山东省新泰中学2024届数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

山东省新泰中学2024届数学高二第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数可导，则等于（）A．B．C．D．2．已知(为虚数单位)，则A． B． C． D．3．二项式的展开式中的系数为，则（）A． B． C． D．24．欧拉公式：为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，（）A．1 B． C． D．5．“”是“对任意恒成立”的A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．已知复数且，则的范围为（）A． B．C． D．7．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（）A． B． C． D．8．已知，，，则（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.99．已知集合，，则（）A． B． C． D．10．已知为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，则（）A． B．10 C． D．611．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（）A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形C．一定是直角三角形 D．一定是斜三角形12．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量服从正态分布，且，则__________．14．已知正数x，y满足，则的最小值为____________．15．圆：在矩阵对应的变换作用下得到了曲线，曲线的矩阵对应的变换作用下得到了曲线，则曲线的方程为__________．16．展开式中，项的系数为______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（且），.（1）函数的图象恒过定点，求点坐标；（2）若函数的图象过点，证明：方程在上有唯一解.18．（12分）设函数（其中）,且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标为（1）求的值；（2）如果在区间上的最小值为，求的值．19．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数在上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.20．（12分）已知四棱锥的底面为菱形，且，，，与相交于点.（1）求证：底面；（2）求直线与平面所成的角的值；（3）求平面与平面所成二面角的值.（用反三角函数表示）21．（12分）设函数.（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.22．（10分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）设是的两个零点，证明：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】，故选C.2、B【解题分析】

由题得，再利用复数的除法计算得解.【题目详解】由题得，故答案为：B【题目点拨】本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.3、A【解题分析】

利用二项式定理的展开式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．【题目详解】二项式（ax+）6的展开式中通项公式：Tr+2=（ax）r，令r=2，则T6=××a2x2．∵x2的系数为，∴×a2=，解得a=2．则x2dx=x2dx==．故选：A．【题目点拨】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加4、B【解题分析】

由题意将复数的指数形式化为三角函数式，再由复数的运算化简即可得答案．【题目详解】由得故选B．【题目点拨】本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数值的求法与复数的化简求值，是基础题．5、C【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法进行判断即可．【题目详解】解：对任意恒成立，推不出，，“”是“对任意恒成立”的必要不充分条件．故选：C．【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本题的关键．6、C【解题分析】

转化为，设，即直线和圆有公共点，联立，即得解.【题目详解】由于设联立：由于直线和圆有公共点，故的范围为故选：C【题目点拨】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7、D【解题分析】

首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．【题目详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,,选择D答案．【题目点拨】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．8、D【解题分析】分析：根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．详解：由题意，

∵随机变量，，

∴故选：D．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．9、B【解题分析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【题目详解】因为所以.故选：B【题目点拨】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10、C【解题分析】

设，根据，可求得这些坐标间的关系，再结合两点在抛物线上，可求得，而，由此可得结论．【题目详解】设，则，又，∴，∴，，∴，由，得，∴.故选C．【题目点拨】本题考查向量的数乘的意义，考查抛物线的焦点弦问题．掌握焦点弦长公式是解题基础：即对抛物线而言，，是抛物线的过焦点的弦，则．11、C【解题分析】分析：由已知构造余弦定理条件：，再结合余弦定理，化简整理得，即一定为直角三角形.详解：由已知，得①由余弦定理：②将①代入②整理得一定为直角三角形故选C点睛：判断三角形形状（1）角的关系：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．①若；则A=B；②若；则A=B或（2）边的关系：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．①若，则；②若，则；③若，则．12、C【解题分析】

先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调递增区间.【题目详解】依题意，函数的定义域为，，故当时，，所以函数的单调递增区间为，故选C.【题目点拨】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查导数的运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.1【解题分析】分析：随机变量服从正态分布，且，利用正态分布的性质，答案易得．详解：随机变量ξ服从正态分布，且，，

