甘肃省武威市凉州区武威第一中学2024届数学高二第二学期期末达标检测试题含解析

甘肃省武威市凉州区武威第一中学2024届数学高二第二学期期末达标检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知为定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（）A． B．C． D．3．若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．二项式的展开式中的系数为，则（）A． B． C． D．25．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母都不与他相邻,则不同坐法的总数为（）A．12 B．36 C．84 D．966．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．7．某运动队有男运动员4名，女运动员3名，若选派2人外出参加比赛，且至少有1名女运动员入选，则不同的选法共有（）A．6种 B．12种 C．15种 D．21种8．已知向量，，若与垂直，则（）A．-1 B．1 C．土1 D．09．在用反证法证明“已知，且，则中至少有一个大于1”时，假设应为（）A．中至多有一个大于1 B．全都小于1C．中至少有两个大于1 D．均不大于110．已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为（）A．1 B． C． D．11．已知的展开式中没有项，，则的值可以是（）A．5 B．6 C．7 D．812．如图所示，圆为正三角形的内切圆，为切点，将一颗豆子随机地扔到该正三角形内，在已知豆子落在圆内的条件下，豆子落在（阴影部分）内的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一扇形的面积是8cm2，周长是12cm，则该扇形的圆心角α（0<α<π）的弧度数是_______14．设随机变量的概率分布列如下图，则___________．123415．若关于的不等式（，且）的解集是，则的取值的集合是_________．16．若复数，则__________．（是的共轭复数）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于，两点，若点的坐标为，求．18．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.19．（12分）为了研究玉米品种对产量的，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：高茎矮茎总计圆粒111930皱粒13720总计242650（1）现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；（2）根据玉米生长情况作出统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？附：0.050.013.8416.63520．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元．设该公司一年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）21．（12分）已知函数.(Ⅰ)若函数在处取得极值，求的值；(Ⅱ)设，若函数在定义域上为单调增函数，求的最大整数值.22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数且）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由三个正数的和为21，可知三个正数的平均数为7，因此可以用反证法来求出的取值范围.【题目详解】由三个正数的和为21，可知三个正数的平均数为7，假设，因为，则有，这与，相矛盾，故假设不成立，即，故本题选D.解法二:因为，所以【题目点拨】本题考查了反证法的应用，正确运用反证法的过程是解题的关键.2、A【解题分析】

先用基本不等式求时函数的值域，然后利用函数奇偶性的性质即可得到整个函数的值域.【题目详解】当时，（当且仅当时取等号），又为奇函数，当x<0时，,则的值域为.故选：A.【题目点拨】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用基本不等式求函数最值问题，属于基础题.3、B【解题分析】

不等式可整理为，然后转化为求函数y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．【题目详解】不等式，即不等式lglg3x﹣1，∴，整理可得，∵y在（﹣∞，1）上单调递减，∴∈（﹣∞，1），y1，∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B.【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．4、A【解题分析】

利用二项式定理的展开式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．【题目详解】二项式（ax+）6的展开式中通项公式：Tr+2=（ax）r，令r=2，则T6=××a2x2．∵x2的系数为，∴×a2=，解得a=2．则x2dx=x2dx==．故选：A．【题目点拨】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加5、B【解题分析】

记事件A:小明的父亲与小明相邻，事件B:小明的母亲与小明相邻，利用捆绑法计算出事件A、事件B、事件A∩B的排法种数nA、nB、nA∩B【题目详解】记事件A:小明的父亲与小明相邻，事件B:小明的母亲与小明相邻，对于事件A，将小明与其父亲捆绑，形成一个元素，与其他四个元素进行排序，则nA=A对于事件A∩B，将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则nA∩B=A2【题目点拨】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法以及容斥原理的应用，解题时要合理利用分类讨论思想与总体淘汰法，考查逻辑推理能力，属于中等题。6、A【解题分析】S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以条件为k＞5，故选B.7、C【解题分析】

先求出所有的方法数，再求出没有女生入选的方法数，相减可得至少有1位女生入选的方法数.【题目详解】解：从3位女生，4位男生中选2人参加比赛，所有的方法有种，

其中没有女生入选的方法有种，

故至少有1位女生入选的方法有21−6＝15种.

