北京市东城区第二中2024届数学高二第二学期期末综合测试模拟试题含解析

北京市东城区第二中2024届数学高二第二学期期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．欧拉公式（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将表示的复数记为z，则的值为（）A． B． C． D．2．某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人参加某项活动，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的方法有（）A．18种 B．12种 C．432种 D．288种3．某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为（）A．280 B．455 C．355 D．3504．设p、q是两个命题，若是真命题，那么（）A．p是真命题且q是假命题 B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题 D．p是假命题且q是假命题5．小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点彼此互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（）A． B． C． D．6．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()．A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点7．某人考试，共有5题，至少解对4题为及格，若他解一道题正确的概率为0.6，则他及格的概率为（）A． B． C． D．8．.若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A． B． C． D．9．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．0B．-1C．-1210．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A．甲可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．甲、丁可以知道对方的成绩 D．甲、丁可以知道自己的成绩11．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A． B． C． D．12．极坐标系内,点到直线的距离是(

)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量，且，则的值为__________．14．已知，且，则的最小值是______．15．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为______.16．如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且,，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，.求与的夹角；若，，，，且与交于点，求.18．（12分）随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动.某潜水中心调查了100名男性与100女性下潜至距离水面5米时是否耳鸣，下图为其等高条形图：①绘出列联表；②根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系？附：，其中.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82819．（12分）某生产企业研发了一种新产品，该新产品在某网店试销一个阶段后得到销售单价和月销售量之间的一组数据，如下表所示：销售单价（元）99.51010.511月销售量（万件）1110865（1）根据统计数据，求出关于的回归直线方程，并预测月销售量不低于12万件时销售单价的最大值；（2）生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于10万件，则生产企业奖励网店1万元；若月销售量不低于8万件且不足10万件，则生产企业奖励网店5000元；若月销售量低于8万件，则没有奖励.现用样本估计总体，从上述5个销售单价中任选2个销售单价，下个月分别在两个不同的网店进行销售，求这两个网店下个月获得奖励的总额的分布列及其数学期望.参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：，.20．（12分）设是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.21．（12分）已知．（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围．22．（10分）如图，直角梯形中，，，，，底面，底面且有.（1）求证：；（2）若线段的中点为，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据欧拉公式求出，再计算的值.【题目详解】∵，∴.故选：A.【题目点拨】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z.2、D【解题分析】

根据题意，6人中除甲乙丙之外的3人为a、b、c，分2步进行分析：①先在6人中选出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，②将选出的4人全排列，安排4人的顺序，由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】根据题意，6人中除甲乙丙之外的3人为a、b、c，分2步进行分析：①先在6人中选出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，若甲、乙、丙三人都参加，在a、b、c三人中任选1人，有3种情况，若甲、乙、丙三人有2人参加，在a、b、c三人中任选1人，有=9种情况，则有3+9=12种选法；②将选出的4人全排列，安排4人的顺序，有A44=24种顺序，则不同的发言顺序有12×24=288种；故答案为：D．【题目点拨】（1）本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常见解法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.3、B【解题分析】

每个实验室人数分配有三种情况，即①1，2，4；②1，3，3；③2，2，3；针对三种情况进行计算组合即可【题目详解】每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.当实验室的人数为1，2，4时，分配方案有种；当实验室的人数为1，3，3时，分配方案有种；当实验室的人数为2，2，3时，分配方案有种.故不同的分配方案有455种.选B.【题目点拨】本题考查排列组合的问题，解题注意先分类即可，属于基础题4、C【解题分析】

先判断出是假命题，从而判断出p,q的真假即可.【题目详解】若是真命题，则是假命题，则p,q均为假命题，故选D.【题目点拨】该题考查的是有关复合命题的真值表的问题，在解题的过程中，首先需要利用是真命题，得到是假命题，根据“或”形式的复合命题真值表求得结果.5、D【解题分析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4

个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种

所以小赵独自去一个景点的可能性为种

因为4

个人去的景点不相同的可能性为种，

所以．

故选：D．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．6、C【解题分析】试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与有四个交点，其中两个极大值，两极小值.考点：函数的极值.7、C【解题分析】

