圆-2021年初升高数学无忧衔接（苏教版2019）(解析版)

专题11圆

专题徐述

圆是初高中平面解析几何中非常重要的知识点。特别是圆与直线的位置关系，是研究的重点。主要是相离、

相切、相交，判断位置关系，核心是找到圆心与直线的距离。在解决问题的时候，要注意分析问题，找到

解题关键点，重点突破。

;锦程要求

《初中课程要求》1、了解圆的概念及基本性质；

2、了解并掌握点与圆的位置关系；

3、了解并掌握直线与圆的位置关系；

4、垂径定理。

《高中课程要求》1、掌握圆的标准方程和一般方程；

2、能通过计算判断直线与圆的位置关系；

3、能通过联立方程组解决一些问题。

知但精褂

高中知识储备：圆

1.直线与圆的位置关系：

①相交：圆与直线有两个交点,

圆心到直线的距离d<r.

②相切：圆与直线有一个交点,

圆心到直线的距离d=r.

③相离：圆与直线有零个交点,

圆心到直线的距离d>r.

2.垂径定理：如图，圆。与直线？1B相交，AB为弦,则过。作48的垂线平分弦。

3.点的轨迹：

利用动点到定点的距离为定长构成的图形为圆，圆心就是该定点，半径就是该定长。

该定理在解决动点轨迹问题上运用很多。

4.有关圆切线的几个定理：

①切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

③相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

④切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长

的比例中项.

⑤割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积

相等.

3_

一算的剧折

例题1.如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点D,过点D作。ELAC于点E.

(1)求证：DE是。。的切线.

(2)若AB=10,4)=5,求。E的长.

【答案】(1)见解析；(2)DE=—

2

【分析】

(1)要想证DE是团。的切线，只要连接。D,求证团。。£=90唧可.

(2)连接A。，先求8。=56，再利用△OECS/XAOC求DE的长.

【详解】

解：(1)连接QD，

OD=OB,

:.ZODB=ZB,

又AB=AC,

.•.ZC=ZB,

/ODB=NC,

又OE_LAC,

NEDC+ZC=90°.即ZEDC+ZODB=90°,

NODE=90。，即。E_LOD,

.•.DE是。。的切线，

(2)连接AO，得ADLBC.

SAB=AC,

，£＞是BC的中点,

回8D=CD,

在RtSABD中，

BD=>]AB2-AD2=V102-52=573，

0CD=BD=56AC=AB=10,

0DE1AC,ADLBC,

EBD£C=MDC=90°,

EBC+iaCD£=l3C+EIDAC=90°,

WCDE=SDAC,

•••△DECSAADC，

,DEDCDE5百

..---=---->即----=----,

ADAC510

【点睛】

本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆

心和这点（即为半径），再证垂直即可.

造式制法

1.如图，。。是AABC的外接圆，点。是BC的中点，过点D作£F〃8c分别交AB、AC的延长线于点

E和点F,连接A。、BD,NABC的平分线交AD于点M.

(1)求证：所是。。的切线；

(2)若AB：8E=5:2,=求线段DM的长.

【答案】(1)见详解；(2)2

【分析】

(1)连接。D,由垂径定理得。。回8C,从而得。00斤，进而即可得到结论；

(2)由平行线分线段定理得DN=-Ji?,再证明△BDNSAADB,可得8。=2,最后证明的WDWD8M,

7

进而即可求解.

【详解】

(1)证明：连接。D,如图，

回点。是的中点，

田BD=CD，

0ODE1BC,

0BO2EF,

团。DEIEF,

E1EF为自。的切线；

（2）设BC、AD交于点N,

E1AB:BE=5:2,AD=V141EFIIBC,

ANAB5

团--------=一,

DNBE2

aDW=-VL4,

7

团点。是BC的中点，

^BBAD=^CAD=SCBD,

又EE8DN=B4D8,

0ABDNSAADB,

DNBD-V142

0——=一，即nn：7_BD,

DBAD="/ry

DnDBV14

0BD=2,

团NABC的平分线8M交AZ）于点M,

^\ABM=SCBM,

^BABM+SBAD=&CBM+QCBD,即：^1BMD=^DBM,

团DM=BD=2.

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理相似三角形的判定和性质，平行线分线段定理，等腰三角形

的判定和性质，找出相似三角形，是解题的关键.

