原点，

0—厂—at+lnf=(2f+a—)(0—f),

整理得产+ln-l=O,

设"⑺=r+im-l(f>0),

则"⑺=2f+；>0。>0)恒成立，夕⑺在(0,+8)上单调递增，

又夕⑴=0，

夕⑴在(0,-8)上只有一个零点,即f=l,

•••切点的横坐标为1,

切线有且仅有一条，且切点的横坐标为1.

21.定义圈数列X：再,3，，x,(〃23)；X为一个非负整数数列，且规定K的下一项为记X0=X“，X“M=占，

这样々的相邻两项可以统一表示为%=123,…,〃(储的相邻两项为七,多，即乙,々；X,的相邻两项

为九，加).定义圈数列X做了一次P运算：选取一项々22,将圈数列X变为圈数列尸(X)：

%％，，X*T+1,X«-2,%+1，即将x*减2,相邻两项各加1,其余项不变.并记下标k输出了一次.记X进

行过i次尸运算后数列为X,：xti,x2i,,xnJ(规定X0=X)

⑴若X：4,0,0,直接写出一组可能的X「Xz，X3，X4；

⑵若进行q次尸运算后(4>0),有*=*,,此时下标人输出的总次数为4,记％直接写出一

组非负实数a,力，使得入4+1+夕〃1=应对任意左=1，2,3”..,〃，都成立，并证明见21；

⑶若X：n+\,0,0,...,0,证明：存在M,当正整数&>M