2024届广东省番禺区数学高二下期末调研试题含解析

2024届广东省番禺区数学高二下期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数z满足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i2．小明同学在做市场调查时得到如下样本数据13610842他由此得到回归直线的方程为，则下列说法正确的是()①变量与线性负相关②当时可以估计③④变量与之间是函数关系A．① B．①② C．①②③ D．①②③④3．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.64．已知集合则=（）A． B． C． D．5．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆周长为，那么这个球的半径为（）A． B． C． D．6．已知集合，，则＝（）A． B． C． D．7．（为虚数单位），则复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．定义运算，，例如，则函数的值域为（）A． B． C． D．9．已知，，，则（）．A． B． C． D．10．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．11．过双曲线的一个焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为1，则的焦距为（）A． B．3 C． D．512．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为________.14．如图，在中，，和分别是边和上一点，，将沿折起到点位置，则该四棱锥体积的最大值为_______．15．已知点分别是双曲线：的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为______.16．已知复数（，为常数，）是复数的一个平方根，那么复数的两个平方根为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的值及函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数的最大值.18．（12分）已知复数满足（其中为虚数单位）（1）求；（2）若为纯虚数，求实数的值．19．（12分）在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足.(1)求(2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20．（12分）设命题函数在是减函数；命题，都有成立．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．21．（12分）已知函数，（1）当，时，求函数在上的最小值；（2）若函数在与处的切线互相垂直，求的取值范围；（3）设，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．22．（10分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核.（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈.求选出的3人中有1位男员工的概率；（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，试比较与的大小.（只需写出结论）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【题目详解】z=2i1-i=2i(1+i)【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2、C【解题分析】

根据数据和回归方程对每一个选项逐一判断得到答案.【题目详解】①变量与线性负相关,正确②将代入回归方程，得到，正确③将代入回归方程，解得，正确④变量与之间是相关关系，不是函数关系，错误答案为C【题目点拨】本题考查了回归方程的相关知识，其中中心点一定在回归方程上是同学容易遗忘的知识点.3、B【解题分析】区间[22,31)内的数据共有4个，总的数据共有11个，所以频率为1．4,故选B．4、D【解题分析】因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.5、B【解题分析】

解:6、C【解题分析】

先计算集合N，再计算得到答案.【题目详解】故答案选C【题目点拨】本题考查了集合的运算，属于简单题.7、A【解题分析】

通过求出，然后得到复数对应的点的坐标．【题目详解】由得所以复数在复平面对应的点在第一象限．【题目点拨】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．8、D【解题分析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．9、C【解题分析】试题分析：因为所以选C．考点：比较大小10、A【解题分析】

由实部虚部均大于0联立不等式组求解．【题目详解】解：复数在复平面内对应的点在第一象限，，解得．实数的取值范围是．故选：．【题目点拨】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．11、C【解题分析】

利用点到直线的距离可求得，进而可由勾股定理求出，再由解方程即可求出结果．【题目详解】不妨设，则其到渐近线的距离，在直角中，，所以，所以，所以椭圆C的焦距为．故选：C．【题目点拨】本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，同时考查方程的思想，属于基础题．12、D【解题分析】每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有种，应选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先由题意得到直线的斜率存在，不妨设直线的斜率，过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过点作于点，根据题中条件求出抛物线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与题中条件，求出交点横坐标，再由弦长公式，即可求出结果.【题目详解】由题意，易知直线的斜率存在，则由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率，过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过点作于点，则由，可得，即，则，所以点为的中点，则，所以，则，解得，则直线的方程为，由得，则，由，得，即，结合，解得，则.故答案为【题目点拨】本题主要考查抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的性质，以及直线与抛物线位置关系即可，属于常考题型.14、【解题分析】

根据题中条件，设，表示出四边形的面积，由题意得到平面时，四棱锥体积最大,此时，根据四棱锥的体积公式，表示出，用导数的方法求其最值即可.【题目详解】在中，由已知，，，所以设，四边形的面积为,当平面时，四棱锥体积最大,此时，且,故四棱锥体积为，，时，；时，,所以，当时，.故答案为【题目点拨】本题主要考查求几何体的体积，熟记体积公式，以及导数的方法研究函数的最值即可，属于常考题型.15、【解题分析】分析：根据双曲线的定义，可求得，设，由余弦定理可得，，进而可得结果.详解：如图，，又，则有，不妨假设，则有，可得，中余弦定理，，，即，故答案为.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.16、,【解题分析】

由题可知,再对开根号求的两个平方根即可.【题目详解】由题,故,即,故复数的两个平方根为与故答案为：,【题目点拨】本题主要考查了复数的基本运算,运用即可联系与的关系,属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），最小正周期为；（Ⅱ）2.【解题分析】

（Ⅰ）整理，得，由周期公式可得解；（Ⅱ）由已知可得，所以，问题得解.【题目详解】（Ⅰ）∵，∴，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，则，∴，∴的最大值为2.【题目点拨】本题考查了辅助角公式和三角函数周期公式，考查了整体法求三角函数的值域，属于中档题.18、（1）；（2）.【解题分析】

(1)设，可得，解得从而可得结果；(2)由（1）知，利用为纯虚数可得，从而可得结果.【题目详解】（1）设，由于则：解得：（2）由（1）知又为纯虚数，【题目点拨】本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.19、(1)见解析.(2)见解析.【解题分析】试题分析：（I）由，n分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想；（II）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．试题解析：(1)当时，，∴或(舍,).当时，，∴．当时，，∴．猜想：.(2)证明：①当时，显然成立．②假设时，成立，则当时，,即∴.由①、②可知，，.点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础．只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n都成立．20、（1）；（2）【解题分析】

（1）将问题转化为在上恒成立；分别在和求得范围，取交集得到结果；（2）由含逻辑连接词命题的真假性可知真假或假真，分别在两种情况下求得范围，取并集得到结果.【题目详解】（1）当命题为真命题时，在上恒成立当时，；当时，，则综上所述：即：若命题为真命题，则（2）当命题为真命题时，等价于，即由得：，解得：若为真命题，为假命题，则真假或假真当真假时，；当假真时，综上所述：【题目点拨】本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到函数单调性与导数的关系、恒成立问题的求解、含逻辑连接词的命题的真假性的性质应用等知识；解题关键是分别求出两个命题为真时参数的取值范围.21、（1）；（2）或；（3）【解题分析】

（1）求导后可得函数的单调性，从而得到；（2）利用切线互相垂直可知，展开整理后可知关于的方程有解，利用可得关于的不等式，解不等式求得结果；（3）根据极值点的定义可得：，，从而得到且，进而得到，令，利用导数可证得，从而得到所求范围.【题目详解】（1）当，时，，则当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增（2）由解析式得：，函数在与处的切线互相垂直即：展开整理得：则该关于的方程有解整理得：，解得：或（3）当时，是方程的两根，且，，令，则在上单调递增即：【题目点拨】本题考查导数在研究函数中的作用，涉及到函数最值的求解、导数几何意义的应用、导数与极值之间的关系；本题的难点在于根据极值点的定义将转化为关于的函数，从而通过构造函数的方式求得函数的最值，进而得到取值范围.22、（1）男员工3人，女员工2人（2）（3）【解题分析】

（1）根据分层抽样等比例抽取的性质，列式计算即可；（2）分别计算5人中选出3人的全部可能性和3人中有1人为男