故答案为：0.1．点睛：本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率，本题是一个数形结合的题，识图很重要．14、25【解题分析】

由＋＝1，得x＋y＝xy,＋＝＋＝13＋＋＝13＋＝9x＋4y＝(9x＋4y)＝13＋＋≥13＋2＝25.当且仅当等号成立15、【解题分析】分析：详解：，设为曲线上任意一点，是圆：上与P对应的点，，得，，是圆上的点，的方程为，即.故答案为：.点睛：本题考查了几种特殊的矩阵变换，体现了方程的数学思想.16、【解题分析】∴二项式展开式中，含项为∴它的系数为1．故答案为1．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)证明见解析.【解题分析】试题分析：(1)结合对数函数的性质可得函数的图象恒过定点；(2)由题意结合函数的单调性和函数的值域即可证得题中的结论.试题解析：（1）解：∵当时，，说明的图象恒过点.（2）证明：∵过，∴，∴，∵分别为上的增函数和减函数，∴为上的增函数，∴在上至多有一个零点，又，∴在上至多有一个零点，而，，∴在上有唯一解.18、(1)(2)【解题分析】试题分析：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a＝sin＋＋a.依题意得2ω·＋＝，解得ω＝.(2)由(1)知，f(x)＝sin＋＋a.又当x∈时，x＋∈，故≤sin≤1，从而f(x)在上取得最小值＋＋a.由题设知＋＋a＝，故a＝.考点：和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质．点评：中档题，本题较为典型，即首先利用和差倍半的三角函数公式，将三角函数式“化一”，进一步研究函数的图像和性质．本题（2）给定了自变量的较小范围，应注意确定的范围，进一步确定函数的最值．19、(1)单调递增区间为和,单调递减区间为.(2)存在,满足题设.【解题分析】

(1)根据当时直接求导，令与,即可得出单调区间.(2)函数,使函数在上单调递增等价于,等价于,构造函数,利用导数求出的最小值,即可得出的范围.【题目详解】(1)当时,,令,则或,令,则,的单调递增区间为和,单调递减区间为.(2)存在,满足题设.函数.要使函数在上单调递增,,即,令,则当时,在上单调递减,当时,在上单调递增,是的极小值点，也是最小值点,且存在,满足题设.【题目点拨】本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,等价转化的数学思想等知识,难度较难.20、（1）见解析；（2）；（3）【解题分析】

（1）由已知中四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC与BD相交于点O，根据平行四边形两条对角线互相平分及等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理，我们易得到结论；

（2）以O为坐标原点，建立坐标系，分别求出各顶点坐标，进而求出直线

PB的方向向量与平面PCD的法向量，代入线面夹角的向量法公式，即可求出答案；（3）求出平面的法向量，代入面面夹角的向量法公式，即可求出答案.【题目详解】（1）证明：因为ABCD为菱形，

所以O为AC，BD的中点

因为PB＝PD，PA＝PC，

所以PO⊥BD，PO⊥AC

所以PO⊥底面ABCD；

（2）解：因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

建立如图所示空间直角坐标系

又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2

得，

所以则，

设平面PCD的法向量

有，所以，令

得，

，

直线与平面所成的角的值为；（3）设平面的法向量,因为

有，所以，令

得，，

由图知，平面与平面所成二面角为钝角，.【题目点拨】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中选择合适的点及坐标轴方向，建立空间坐标系，将问题转化为一个向量问题是解答此类问题的关键.21、（1）（2）【解题分析】

（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值转化为或或求解.（2）由（1）函数的最小值为2，得到，再由柯西不等式求的最小值.【题目详解】（1）原不等式等价于：或或，解得或，所以不等式的解集是.（2）由（1）函数的最小值为2，所以，所以，所以，所以，当且仅当时，取等号.所以的最小值是.【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法和柯西不等式求最值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.22、（1）见解析（2）见解析【解题分析】分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证.详解：（1），当时，，则在上单调递增．当时，令