2024届江西省宜春市高安市高安中学高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届江西省宜春市高安市高安中学高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直三棱柱中，，，、分别为、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．2．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（）A．240种 B．188种 C．156种 D．120种3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4．的展开式中常数项为()A．-240 B．-160 C．240 D．1605．点的直角坐标化成极坐标为（）A． B． C． D．6．已知，且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则（）A． B． C． D．8．第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．1509．已知，，，则()A． B． C． D．10．已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．11．复数满足，且在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中，二项式系数最大的项是_________．14．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为______．15．已知，设，若存在不相等的实数同时满足方程和，则实数的取值范围为______．16．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．参考公式：方差公式：，其中为样本平均数.，。18．（12分）某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：日销售量11.52天数102515频率0.2ab若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．19．（12分）观察下列等式：；；；；……（1）照此规律，归纳猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.20．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；（2）证明（1）中的猜想.21．（12分）已知集合P＝，函数的定义域为Q.（Ⅰ）若PQ，求实数的范围；（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.22．（10分）已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.【题目详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设,则、、、、，，、，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B【题目点拨】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.2、D【解题分析】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.3、B【解题分析】

由渐近线方程得出的值，结合可求得【题目详解】∵双曲线的一条渐近线方程为，∴，∴，解得，即离心率为．故选：B．【题目点拨】本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时要注意，要与椭圆中的关系区别开来．4、C【解题分析】

求得二项式的通项，令，代入即可求解展开式的常数项，即可求解.【题目详解】由题意，二项式展开式的通项为，当时，，即展开式的常数项为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5、D【解题分析】

分别求得极径和极角，即可将直角坐标化为极坐标.【题目详解】由点M的直角坐标可得：，点M位于第二象限，且，故，则将点的直角坐标化成极坐标为.本题选择D选项.【题目点拨】本题主要考查直角坐标化为极坐标的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、C【解题分析】分析：已知，解出a，b的值，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解.详解：a>0，b>0且a≠1，若logab>0，a>1，b>1或0<a<1,0<b<1，∴(a－1)(b－1)>0；若(a－1)(b－1)>0,则或则a>1，b>1或0<a<1,0<b<1,∴logab>0，∴“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的充分必要条件．故选C.点睛：在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．7、A【解题分析】

先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.【题目详解】的可能取值为.表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.所以.故选A.【题目点拨】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.8、D【解题分析】分析：将人分成满足题意的组有与两种，分别计算分为两类情况的分组的种数，再分配到三个不同的展馆，即可得到结果．详解：将人分成满足题意的组有与两种，分成时，有种分法；分成时，有种分法,由分类计数原理得，共有种不同的分法，故选D．点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．9、A【解题分析】

由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论.【题目详解】故选:A.【题目点拨】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用.10、B【解题分析】

先求出导函数，再分别讨论，，的情况，从而得出的最大值【题目详解】由题可得：；（1）当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，，故不可能恒有；（3）当时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，的最大值为；故答案选B【题目点拨】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。11、C【解题分析】

首先化简，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案.【题目详解】根据题意得，，因为复平面内对应的点在第四象限，所以，解得，故选C.【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大.12、C【解题分析】

根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得.【题目详解】依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,的中点是球心,如图:依题意设,则正四棱柱的体积为:,解得,所以外接球的直径,所以外接球的半径,则这个球的表面积是.故选C.【题目点拨】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据题意，由二项式系数的性质，得到第4项的二项式系数最大，求出第4项即可.【题目详解】在的展开式中，由二次项系数的性质可得：展开式中第4项的二项式系数最大，因此，该项为：.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查求二项式系数的最大项，熟记二项式定理即可，属于基础题型.14、【解题分析】

设椭圆的方程为，由面积公式以及离心率公式，求出，，即可得到答案。【题目详解】设椭圆C的方程为，椭圆C的面积为，则,又，解得，.则C的方程为【题目点拨】本题考查椭圆及其标准方程，注意运用离心率公式和，，的关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题。15、【解题分析】

根据奇偶性定义求得为奇函数，从而可得且，从而可将整理为：，通过求解函数的值域可得到的取值范围.【题目详解】为上的奇函数又且且即：令，则在上单调递增又本题正确结果：【题目点拨】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到奇偶性的判定、单调性的应用，关键是能够将问题转化为的值域的求解问题；易错点是在求解的取值范围时，忽略的条件，错误求解为，造成增根.16、【解题分析】

先换元令，平方可得方程，解方程即可得到结果.【题目详解】令，则两边平方得，得即，解得：或（舍去）本题正确结果：【题目点拨】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）物理成绩更稳定.证明见解析；（2）130分，建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高【解题分析】

（1）分别算出物理成绩和数学成绩的方差；（2）利用最小二乘法，求出关于的回归方程，再用代入回归方程，求得.【题目详解】（1），，∴，∴，从而，∴物理成绩更稳定.（2）由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到，，∴线性回归方程为，当时，.建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高【题目点拨】本题考查统计中的方差、回归直线方程等知识，考查基本的数据处理能力，要求计算要细心，防止计算出错.18、（1）5.3155；（5）6.5.【解题分析】试题分析：第一问根据频率公式求得a=0.5,b=0.3，第二问在做题的过程中，利用题的条件确定销售量为1．5吨的频率为0.5，可以判断出销售量为1．5吨的天数服从于二项分布，利用公式求得结果，第二小问首先确定出两天的销售量以及与之对应的概率，再根据销售量与利润的关系，求得的分布列和，利用离散型随机变量的分布列以及期望公式求得结果．试题解析：（1）由题意知：a=5．5，b=5．3．①依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率p=5．5，设5天中该种商品有X天的销售量为1．5吨，则X～B（5，5．5），．②两天的销售量可能为5,5．5,3,3．5,5．所以的可能取值为5，5，6，7，8，则：，，，，，的分布列为：ξ

5

5

6

7

8

P

5．55

5．5

5．37

5．3

5．59

．考点：独立重复实验，离散型随机变量的分布列与期望．19、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】分析：（1）第个等式为.(2)利用个数学归纳法证明猜想.详解：（1）第个等式为；（2）用数学归纳法证明如下：①当时，左边，右边,所以当时，原等式成立.②假设当时原等式成立，即,则当时，,所以当时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何都成立.点睛：（1）本题主要考查归纳猜想和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明n=k+1时，=.20、（1）a1＝－1；a2＝－；a3＝－；猜想an＝－（n∈N*）（2）证明见解析【解题分析】

（1）分别令n＝1、2，通过解一元二次方程结合已知的递推公式可以求出a1，a2，同理求出a