2024届江西省南昌市第八中学、第二十三中学、第十三中学高二数学第二学期期末检测试题含解析

2024届江西省南昌市第八中学、第二十三中学、第十三中学高二数学第二学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数A． B．2 C．3 D．2或2．的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中项的系数为（）A．2 B．8 C． D．-173．已知一个等比数列，这个数列，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A．9 B．10 C．11 D．124．已知定义域为的函数满足‘’，当时，单调递减，如果且，则的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何实数C．恒大于0 D．恒小于05．如图过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于A、B、C、D，则A．4 B．2 C．1 D．6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（）附：若X∼N(μ,σ2)，则PA．1193 B．1359 C．2718 D．34137．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（）．A． B． C． D．8．下列说法正确的是（）A．若为真命题，则为真命题B．命题“若，则”的否命题是真命题C．命题“函数的值域是”的逆否命题是真命题D．命题“，关于的不等式有解”，则为“，关于的不等式无解”9．如图是某陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（）A． B．C． D．10．从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（）A． B． C． D．11．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．312．某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力识图能力由表中数据，求得线性回归方程为，,若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为()A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.14．数列{an}满足，若{an}单调递增，则首项a1的范围是_____．15．设，且，则的最大值为_______.16．过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点，若，且该椭圆的离心率，则的取值范围为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知椭圆与椭圆的离心率相同．（1）求的值；（2）过椭圆的左顶点作直线，交椭圆于另一点，交椭圆于两点（点在之间）．①求面积的最大值（为坐标原点）；②设的中点为，椭圆的右顶点为，直线与直线的交点为，试探究点是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．18．（12分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60),[90,100]的数据).1）求样本容量和频率分布直方图中的2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在[80,90)内的株数,求随机变量的分布列及数学期望.19．（12分）如图，已知点是椭圆上的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率都存在．（1）若直线过原点，求证：为定值；（2）若直线不过原点，且，试探究是否为定值．20．（12分）对于给定的常数,设随机变量.（1）求概率.①说明它是二项式展开式中的第几项；②若,化简：；（2）设，求，其中为随机变量的数学期望.21．（12分）已知函数.证明：；已知，证明：.22．（10分）设等差数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为，并求使得取得最大值的序号的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可．【题目详解】函数是幂函数，，解得：或，时，，其图象与两坐标轴有交点不合题意，时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故，故选A．【题目点拨】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题．2、D【解题分析】

令得各项系数和，可求得，再由二项式定理求得的系数，注意多项式乘法法则的应用．【题目详解】令，可得，，在的展开式中的系数为：．故选D．【题目点拨】本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令可得展开式中所有项的系数和，再令可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．3、B【解题分析】

根据等比数列性质列式求解【题目详解】选B.【题目点拨】本题考查利用等比数列性质求值，考查基本分析求解能力，属基础题.4、D【解题分析】

由且，不妨设，，则，因为当时，单调递减，所以，又函数满足，所以，所以，即.故选：D.5、C【解题分析】

根据抛物线的几何意义转化，，再通过直线过焦点可知，即可得到答案.【题目详解】抛物线焦点为，,,，于是，故选C.【题目点拨】本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力.6、B【解题分析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积S=0.9545-0.6827则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7、C【解题分析】试题分析：依题意有，解得，所以.考点：等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．8、C【解题分析】

采用命题的基本判断法进行判断，条件能推出结论为真，推不出为假【题目详解】A.若为真命题，则中有一个为真命题即可满足，但推不出为真命题，A错B.命题“若，则”的否命题是：“若，则”，当时，不满足，B错C.原命题与逆否命题真假性相同，的取值大于零，所以值域为，C为真命题D.命题“，关于的不等式有解”，则为“，关于的不等式无解”，D错答案选C【题目点拨】四种常见命题需要熟悉基本改写方式，原命题与逆否命题为真，逆命题与否命题为真，原命题与逆命题或否命题真假性无法判断，需改写之后再进行判断，命题的否定为只否定结论，全称改存在，存在改全称9、C【解题分析】

几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，代入体积公式计算即可.【题目详解】解：几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，

其中圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为1，高为1，所以几何体的体积.

故选：C.【题目点拨】本题考查了常见几何体的三视图与体积的计算，属于基础题.10、D【解题分析】

从、、中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果.【题目详解】由排列数的定义可知，从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为.故选：D.【题目点拨】本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.11、D【解题分析】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案选D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．12、B【解题分析】试题分析：当时考点：回归方程二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】设时的概率为，则，解得，故考点：方差.14、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解题分析】

先表示出，结合{an}单调递增可求首项a1的范围.【题目详解】因为，所以，解得或，则有或由于，所以或解得或，故答案为：.【题目点拨】本题主要考查数列的单调性，数列的单调性一般通过相邻两项差的符号来确定，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.15、25.【解题分析】分析：由题意结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.详解：由均值不等式的结论有：，即：，当且仅当时等号成立.据此可知：的最大值为25.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16、【解题分析】设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是正方形，∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，∵∠BAF=θ，∴AF=2c•cos，BF=2c•sin，∴2csin+2ccos=2a，∵该椭圆的离心率，∴∵θ∈[0，π），∴的取值范围为．点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质．有关椭圆的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,解决椭圆离心率的相关问题的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）①；②点在定直线上【解题分析】

（1）利用两个椭圆离心率相同可构造出方程，解方程求得结果；（2）①当与轴重合时，可知不符合题意，则可设直线的方程：且；设，，联立直线与椭圆方程可求得，则可将所求面积表示为：，利用换元的方式将问题转化为二次函数的最值的求解，从而求得所求的最大值；②利用中点坐标公式求得，则可得直线的方程；联立直线与椭圆方程，从而可求解出点坐标，进而得到直线方程，与直线联立解得坐标，从而可得定直线.【题目详解】(1)由椭圆方程知：，离心率：又椭圆中，，，又，解得：（2）①当直线与轴重合时，三点共线，不符合题意故设直线的方程为：且设，由（1）知椭圆的方程为：联立方程消去得：即：解得：，，又令，此时面积的最大值为：②由①知：直线的斜率：则直线的方程为：联立方程消去得：，解得：则直线的方程为：联立直线和的方程，解得：点在定直线上运动【题目点拨】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的三角形面积最值的求解、椭圆中的定直线问题；解决定直线问题的关键是能够通过已知条件求得所求点坐标中的定值，从而确定定直线；本题计算量较大，对于学生的运算与求解能力有较高的要求.18、(1)见解析;(2)见解析.【解题分析】分析：（1）由茎叶图及频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中的x，y；（2）由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望.详解：(1)由题意可知，样本容量，.(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，则,,.123故.点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想.19、（1）见解析（2），详见解析【解题分析】

（1）设，，由椭圆对称性得，把点，的坐标都代入椭圆得到两个方程，再相减，得到两直线斜率乘积的表达式；（2）设，，，则，由得：，进而得到直线的方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标之间的关系，最后整体代入消元，得到为定值.【题目详解】（1）当过原点时，设，，由椭圆对称性得，则．∵，都在椭圆上，∴，，两式相减得：，即．故．（2）设，，，则，∵，∴，设直线的方程为()，联立方程组消去，整理得．∵在椭圆上，∴，上式可化为．∴，，∴，，，∴；．∴（定值）．【题目点拨】本题考查直线与椭圆的位置关系，对综合运算能力要求较高，对坐标法进行深入的考查