能力梃升

1.如图，已知AA6c中，AC=BC,以BC为直径的0。交A8于E,过点E作EG_LAC于G,交BC

的延长线于点

(1)求证：EE是。。的切线；

(2)若N尸=30°,求证：4FG?=FCFB;

(3)当BC=6,七户=4时，求AG的长.

24

【答案】(1)见解析；(2)见解析：(3)y

【分析】

(1)连接EC,OE.由5C为。。的直径，可得N3EC=9()°，由AC=BC,可得E为AB中点，由。

为5C中点，利用中位线性质可得。E0AC,由EG_LAC,可得OE_LEG即可；

(2)由OE=OC,可得NOEC=NOCE,山EF为圆的切线，可得N£EC+NQEC=90°,由

ZBEC=90°，可得N8+NBCE=90°,可证AFECS^FBE,可得FE2=FC-FB，当N尸=30。时,

可求NFOE=60°,可证△OEC为等边三角形，可得NFEC=30°=ZF,可证FE=2bG即可；

(3)由⑵得FE2=FCFB，可得42=FC(FC+6),解得FC=2或FC=-8舍去，可证AFCGsBOE,

可得—=±2,可求CG=—即可.

535

【详解】

解：(1)证明：连接EC,OE,

I3BC为。0的直径，

⑦ZBEC=90。,

1aCE±AB,

又回4C=BC，

团后为AB中点,

又回。为中点，

fflOEELAC,

又13EG_LAC,

回OELEG，

又OE为。。的半径,

回户£是。。的切线.

(2)0OE=OC,

0NOEC=NOCE,

EIEF为圆的切线，

0NFEC+ZOEC=90°,

0ZBEC=90°

0ZB+ZBC£=9O°,

S1NFEC=NB,

又回NF=NR，

0△FECsAFBE，

FEFC

0----=-----,

FBFE

=FCFB，

当NF=30。时，NFOE=60°,

又OE=OC,

团△OEC为等边三角形，

0ZOEC=60°,

SZFEC^30°=ZF,

QCE=CF,

又CGLFE,

国FE=2FG,

0(2FG)2=FCFB,

即4R;2=FC•尸B.

(3)由(2)得FE?=FCFB，

又BC=6,FE=4,FB=BC+FC=6+FC,

B142=FC-(FC+6),

因式分解得(FC+8)(FC-2)=0,

解得尸C=2或FC=-8舍去，

0BC-6，

0OE=OC=—BC=3,AC—BC=6,

2

0FO=FC+CO=2+3=5,

acGoof,

00GCF=0fOF,0FGC=0FEO,

0△FCgAFOE,

FCCG2CG

0——二------,即an一二

FOOE5

6

0CG=--，

5

624

0AG=AC-CG=6--=—.

55

【点睛】

本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，

等边三角形判定与性质，掌握圆的切线判断，宜径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角

形相似判定与性质，等边三角形判定与性质是解题关键.

对立晶在

1.如图，AB为圆。的直径，C、D两点均在圆上，其中ODE0C交AC于E点.若DE=1,BC=6,则AC=

()

A.3B.2X/6C.5D.2币

【答案】D

【分析】

根据垂径定理得到E是AC的中点，进而分析出0E是A48c的中位线，得到。E的长，然后在RtAOAE中

应用勾股定理求解AE的长后即可求得4C.

【详解】

0ODEMC,0D为圆。的半径，

配是AC的中点，

团。是AB的中点，

回。£是AABC的中位线，

0O£=-BC=3,

2

SOA=OD=OE+DE=3+1=4,

在RtAOAE中，AEZol-OE?=/4?一3?=々，

团AC=2AE=2V7:

故选D.

【点睛】

本题考查了垂径定理，三角形中位线的性质，以及勾股定理，关键是判断出0E和BC的数量关系.

3

2.如图，AB是O。的直径，BC是。。的切线，点8为切点，若AB=8,tanN6AC=；,则BC的

长为()

A

A.8B.7C.10D.6

【答案】D

【分析】

由题意易得ZABC=90°，然后根据三角函数可进行求解.

【详解】

解：08c是OO的切线，

13NABC=90°，

3

0AB=8,tanABAC--,

4

团BC=AB•tanNBAC-6：

故选D.

【点睛】

本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键.

