复变函数第3讲x

复变函数第3讲x汇报人：AA2024-01-26目录引言解析函数的性质柯西-黎曼方程复变函数的积分泰勒级数与洛朗级数留数与辐角原理01引言复习上节课内容010203解析函数的性质与判定初等复变函数的性质与图像柯西-黎曼方程及其物理意义复变函数的积分概念与性质解析函数与调和函数的关系柯西积分公式及其应用引入本节课主题02解析函数的性质如果函数$f(z)$在区域$D$内的每一点都可微，则称$f(z)$在$D$内解析。$f(z)$在区域$D$内可微$Leftrightarrowf(z)$在区域$D$内可导$Leftrightarrowf^{prime}(z)$在区域$D$内存在且连续。解析函数的定义解析函数的等价条件定义解析函数在其定义域内的每一点都具有局部性质，即在该点的邻域内可以用幂级数表示。局部性质唯一性定理最大模原理如果两个解析函数在区域$D$内的某个子区域内相等，则它们在$D$内恒等。解析函数在区域$D$内的模的最大值只能在边界上取到。解析函数的性质解析函数的充要条件柯西-黎曼条件函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在区域$D$内解析的充要条件是$u(x,y)$和$v(x,y)$在$D$内可微且满足柯西-黎曼方程组：$frac{partialu}{partialx}=frac{partialv}{partialy}$，$frac{partialu}{partialy}=-frac{partialv}{partialx}$。莫雷拉定理如果函数$f(z)$在区域$D$内连续，且对$D$内的任意简单闭曲线$C$，有$oint_{C}f(z)dz=0$，则$f(z)$在$D$内解析。03柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程的定义柯西-黎曼方程是复变函数中解析函数的必要条件，它表达了复变函数实部和虚部之间的偏导数关系。具体来说，如果函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，那么它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)必须满足柯西-黎曼方程组：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。柯西-黎曼方程是线性偏微分方程组，因此具有叠加性，即如果两个函数分别满足柯西-黎曼方程，那么它们的和也满足柯西-黎曼方程。柯西-黎曼方程在复变函数的解析性、可微性、连续性等方面有重要作用。例如，如果函数满足柯西-黎曼方程，那么它在定义域内解析，因此具有无穷阶导数。柯西-黎曼方程的性质柯西-黎曼方程在复变函数的积分计算中有重要应用，特别是在计算复变函数的线积分时，可以利用柯西-黎曼方程将线积分转化为面积分进行计算。柯西-黎曼方程还可以用于判断复变函数的解析性。例如，如果函数在某点处满足柯西-黎曼方程，那么它在该点处解析；反之，如果函数在某点处不解析，那么它在该点处一定不满足柯西-黎曼方程。此外，柯西-黎曼方程在物理学、工程学等领域也有广泛应用，例如在电磁学、流体力学等领域中用于描述物理量的复变函数表示及其性质。柯西-黎曼方程的应用04复变函数的积分010203路径无关性复变函数的积分与路径的选择无关，只与起点和终点有关。柯西定理如果函数在单连通域内解析，则沿该域内任意闭曲线的积分为零。柯西公式给出了复变函数在其解析域内任一点的积分值与该点的函数值及其导数之间的关系。复变函数积分的定义03积分估值定理给出了复变函数积分的估值方法，即积分的模小于等于函数模的积分。01线性性质复变函数的积分满足线性性质，即两个函数的和的积分等于各自积分的和。02积分区域的可加性如果积分区域可以划分为两个不相交的部分，则复变函数在这两个区域上的积分之和等于在整个区域上的积分。复变函数积分的性质参数化方法将复平面上的曲线参数化，将复变函数的积分转化为实变函数的定积分进行计算。柯西积分公式法利用柯西积分公式，将复变函数的积分转化为函数值或其导数的计算。留数定理法对于在有限个孤立奇点外解析的函数，可以利用留数定理计算其在包含这些奇点的闭曲线上的积分。复变函数积分的计算05泰勒级数与洛朗级数泰勒级数在复平面上的收敛性取决于函数$f(z)$的性质。如果函数在某区域内解析，则泰勒级数在该区域内收敛于函数。收敛性对于给定的函数和展开点，泰勒级数是唯一的。唯一性泰勒级数的定义与性质收敛性洛朗级数的收敛性同样取决于函数$f(z)$的性质。如果函数在环形区域内解析，则洛朗级数在该区域内收敛于函数。周期性洛朗级数展开的函数可能具有周期性，这是泰勒级数所不具备的性质。洛朗级数的定义与性质ABDC函数逼近泰勒级数和洛朗级数都可用于逼近复杂函数，简化函数的计算和分析过程。解析延拓通过泰勒级数和洛朗级数，可以将函数的定义域从一个区域解析延拓到另一个区域。求解微分方程泰勒级数和洛朗级数可用于求解某些类型的微分方程，特别是当微分方程的解难以用初等函数表示时。物理和工程应用在物理和工程领域，许多现象可以用复变函数描述。泰勒级数和洛朗级数提供了对这些现象进行数值分析和近似计算的工具。泰勒级数与洛朗级数的应用06留数与辐角原理定义：设函数$f(z)$在点$z_0$的某邻域内解析，但在$z_0$处不解析，则称$f(z)$在$z_0$处的留数为$text{Res}[f(z),z_0]$。性质若$f(z)$在$z_0$处可微，则$text{Res}[f(z),z_0]=0$。若$f(z)$在$z_0$处的洛朗展开式为$sum_{n=-infty}^{infty}a_n(z-z_0)^n$，则$text{Res}[f(z),z_0]=a_{-1}$。留数具有线性性质，即$text{Res}[alphaf(z)+betag(z),z_0]=alphatext{Res}[f(z),z_0]+betatext{Res}[g(z),z_0]$。0102030405留数的定义与性质定义：设函数$f(z)$在简单闭曲线$\Gamma$及其内部解析，且在$\Gamma$上不为零，则$f(z)$在$\Gamma$内部的零点个数（计重数）与极点个数（计重数）之差等于$\frac{1}{2\pi}\Delta{\Gamma}\argf(z)$，其中$\Delta{\Gamma}\argf(z)$表示$f(z)$沿$\Gamma$正向绕行一周时辐角的改变量。辐角原理的定义与性质性质若$f(z)$在$Gamma$内部没有零点和极点，则$Delta_{Gamma}argf(z)=0$。若$f(z)$在$Gamma$内部有零点或极点，则$Delta_{Gamma}argf(z)neq0$。辐角原理可以用来判断函数在给定区域内的零点或极点的个数。01020304辐角原理的定义与性质通过构造适当的复变函数，利用留数定理可以将某些实积分转化为复积分进行计算。计算实积分利用辐角原理可