江苏省徐州一中2024届数学高二下期末教学质量检测模拟试题含解析

江苏省徐州一中2024届数学高二下期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数在上单调递增 B．函数的周期是C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是13．设函数，则（）A．9 B．11 C．13 D．154．在极坐标系中,已知点,则过点且平行于极轴的直线的方程是()A．B．C．D．5．设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于()A．0 B． C． D．16．直线与圆有两个不同交点的充要条件是（）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，，，，，若，，则的最小值是（）A.B.C.D.8．已知随机变量X服从正态分布Na,4，且PX>1=0.5A．1B．3C．2D．49．已知随机变量服从正态分布,,则A． B． C． D．10．已知是虚数单位，，则计算的结果是（）A． B． C． D．11．设，是实数，则的充要条件是（）A． B． C． D．12．给定下列两个命题：①“”为真是“”为真的充分不必要条件；②“，都有”的否定是“，使得”，其中说法正确的是（）A．①真②假 B．①假②真 C．①和②都为假 D．①和②都为真二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,设抽取次品数为,则=_____14．点到直线：的距离等于3，则_______.15．当双曲线M：的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为______．16．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线和所成的角（结果用反三角函数值表示）18．（12分）已知函数.若是的极值点.(1)求在上的最小值；(2)若不等式对任意都成立,其中为整数,为的函数,求的最大值.19．（12分）已知函数，数列的前项和为，点（）均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.20．（12分）《基础教育课程改革纲要(试行)》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标．为加强心理健康教育工作的开展，不断提高学生的心理素质，九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课，学分为2分．学校根据学生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价，获得“合格”评价的学生给予41分的平时分，获得“不合格”评价的学生给予31分的平时分，另外还将进行一次测验．学生将以“平时分×41%+测验分×81%”作为“最终得分”，“最终得分”不少于51分者获得学分．该校高二(1)班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下：测验分[31，41)[41，41)[41，51)[51，61)[61，81)[81，91)[91，111]平时分41分人数1113442平时分31分人数1111111（1）根据表中数据完成如下2×2列联表，并分析是否有94%的把握认为这些学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联？选修人数测验分达到51分测验分未达到51分合计平时分41分平时分31分合计（2）用样本估计总体，若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取4人，设获得学分人数为，求的期望．附：，其中1．11．141．1241．111．1141．1112．6153．8414．1245．5346．86911．82821．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围.22．（10分）如图，已知单位圆上有四点，，，，其中，分别设的面积为和.（1）用表示和；（2）求的最大值及取最大值时的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由于有两个零点，则图象与有两个交点，作出图象，讨论临界位置.【题目详解】作出图象与图象如图：当过点时，，将向下平移都能满足有两个交点，将向上平移此时仅有一个交点，不满足，又因为点取不到，所以.【题目点拨】分段函数的零点个数，可以用数形结合的思想来分析，将函数零点的问题转变为函数图象交点的个数问题会更加方便我们解决问题.2、A【解题分析】

根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.【题目详解】将横坐标缩短到原来的得：当时，在上单调递增在上单调递增，正确；的最小正周期为：不是的周期，错误；当时，，关于点对称，错误；当时，此时没有最大值，错误.本题正确选项：【题目点拨】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.3、B【解题分析】

根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【题目详解】∵函数，∴=2+9=1．故选B．【题目点拨】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．4、A【解题分析】

将点化为直角坐标的点，求出过点且平行于轴的直线的方程，再转化为极坐标方程，属于简单题。【题目详解】因为点的直角坐标为，此点到轴的距离是，则过点且平行于轴的直线的方程是，化为极坐标方程是故选A.【题目点拨】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。5、B【解题分析】∵三个数，，的和为1，其平均数为∴三个数中至少有一个大于或等于假设，，都小于，则∴，，中至少有一个数不小于故选B.6、A【解题分析】

由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果【题目详解】圆，圆心到直线的距离小于半径，由点到直线的距离公式：，，故选【题目点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础．7、A【解题分析】试题分析：设P（x,y）,则，，所以，所以P点轨迹为，根据条件，可以整理得到：，所以M,Q,N三点共线，即Q点在直线MN上，由M（8，0），N（0，8）可知Q点在直线上运动，所以的最小值问题转化为圆上点到直线的最小距离，即圆心到直线的距离减去圆的半径，。考点：1.平面向量的应用；2.直线与圆的位置关系。8、A【解题分析】试题分析：正态分布曲线关于均值对称，故均值a=1,选A.考点：正态分布与正态曲线.9、D【解题分析】