3.如图，AB为。。的直径，AC为的弦，。是弧BC的中点，E是AC的中点.若CD=2后,AC=6,

则DE=()

【答案】A

【分析】

连接。C、8C、OE、BD,。£交。。于F,OD交BC于G,连接。E并延长交AC于点F，如图，先根据垂径

定理得到Or>A8C,OELAC,再计算出NDOR=90°,设。。的半径为r,则OG=r—3,利用勾股

定理得到r=5,然后利用勾股定理计算DE的长.

【详解】

解：连接oc、8C、BD,。。交8C于G,连接。E并延长交AC于点「，

回。是弧8c的中点，

00ABC,BD=CD=275.ZBOD=ZCOD,

团E是AC的中点，

0OE上AC.AF=CF>

⑦ZAOF=NCOF,

0Z£）OF=-xl8O°=9O°,

2

0OA=OB,BG=CG,

0OGHAC，OG=-AC=3,

2

设。。的半径为r,则£>G=r—3,

在RAOBG中,BG2=r2-32>

在RrADBG中，BG?=（2石?一（r-3『，

团/一9=（26『一（r—3『，

解得：彳=一2（舍去），为=5,

国00=5,

团3G=J5?—32=4,

易得四边形0GCE为矩形，

0OE=CG=BG=4,

在必ADOE中，DE=742+52=741•

故选：A.

【点

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.也考查了垂径定理.

4.引理：在△A6C中，若。为BC的中点，则AB?+AC?=24）2+282.（中线长公式，不用证明,

可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形ABCO中，AB=6,BC=8,点P在以BC

为直径的半圆上运动，则PA2+PD2的最小值是（）

A.2碗B.38C.40D.68

【答案】C

【分析】

如图，设AD中点为E,半圆圆心为。，连接。E,交半圆于P,此时PE取最小值,根据矩形的性质可得CD=AB=OE,

AD=BC,根据中线长公式可得aV+po2=2PE2+2AE2,可得PE最短时尸发十打下取最小值，根据线段的和

差关系可求出PE的长，即可得答案.

【详解】

如图，设4。中点为E,半圆圆心为。，连接。E,交半圆于P,此时PE取最小值，

田四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8,

EL4£=DE=4,OB=OC=OP=4,

E）CD=AB=OE=6,AD=BC=8,

13PE=2,

0点E为AD中点，

aPA2+PD2=2PE2+2AE2,

0Pfic4.PD2的最小值为2P£2+〃£2=2X22+2X42=40,

故选：c.

【点睛】

本题考查矩形的性质、点与圆的位置关系及中线长公式，根据点与圆的位置关系得出PE的最小值是解题关

键.

5.如图，在AA8C中，AB=1(),AC=8,BC=6,以边AB的中点。为圆心，作半圆与4c相切，

点P,。分别是边和半圆上的动点，连接PQ,则长的最大值与最小值的和是()

A.6B.2V13+1C.—D.9

3

【答案】D

【分析】

如图，设回。与AC相切于点E,连接。E,作。P10BC垂足为P1交回。于Q],此时垂线段。P1最短，P1Q1最小

值为。Pi-OQi,如图当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2最大值=5+3=8,由此即可求解.

【详解】

解：如解图，设O。与AC相切于点E，连接0E,则

c

作O6_L8C垂足为点,交。。于点此时垂线段。4最短，

当。、Qi,Pi三点不共线时，构成自OQPi,

由三角形两边之差小于第三边可知，当。、Qi、Pi三点不共线时，

PQ有最小值为6。，且《。=。々—0Qt,

13AB=10,AC=8,BC=6,

^AB2=AC2+BC2<

0ZC=9O°.

回O[//AC,OE//BC,

00为斜边48上的中点，

0OPi和OE均为EM8C的中位线，

0AO=OB=—AB=5,

2

⑦耳C=RB=OE=gBC=3,

团O[=gAC=4,

团用2最小值为。6-。。=1,

当。2在A3边上，鸟与8重合时，62最大值为OQ+06=3+5=8,

团PQ长的最大值与最小值的和是9,

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，三角形两边之差小于第三边求最值，解题的关键是正确找到点PQ取得最大

值、最小值时的位置.

6.如图，回0的半径为4cm,BC是直径，若AB=10cm,则AC=cm时，AC是回。的切线.

