2024届云南省宜良第一中学数学高二第二学期期末经典试题含解析

2024届云南省宜良第一中学数学高二第二学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数,则的共轭复数()A． B． C． D．2．在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．二项式(ax-36)3(a>0)的展开式的第二项的系数为A．3B．73C．3或73D．34．下列函数为奇函数的是（）A． B． C． D．5．已知均为实数，若（为虚数单位），则（）A．0 B．1 C．2 D．-16．“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知抛物线（是正常数）上有两点、，焦点，甲：；乙：；丙：；丁：.以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（）A． B． C． D．8．已知随机变量的概率分布如下表，则（）A． B． C． D．9．在(x+1x2A．-32 B．-8 C．8 D．4810．在（x－）10的展开式中，的系数是（）A．－27 B．27 C．－9 D．911．某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，连续两天为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为（）A． B． C． D．12．若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数（为自然对数的底数）的导函数为，则_________.14．出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是则这位司机在途中遇到红灯数的期望为____.（用分数表示）15．已知是定义在R上的函数，是的导函数，若，且，则不等式的解集为_____．16．已知f(x)是奇函数，且当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax()，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值是1，则a＝__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的长轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，设，过作直线交椭圆于、两点，记椭圆的左顶点为，直线，的斜率分别为，，且，求实数的值.18．（12分）如图，已知三棱柱，平面平面,,,,,分别是,的中点.（1）证明:;（2）求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知为函数的导函数,.(1)求的单调区间；(2)当时,恒成立,求的取值范围.20．（12分）已知函数（1）若当时，恒成立，求实数的取值范围.（2）设，求证：当时，.21．（12分）函数（1）若函数在内有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．22．（10分）已知、分别是椭圆左、右焦点，右焦点到上顶点的距离为，若．求此椭圆的方程;直线与椭圆交于，两点，若弦的中点为求直线的方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数.【题目详解】因为，所以，所以的共轭复数故选A项.【题目点拨】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.2、A【解题分析】

由韦达定理可得a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，得a4和a12均为负值，由等比数列的性质可得．【题目详解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根，∴a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，∴a4和a12均为负值，由等比数列的性质可知a8为负值，且a82＝a4•a12＝1，∴a8＝﹣1，故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a8＝±1”的充分不必要条件.故选A．【题目点拨】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．3、A【解题分析】试题分析：∵展开式的第二项的系数为-32，∴C31a2(-当a=1时，-2a考点：二项式定理、积分的运算.4、A【解题分析】试题分析：由题意得，令，则，所以函数为奇函数，故选A．考点：函数奇偶性的判定．5、C【解题分析】

将已知等式整理为，根据复数相等可求得结果.【题目详解】由题意得：，即：则：本题正确选项：【题目点拨】本题考查复数相等的定义，涉及简单的复数运算，属于基础题.6、A【解题分析】试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选A考点：必要条件．7、B【解题分析】

设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数的值，可以得出“直线经过焦点”的充要条件的个数.【题目详解】设直线的方程为，则直线交轴于点，且抛物线的焦点的坐标为.将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，，由韦达定理得，.对于甲条件，，得，甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于乙条件，，得，此时，直线过抛物线的焦点，乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；对于丙条件，，即，解得或，所以，丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于丁条件，，化简得，得，所以，丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有个，故选B.【题目点拨】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.8、C【解题分析】由分布列的性质可得：，故选C.9、C【解题分析】

利用x-25的展开式通项，与x和1x2分别做乘法，分别求得x的系数，作和求得整体的【题目详解】x-25展开式的通项为：与x相乘可得：x⋅当r=5时得：C与1x2当r=2时得：C∴x的系数为：-32+40=8本题正确选项：C【题目点拨】本题考查二项式定理求解xn的系数的问题，关键在于能够运用多项式相乘的运算法则，分别求出同次项的系数，合并同类项得到结果10、D【解题分析】试题分析：通项Tr＋1＝x10－r（－）r＝（－）rx10－r.令10－r＝6，得r＝4.∴x6的系数为9考点：二项式定理11、A【解题分析】

设“某天的空气质量为优良”是事件，“随后一天的空气质量为优良”是事件，根据条件概率的计算公式，即可得出结果.【题目详解】设“某天的空气质量为优良”是事件，“随后一天的空气质量为优良”是事件，由题意可得，，所以某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为.故选A【题目点拨】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.12、B【解题分析】区域是正方形，面积为，根据定积分定理可得直线与曲线围成区域的面积为，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为，故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、；【解题分析】

对函数求导，然后把代入导函数中，即可求出的值.【题目详解】，.【题目点拨】本题考查了导数的有关运算，正确掌握导数的运算法则和常见函数的导数是解题的关键.14、【解题分析】