由题，得他及格的情况包含答对4题和5题，根据独立重复试验的概率公式，即可得到本题答案.【题目详解】由题，得他及格的情况包括答对4题和5题，所以对应的概率.故选：C【题目点拨】本题主要考查独立重复试验的概率问题，属基础题.8、A【解题分析】

设切点，根据导数的几何意义，在切点处的导数是切点处切线的斜率，求.【题目详解】设切点，，解得.故选A.【题目点拨】本题考查了已知切线方程求参数的问题，属于简单题型，这类问题的关键是设切点，利用切点既在切线又在曲线上，以及利用导数的几何意义共同求参数.9、A【解题分析】试题分析：模拟法：S=0,n=1S=12S=-12S=0,n=7,n>5，输出S=0，故选A．考点：程序框图．10、D【解题分析】

先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.【题目详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D.【题目点拨】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.11、C【解题分析】

本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【题目详解】则．故选C．【题目点拨】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．12、B【解题分析】

通过直角坐标和极坐标之间的互化，即可求得距离.【题目详解】将化为直角坐标方程为，把化为直角坐标点为，即到直线的距离为2，故选B.【题目点拨】本题主要考查极坐标与直角坐标之间的互化，点到直线的距离公式，难度不大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、168【解题分析】

根据向量，设，列出方程组，求得，得到，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.【题目详解】由题意，向量，设，又因为，所以，即，解得，所以，所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、1【解题分析】

直接将代数式4x+y与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【题目详解】由基本不等式可得，当且仅当，等号成立，因此的最小值为1，故答案为：1．【题目点拨】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15、72【解题分析】

模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，可得当时不满足条件，退出循环，输出的值为72.【题目详解】模拟程序的运行，可得满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，;满足条件，执行循环体，，；不满足条件，退出循环，输出的值为72,故答案为72【题目点拨】本题考查循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．16、【解题分析】

由于与是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线与所成角，由此连接OP再利用中位线的性质得到异面直线与所成角为,并求出其正切值．【题目详解】连接，则，即为异面直线与所成的角，又，，，平面，，即，为直角三角形，.【题目点拨】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、；.【解题分析】

化简得到，再利用夹角公式得到答案.，根据向量关系化简得到，再平方得到得到答案.【题目详解】，.又，，，..又，.，，，，.【题目点拨】本题考查了向量的计算，将表示出来是解题的关键，意在考查学生对于向量公式的灵活运用和计算能力.18、①答案见解析；②能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.【解题分析】分析：①.由题意结合等高条形图求得相应的人数，然后绘制列联表即可；②.结合①中的列联表计算的观测值：，则能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.详解：①由男女生各100人及等高条形图可知耳鸣的男生有人，耳鸣的女生有人，∴无耳鸣的男生有100-30=70人，无耳鸣的女生有100-50=50人，所以列联表如下：有耳鸣无耳鸣总计男3070100女5050100总计80120200②公式计算的观测值：，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．19、(1)；月销售量不低于12万件时销售单价的最大值为；(2)分布列见详解，数学期望为.1（万元）.【解题分析】

（1）先计算的平均数，根据已知公式，代值计算即可；再根据所求方程，解不等式即可；（2）根据题意，求得的可取值，结合题意求得分布列，再根据分布列求数学期望即可.【题目详解】（1）容易知；；又因为，，故可得，，故所求回归直线方程为：.令，故可得.故月销售量不低于12万件时销售单价的最大值为.（2）容易知可取值为：，（单位为：万元）故，，，..故其分布列如下所示：则（万元）.【题目点拨】本题考查线性回归直线方程的求解，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，属综合中档题.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面积为定值1．【解题分析】试题分析：（1）根据条件可得，再设直线的方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理和已知条件，即可求出的值；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，即，，根据，求得和的关系式，代入椭圆的方程求得点的横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出和，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案.试题解析：（1）由题可得：，，所以，椭圆的方程为设的方程为：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：（2）①直线斜率不存在时，即，∵∴，即又∵点在椭圆上∴，即∴，∴，故的面积为定值1②当直线斜率存在时，设的方程为，联立得：∴，，∴所以三角形的面积为定值1.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问