【分析】

根据切线的判定定理当回8cA=90。时,AC是回。的切线，然后根据勾股定理计算AC.

【详解】

000的半径为4cm,

0BC=8cm,

团8(?是直径，

EG8cA=90°时,AC是回。的切线，

团AC=y/AB2-BC2=7102-82=6cm-

故答案为6.

【点睛】

本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的性质为圆的切线.也考查了勾股定理.

7.如图，AB是。。的直径，Q4切。。于点A,线段PO交。。于点C.若NP=30。,A3=4,则

弧BC的长为.

A

4

【答案】二兀

【分析】

求得半径和圆心角的度数，即可求得弧BC的长.

【详解】

解：回E4切。。于点A

团"40=90°

又回NP=30°

I2NAOP=60°

0ZBOC=120°

0AB=4

回。8=2

120乃x24万

团弧8C的长=

180T

4

故答案为一万.

3

【点睛】

此题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键.

8.如图，从点P引团。的切线以，PB,切点分别为A,B,DE切回。于C,交外，PB于D,E.若回PDE的

周长为20cm,则PA=cm.

【答案】10

【分析】

由于外、PB、DE都是团。的切线，可根据切线长定理将那。E的周长转化为切线力、P8的长.

【详解】

解：回外、PB、DE分别切团。于A、8、C,

SPA=PB,DA=DC,EC=EB；

^CaPDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=20(cm)^

^PA=PB=10(cm),

故答案为10.

【点睛】

本题主要考查了切线长定理，能够发现*DE的周长和切线以、PB长的关系是解答此题的关键.

9.在平面直角坐标系X。），中，以。为圆心，2个单位长度为半径画圆.若一次函数丁=依+5斤（k为常

数，ZHO）的图像与。。有公共点，则k的取值范围是.

【答案】一封红4%4名旦目

2121

【分析】

根据题意，首先得出一次函数必过定点（-5,0）,则直线绕点（-5,0）旋转，与。。有公共点，即找出两个

相切的极限位置，求出对应的k值，k在两个极限位置k值之间.

【详解】

13一次函数解析式为：>=依+5%=攵（％+5）（k为常数，攵。0）,

团当x=—5时，y=0，即一次函数必过定点（一5,0）,

设・•次函数y=丘+5左与x轴和y轴分别交于点A,B,

当直线A8与。。相切时，切点为M,有两种情况，如图所示：

①当直线与y轴交于正半轴时，连接。M,

回直线A8与。。相切，

aOMELAB,

WAMO=90°,

在RtQAMO中，

AM=yjAO2-OM2=V52-22=向,

0tan?OAM

AM~41\

在丹皿80中,

BO_BO_2

tan?BAO

~A0~~T~后

解得：小噂,

即8点坐标为（0,生也I）,

代入一次函数解析式y=依+5&,

2721

解得女=

21

②当直线与y轴交于负半轴时，同理可得:

8点坐标为（0,-3巨），

代入一次函数解析式丁=丘+53

2V2T

解得k--

21

「2V2T,2V2T口,„

团一一-一<k<——■且攵工0,

2121

25/21,2721口,„

故填:一一--<k<——且左。0.

2121

【点睛】

本题考查宜线与圆的位置关系，一次函数的性质，勾股定理及解宜角三角形，解题关键是熟练掌握直线与

圆的位置关系，将几何关系转化为代数关系.

10.如图，在RAABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=2,以C为圆心，r为半径作圆.若该圆与线段AB

只有一个交点，则厂的取值范围为一.

A'-----------------------

【答案】r=百或2<rW26

【分析】

先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出8C,即可得出答案.

【详解】

解：过C作于0,

在Rt^BCA中，

EBAC8=90°,AC=2,回8=30°,

S48=4,

0BC=7AB2-AC2=V42-22=273，

根据三角形的面积公式得：AB»CD^AC»BC,

ACBC2x2^3_r-

■-।CD=--------=--------=75,

AB4

当圆与时AB相切El寸，r=y/j,

当点A在圆内，点8在圆外或圆上时，r的范围是2<rS2百，

综上所述：r的取值范围是r=6或2V金百，

故答案为：4百或2VN26.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的

关键，用了分类讨论思想.

11.如图，。。的弦A3、CD相交于点P,且AB=C£).求证PB=PD.