遇到红灯相互独立且概率相同可知，根据二项分布数学期望求解公式求得结果.【题目详解】由题意可知，司机在途中遇到红灯数服从于二项分布，即期望本题正确结果：【题目点拨】本题考查服从于二项分布的随机变量的数学期望的求解，考查对于二项分布数学期望计算公式的掌握，属于基础题.15、．【解题分析】

令，求出函数的单调性，问题转化为，求出x的范围即可．【题目详解】令，则，故在R递增，而，故，即，则，解得：，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接根据解析式来解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系即可得到解集。16、1【解题分析】由题意，得x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a＞)有最大值－1，f′(x)＝－a，由f′(x)＝0得x＝∈(0,2)，且x∈(0，)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，x∈(，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f()＝ln－1＝－1，解得a＝1.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）或；（Ⅱ）1.【解题分析】

（Ⅰ）根据椭圆的焦点位置的不同进行分类讨论，利用长轴长和离心率可以求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由，可以确定椭圆的标准方程，过作直线可以分为二类，一类是没有斜率，一类有斜率，分别讨论，直线没有斜率时，可直接求出两点坐标，利用，可以求出点坐标，当存在斜率时，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系，结合等式，也可以求出点坐标，也就求出实数的值.【题目详解】（I）当时，由得，；当时，由得，.所以椭圆C的方程为或.（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l的方程为，则由得两点.所以，即得（舍去）或.直线l的斜率存在时，l的方程设为设，，联立，消去y得（*），所以，，而，，化简得，即，显然，所以，解得或（舍去），对时，方程（*）的，所以，故综上得所求实数.【题目点拨】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，利用根与系数关系，结合已知等式是解题的关键，本题易忽略直线不存在斜率这种情况.18、(1)见解析;(2)【解题分析】

(1)建立空间直角坐标系,设,从而确定与的坐标,通过求二者的数量积证明.(2)结合第一问,计算出直线的方向向量和平面的法向量,结合线面角余弦值和诱导公式即可求直线与平面所成角的正弦值.【题目详解】(1)证明:在底面内作,以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系,不妨设则,,,由可求得的坐标为利用中点坐标公式可求出,即(2)解:由第一问可知:.设平面的法向量为则,不妨设则,此时设直线与平面所成角为,则即直线与平面所成角的正弦值为.【题目点拨】本题考查了空间几何中的线线垂直的判定,考查了线面角的求解问题.解答此类问题时,一般情况下根据题意建立适当的空间坐标系,根据已知的垂直、平行、数量关系等条件,求出点的坐标,进而求出方向向量、法向量的坐标.易错点在于对于直线和平面所成角的问题中,不少同学错把求得的直线方向向量和平面法向量的夹角认为是所求角.19、（1）在上单调递减;在上单调递增.（2）【解题分析】分析：(1)首先令，求得，再对函数求导，令，得，从而确定函数解析式，并求得，之后根据导数的符号对函数的单调性的决定性作用，求得函数的单调区间；(2)构造新函数，将不等式恒成立问题向函数的最值转化，对参数进行分类讨论，确定函数的单调区间，确定函数的最值点，最后求得结果.详解：(1)由,得.因为,所以,解得.所以,，当时,,则函数在上单调递减;当时,,则函数在上单调递增.(2)令，根据题意,当时,恒成立..①当,时,恒成立，所以在上是增函数,且，所以不符合题意;②当,时,恒成立,所以在上是增函数,且所以不符合题意;③当时,因为,所有恒有,故在上是减函数,于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得,故.综上,的取值范围是.点睛：该题考查的是利用导数研究函数的问题，在解题的过程中，首先需要求，从而确定函数的解析式，之后求导，令其大于零即为增函数，令其小于零，即为减函数，最后确定函数的单调区间；关于不等式恒成立问题，大多采用构造新函数，向最值靠拢，求导，研究单调性求得结果.20、(1)；(2)证明见解析【解题分析】

（1）解法一：求得函数导数并通分，对分成两种情况，结合函数的单调性、最值，求得实数的取值范围.解法二：将原不等式分离常数，得到，构造函数，利用导数结合洛必达法则，求得的取值范围，由此求得的取值范围.（2）解法一：先由（1）的结论，证得当时成立.再利用导数证得当时，也成立，由此证得不等式成立.解法二：将所要证明的不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，进而证得，也即证得.【题目详解】解：（1）【解法一】由得：①当时，由知，在区间上为增函数，当时，恒成立，所以当时，满足题意；②当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数.这时当时，，令，则即在上为减函数，所以即在上的最小值，此时，当时，不可能恒成立，即有不满足题意.综上可知，当，使恒成立时，的取值范围是.【解法二】当时，等价于令，则只须使设在上为增函数，所以在上为增函数，当时，由洛必达法则知即当时，，所以有即当，使恒成立时，则的取值范围是（2）解法一：由（1）知，当时，当时，又成立故只须在证明，当时，即可当时，又当时，所以，只须证明即可；设由得：当，时当