故选：C.【题目点拨】本题主要考查排列组合的简单应用，属于中档题.8、C【解题分析】分析：首先根据题中所给的向量垂直的条件，得到向量数量积等于零，从而得到，之后利用相应的公式得到所满足的条件，从而求得结果.详解：根据与垂直，可得，即，所以有，解得，故选C.点睛：该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有用向量的数量积等于零来体现向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相应的等量关系式求得结果.9、D【解题分析】

直接利用反证法的定义得到答案.【题目详解】中至少有一个大于1的反面为均不大于1，故假设应为：均不大于1.故选：.【题目点拨】本题考查了反证法，意在考查学生对于反证法的理解.10、D【解题分析】

先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.【题目详解】由题得函数的图像如图所示，联立得交点（1,1）所以叶形图面积为.故选：D【题目点拨】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.11、C【解题分析】

将条件转化为的展开式中不含常数项，不含项，不含项，然后写出的展开式的通项，即可分析出答案.【题目详解】因为的展开式中没有项，所以的展开式中不含常数项，不含项，不含项的展开式的通项为：所以当取时，方程无解检验可得故选：C【题目点拨】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.12、A【解题分析】

设正三角形的边长为，内切圆半径为，求得内切圆半径，即可得阴影部分的面积；再求得三角形的面积，结合几何概型的求法即可得解.【题目详解】设正三角形的边长为，内切圆半径为，则由三角形面积公式可得，解得，则，所以由几何概型概率可得落在阴影部分的概率为,故选：A.【题目点拨】本题考查了等边三角形内切圆的性质应用，几何概型概率求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

设半径为，则，，可解出对答案．【题目详解】设半径为，则，,由有代入有：，解得或，当时，，当时，，又，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查扇形的面积，弧度制公式等，属于容易题．14、【解题分析】

依题意可知，根据分布列计算可得；【题目详解】解：依题意可得故答案为：【题目点拨】本题考查离散型随机变量的分布列与和概率公式的应用，属于基础题.15、【解题分析】

由题意可得当x=时，4x=log2ax，由此求得a的值．【题目详解】∵关于x的不等式4x＜log2ax（a＞0，且a≠）的解集是{x|0＜x＜}，则当x=时，4x=log2ax，即2=log2a，∴（2a）2=，∴2a=，∴a=，故答案为．【题目点拨】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．16、2【解题分析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进而得到最后求出复数的模即可．详解：由，可得∴，∴故答案为：2点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线l的普通方程为；圆C的直角坐标方程为；（2）.【解题分析】

（1）由直线的参数方程消去参数可直接得到普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式，可直接得到圆的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，结合韦达定理，根据参数的方法，即可求出结果.【题目详解】(1)由直线的参数方程(为参数)得直线的普通方程为由,得,即圆的直角坐标方程为．(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即，由于>0,故可设，是上述方程的两个实根，所以又直线过点P(3,)，故．【题目点拨】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.18、(1)见详解；(2)或.【解题分析】

(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【题目详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.【题目点拨】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．19、（1）；（2）有的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．【解题分析】

（1）采用分层抽样的方式，从样本中取出的6株玉米随机选出2株中包含高杆的2株，矮杆的4株，故可求这2株之中既有高杆玉米又有矮杆玉米的概率；（2）带入公式计算值，和临界值表对比后即可得答案．【题目详解】（1）依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为，；矮茎4株，记为，，，；从中随机选取2株的情况有如下15种：，，，，，，，，，，，，，，．其中满足题意的共有，，，，，，，，共8种，则所求概率为．（2）根据已知列联表：高茎矮茎合计圆粒111930皱粒13720合计242650得，又，有的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．【题目点拨】本题主要考查古典概型的概率和独立性检验，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．20、（1）（2）当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大【解题分析】试题分析：解：（Ｉ）当时，；当时，．∴年利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式为（Ⅱ）当时，由，即年利润在上单增，在上单减∴当时，取得最大值，且（万元）．当时，，仅当时取“=”综上可知，当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为万元．考点：本试题考查了函数模型在实际生活中的的运用。点评：解决应用题，首先是审清题意，然后利用已知的关系式表述出利润函数：