，选D.10、A【解题分析】

根据虚数单位的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．【题目详解】解：，，故选A．【题目点拨】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．11、C【解题分析】

利用不等式的基本性质证明与可进行互推.【题目详解】对选项C进行证明，即是的充要条件，必要性：若，则两边同时3次方式子仍成立，，成立；充分性：若成，两边开时开3次方根式子仍成立，，成立.【题目点拨】在证明充要条件时，要注意“必要性”与“充分性”的证明方向.12、D【解题分析】

由充分条件和必要条件的定义对①进行判断，由全称命题的否定是特称命题对②进行判断，从而得到答案。【题目详解】对①，“”为真，则命题，都真，“”为真，则命题，至少一个为真，所以“”为真是“”为真的充分不必要条件，①为真命题；对②，全称命题的否定是特称命题，所以“，都有”的否定是“，使得”，②为真命题；故答案选D【题目点拨】本题考查命题真假的判定，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】抽取次品数满足超几何分布：，故，，，其期望，故.14、或【解题分析】

直接利用点到直线的距离公式列方程，即可得到答案．【题目详解】由题意可得：，解得或．故答案为：或．【题目点拨】本题考查点到直线的距离公式，考查基本运算求解能力，属于基础题．15、【解题分析】

求出双曲线离心率的表达式，求解最小值，求出m，即可求得双曲线渐近线方程．【题目详解】解：双曲线M：，显然，双曲线的离心率，当且仅当时取等号，此时双曲线M：，则渐近线方程为：．故答案为：．【题目点拨】本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题．16、1【解题分析】

根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52），计算可得答案．【题目详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）=1．可求得100的所有正约数之和为1；故答案为：1.【题目点拨】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用三棱锥的体积计算公式即可得出；（2）由于，可得或其补角为异面直线和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的边角关系即可得出【题目详解】（1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故（2），或其补角为异面直线和所成的角，又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，，，异面直线和所成的角是【题目点拨】本题考查三棱锥体积公式的计算，异面直线所成的夹角，属于基础题18、（1）2；（2）2.【解题分析】分析：（1）求出函数的导数，求出a的值，根据函数的单调性求出函数的最小值即可；（2）问题转化为，令，，根据函数的单调性求出k的范围即可.详解：（1），由是的极值点，得，.易知在上单调递减，在上单调递增，所有当时，在上取得最小值2.(2)由(1)知，此时，，令，，，令，，在单调递增，且，，在时，，，由，，又，且，所以的最大值为2.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题.19、（1）；（2）1．【解题分析】分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出；（2）由，利用裂项求和法求出，由此能求出满足要求的最小整数.详解：（1）当时，当时，符合上式综上，（2）所以由对所有都成立，所以，得,故最小正整数的值为.点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．20、（1）有94%的把握认为学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联；（2）4【解题分析】

（1）根据数据填表，然后计算，可得结果.（2）根据计算，可得未获得分数的人数，然后可知获得分数的概率，依据二项分布数学期望的计算方法，可得结果.【题目详解】解：（1）根据表中数据统计，可得2x2列联表选修人数测验分合计达到51分未达到51分平时分41分13214平时分31分234合计14421，∴有94%的把握认为学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联（2）分析学生得分，，，平时分41分的学生中测验分只需达到41分，而平时分31分的学生中测验分必须达到51分，才能获得学分平时分41分的学生测验分未达到41分的只有1人，平时分31分的学生测验分未达到51分的有3人∴从这些学生中随机抽取1人，该生获得学分的概率为，．【题目点拨】本题考查统计量的计算以及二项分布，第（2）问中在于理解，理解题意，细心计算，属基础题.21、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）先求导，再对a分和两种情况讨论，求出函数的单调性；（2）原命题等价于，对a分三种情况讨论分析得解.【题目详解】（1）当即时，恒成立在上单调递增当即时，当时，时，；时，在上单调递减，上单调递增综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，上单调递增（2）当时，恒成立，当时，当时，，