浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案：第七章数理统计习题-偶数答案

注意：这是第一稿（存在一些错误）

第七章数理统计习题—偶数.doc

4解：矩估计：

从=0-9+"+2・（1—9—4）=2-26—X,

222

V2=（2-20-A）0+（20+A-1）A+（20+A）（l-0-A）,

A=1,

2-20-A=l,

2-20-A0+（20+A-l）-2+（2^+2）'（

解得f’为所求矩估计。

人3

0=-.

8

极大似然估计：

L（^,2）=P{X1=X4=X5=0,X2=X6=X8=2,X3=X7=l}=外储°一。一见了,

Z（^A）=lnL（^,A）=31n^+21n/l+31n（l-^-A）,

玳。㈤=33=。匚3

de~~e~\-e-C，o=~,

'3/（仇力23解得,即为所求。

-------=-----------=0.11

SA4[%=了

6解：（l）EX=J；x（e+l）x‘公,

由，+1=x得。=?x=!为Q的矩估计量。

（8+1）"九二0<x<1,

L（6>,2）=Fl/（x,,6>）=

/=1

其他。

0,其他。

所以。的极大似然估计为-/——lo

Elnx.

i=l

1-2-

（2）EX=joxf（x,0）dx=e,令e?=又得。=21n因为。的矩估计量。

£（1呻）2

n1__izl______

叱）叩仆）=——e励

*（2修/n七

/=1

〃Z（lnxJ2

/（a/l）=lnL（，,/l）=—2ln（2M）—£lnx,—-------

2；i2

=。

t(ln垃

令幽_工

i=l=0得。=_L£(lnx,)2为。的极大似然估计。

doie202〃i=\

⑶EX=J：V（x,。）公=20

6>+l

令里=又得力=上为。的矩估计量。

0+12-X

ne

L（e）=fi/（xi，e）=«e''TX\x^,0<x<2,

i=]

0,其他。

，/〃Inein2+（0<x<2,

/⑹八、=ln"/8）、=。一〃I。一V”

^0,其他。

3/（。）n£人n

令=万一"In2+ZIn西=°得，8=--------------为Q的极大似然估计。

93°'=',ln2-Xlnx,.

i=l

(4)EX=J：xf(x,0)djc=当产，令1。：+。=又得0=2又—100为。的矩估计量。

]

“6)=叱⑻,因0<6<100,要使1(。)最大，则。应取最大。

(100-6)"

又。不能大于min｛冷…,玉｝,故。的极大似然估计为3=而"％,…,X,,｝

(5)EX=公=0,故又=0。

varX=EX2=202,

222

由20=-Y(Xi-X]=-YXi^6>>0得

〃,=1〃,=1

6=\区——为6的矩估计量。

V2〃

为刈

n]--i=J

"6)=口/(尤,,8)=诉e°,-8<》<8,

1=1C7Z

0,其他。

则

]e

/、，、-nln2—nln^---Vlxl,-oo<x<oo,

/(e)=ln“，)={"

0,其他。

令缪=一3+号「=0得4=_1之冈为6的极大似然估计。

o030n.=]

8(1)〃=〃)2=，£E(Xj-〃)2=L力(EX：—2〃EX,+〃2)=b2

〃i=\几i=\ni=\

222

⑵4应(X’T-Xj=k±E(XM-Xi)=k±(EX^-2EXMEXi+EXi)=2(n-1)ka

Lz=lJi=l；=1

则2(〃-1)即为所求。

10(1)依题，Xj匕与Z/相互独立，ET=aES；+hES；+cES1=(«+/?+c)o-2

故7是4的无偏估计的充要条件为a+Z?+c=l

（2）记”个样本的方差为S2,则（〃-？S一力2D（S2\^_

2424

故。⑻）=2",D（S2）=cr,D（S3）=|CT

（}2c2、

^DT=a2DS-+trDS}+c2DS1=a2+—+—2a4

<23,

’2

要使T为最有效估计，只须使/+幺+幺在。+6+。=1的条件下取最小值即可。

23

.L=a2一丸(Q+〃+C—1)

令23

"