A

&

【答案】证明见解析；

【分析】

要证P8=P。，可连接8D,需证回〃=08,根据已知条件，只需证&=&）即可.

【详解】

证明：连接8D.

AB=CD,

:.AB=CD.

：.AB-AC^CD-AC.

即&=启

；.ZD=NB.

：.PB=PD.

【点睛】

本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的定理及推论、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识点,

熟知上述定理及推论是解题的基础，而善于发现问题、掌握分析问题的方法是解题的关键.

12.如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点,且NC4E=N3,。。经过点A、C、E.

（1）求证AC=AE；

（2）求证AB与。。相切.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据菱形的选择得到44=DC,ND=ZB，AB//CD,求得ND=NC4E,推出NACD=NA£C,

于是得到结论；

（2）连接OA,0C，根据己知条件得至!4c=NOC4=g（180°-2NAEC）=90°-NAEC,根据平行线的性

质得到NACO=NB4C，根据切线的判定定理即可得到结论.

【详解】

证明：（1）•.•四边形ABC。是菱形，

:.DA=DC,ZD=ZB，AB//CD,

ZACD=ACAD=ZCAE+ZDAE,

•.•ND=ZB，ZCAE=ZB,

:.ZD=ZCAE,

-.■ZAEC=ZD+ZDAE,

:.ZACD=ZAEC,

AC=AE：

(2)连接OA,OC,

-OA=OC,ZAOC=2ZAEC，

ZOAC=NOCA=q(1800-2ZAEC)=90°-ZAEC,

•;AB//CD，

:.ZACD=ZBAC,

-.■ZACD=ZAEC,

:.ZBAC=ZAEC,

:.ZBAC+ZOAC=90°,

又•••点A在。。上，

.♦.A5与。O相切.

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.

13.如图，AB是半圆。的直径，过点。作弦AD的垂线交AD于/W,且交切线4C于点C,OC与半圆。交

于点E,连结BE,DE.

(1)求证：SBED=SC；

(2)若0A=5,AD=8,求MC的长.

【分析】

(1)由切线的性质得01+回2=90°；山同角的余角相等得回C=I32,由圆周角定理知I3BED=EI2,故回8£。=配.

(2)由直径所对的圆周角是直角，利用勾股定理求出8。，再根据三角形相似，求出。C和。M,再求MC

即可.

【详解】

(1)是圆。的切线,

EMB12WC,口［1131+132=90°,

又OCOOAD,

a0H-0c=9oo,

00C=02,

Kij0BFD=02,

EBBED=EIC；

(2)连接BD,

M8是圆。的直径，OA=5,

00AD6=9O°,48=10,

BD=ylAB2-AD2=V102-82=6.

又回CO04D,且。M过圆心，

ELAM=DM,

004=08,

,,口

0OM//BD,且。"=万18。=3,

00C=E2,

,OABDi56

团sinC=sin团2,即n---=----,也即----=一,

OCABOC10

/.MC=OC-OM=--3^—.

33

【点睛】

本题主要考查利用圆的直径的性质、切线的性质、三角形相似等知识，关键是圆的有关性质的应用.

14.如图，BD是四边形ABCD的对角线，BDSflD,回。是MBD的外接圆，0BDC=I3B4D.

(1)求证：C。是12。的切线

(2)连接0C交团。于点&若A0=2,CD=6,cos0BDC=-,求CE的长.

3

【分析】

(1)连接。D,根据等腰三角形的性质得到自ODB=(aOBD,由垂直的定义得到0ADB=9O。，确定蜘8。+蜘=90。,

等量代换得到回。DB+MDC=90。，求得。比8,根据切线的定义即可得到结论;

(2)根据切线的性质得到回CDO=90。，根据余角的性质得到回COD=I28DC,解直角三角形即可得到结论.

【详解】

E10ODB=aOBD,

0BDGLAD,

的AD8=90°,

的A8D+M=90°,

回回8DC二团84D,

WODB+^BDC=90°f

IZJOD0CD,

色CD是团。的切线；

(2)团CD是团。的切线，

团团CD。=90°,

1

团COS08OC二一,®8OC=囱MD.

3

LcAO1

^\co^\BAD------=-1

AB3

加。:2,

MB=6,

国OD=OE=3,

团8