-0

9

一1

加2«

"M1=a

由

-得

一=0

二■，即为所求。

加o

以2C

3一3

一

一

一91

g=1.c=­.

aac+2

12/（%,^）=<029。-*<a，8>0,

、0,其他。

左=匚84（乂6）公=彳26故°=°&又为。的矩估计量，且为无偏估计。

J2

2〃〃

L⑻=立〃菁,。）=炉口4O<x<0,

I[0,其他。

显然关于。单调递减。故。取最小值时L（e）最大。

又。不小于max{X,,},故用=X（“）=max{X”…,X,,}为。的极大似然估计。

2n

D/八、号X，0<x<0,

又"（"）=俨，

0,其他。

2„,2〃八

xdx———~0

2〃+1

即E02=EX..=3-。故。为e的有偏估计。

I，2几+1

n_Z(X「〃)

14(l)L(/z)=n/(x,.,//)=e,

/=1

〃

/(〃)=In£(//)=-ZXj+〃〃，

/=!

/（〃）为〃的单调递增函数，故〃取最大值时/（〃）取最大值。

又"不大于min{X],…,X,,},故〃=X（。=min{X[,…,X”}为〃的极大似然估计。

因P（x,〃）=力=1一e-g"）

nen（x-p\X>A

易知了防（%,〃）=,

0,其他。

匚次”（知〃）公=〃+1,即”是〃的有偏估计。

所以Ea=EX⑴

是〃的无偏估计。

n

⑵EX=Vxe^x~^dx=〃+1，则。2=又-1是〃的矩估计量且为无偏估计。

⑶叫）=。卜-£|21

=D(4)=EXEX,

〉((1)=7

。（衣2）=。（又一1）=。（又）=，>。（0；），故年比也更有效。

（4）由切比雪夫不等式知,Ve>0,P{|*；_“<£}

82n2s2

喉-“＜小1-半^=1-*-

故篇与自为〃的相合估计。

I6（I）EX=「X与公="，故又为e的矩估计量，且为无偏估计。

Jo0-32

、2

以=硕2-（因2=於21e-

I318

7

»9-932

D0.=-DX=—DX=—

144〃8〃

故尸｛欠_4<+1一。⑻=1-最71,故@为e的相合估计。

2

£

n2"n

1=1(7/=1

易知为。的单调递减函数，故e取最小值时，取最大值。

又。不小于max｛X，...,Xj,故2=々〃)=11^｛屈,・・・这“｝为夕的极大似然估计。

2n

什，

友(无力)=声O<x<0,

0,其他。

2n

故ER=EX(“)e,故a为。的有偏估计。

2〃+1

2nd2

DODX⑺叫)2-(喀(«)

2(〃++

D1-------^^田

所以川>1——

£2(〃+1)(2〃+1)S1

故a为。的相合估计。

18(1)因Fx“f(x)=P{X⑴-〃<x}=P{X(1)<〃+x}=l-e-小与参数"无关，故可

取x(“-〃为关于〃的区间估计问题的枢轴量。

⑵设常数”8,满足P｛"X(D-〃<4=1-£

,§PP[Xm-b<ju<Xm-a=l-a

此时，区间的平均长度为L=匕—a,易知，取a=-」1ln(l-4a],b=—Ln4时,

n2n2

区间的长度最短，从而〃的置信水平为1-。的置信区间为

x+lnx+ln1-、

(i)-?，(i)-[?a

nZn\Z27

20易知M的置信水平为95%的置信区间为X-^z00O5,X+^z0025

kJ"yJnJ

将ZO.025=L96,cr=10,n=25，又=140代入得

〃的置信水平为95%的置信区间为(136.08,143.92)。

22人的置信水平为99%的置信区间为(上二^,上二?二

(%。,005(〃一1)%。.095(〃一1”

将〃=16,5=2.2,总0a5(⑸及总血5(⑸的值代人得

<T2的置信水平为99%的置信区间为(2.213,15.779)。

2

24已知4=12,又=13.8,S,=1.2,4=15，7=12.9,S2=1.5,ct=tr；

(1)4-〃，的置信水平为95%的置信区间为(N-P±foo25(勺+n2