2024届吉林省吉林市高二数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届吉林省吉林市高二数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考、两位监考参加2019年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为（）A．105 B．210 C．240 D．6302．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（）A．30个 B．42个 C．36个 D．35个3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．4．在长为的线段上任取一点现作一矩形,领边长分别等于线段的长,则该矩形面积小于的概率为（）A． B． C． D．5．已知点和，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①；②；③；④．其中是“椭型直线”的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．③④6．已知，其中、是实数，是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．设，则的展开式中的常数项为（）A． B． C． D．8．设i是虚数单位，则复数i3A．-i B．i C．1 D．-19．已知函数，则的值为（）A． B．1 C． D．010．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（）A．24 B．60 C．72 D．12011．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（）.A．垂直 B．平行C．直线在平面内 D．直线在平面内或平行12．设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，有下列命题：①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等，那么；其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．②④ D．②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．观察下列等式，，，，，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________.14．己知关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______.15．设集合,,则____________.16．集合的所有子集个数为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计，随机抽取的100名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图.（1）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于70千米的人数；（2）已知跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，现在从跑步千米数在的跑友中抽取3名代表发言，用表示所选的3人中跑步千米数在的人数，求的分布列及数学期望.18．（12分）求证：19．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：（1）请根据上表提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据:）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．参考公式：，；相关系数；20．（12分）（1）解不等式：.（2）己知均为正数.求证：21．（12分）某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.①②③（是虚数单位）（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.22．（10分）已知直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点.（I）当直线经过抛物线的焦点，时，求点的横坐标；（Ⅱ）若，求点横坐标的最小值，井求此时直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】试题分析：由题意得，先选一名女教师作为流动监控员，共有种，再从剩余的人中，选两名监考员，一人在前方监考，一人在考场后监考，共有种，所以不同的安排方案共有种方法，故选B．考点：排列、组合的应用．2、C【解题分析】

解：∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，a从剩余的6个选一个有6种，∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）．故选C3、B【解题分析】

设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可．【题目详解】设“东方魔板”的面积是4，

则阴影部分的三角形面积是1，

阴影部分平行四边形的面积是则满足条件的概率故选：B【题目点拨】本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题．4、C【解题分析】试题分析：设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比解：设AC=x，则BC=12-x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12-x）＜32，则x＞8或x＜4,即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故选C考点：几何概型点评：本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题5、C【解题分析】

先确定动点的轨迹为椭圆，再考虑各选项中的直线与椭圆是否有公共点后可得正确的选项.【题目详解】由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为．对于①，把代入，整理得，由，知不是“椭型直线”；对于②，把代入，整理得，所以是“椭型直线”；对于③，把代入，整理得，由，知是“椭型直线”；对于④，把代入，整理得，由，知不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．故：C．【题目点拨】本题考查直线与椭圆的位置关系，此类问题一般联立直线方程和椭圆方程，消去一个变量后通过方程的解的个数来判断位置关系，本题属于基础题.6、D【解题分析】

由得，根据复数相等求出的值，从而可得复数的共轭复数，得到答案.【题目详解】由有，其中、是实数.所以，解得，所以则复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点为.所以复数的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D【题目点拨】本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题.7、B【解题分析】

利用定积分的知识求解出，从而可列出展开式的通项，由求得，代入通项公式求得常数项.【题目详解】展开式通项公式为：令，解得：，即常数项为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式的形式.8、C【解题分析】分析：由条件利用两个复数代数形式的除法运算，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．详解：i3∴复数i3故选C点睛：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．9、D【解题分析】

求出的导函数，代入即得答案.【题目详解】根据题意，，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查导函的四则运算，比较基础.10、B【解题分析】

由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不同的排法.本题选择B选项.11、D【解题分析】∵直线的一个方向向量，平面的一个法向量∴∴直线在平面内或平行故选D.12、B【解题分析】

根据线面垂直与线面平行的性质可判断①;由直线与平面垂直的性质可判断②;由直线与平面平行的性质可判断③;根据平面与平面平行或相交的性质,可判断④.【题目详解】对于①如果,,,根据线面垂直与线面平行性质可知或或,所以①错误对于②如果,,根据直线与平面垂直的性质可知,所以②正确;对于③如果,,根据直线与平面平行的判定可知,所以③正确;对于④如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等,当两个平面相交时,若三个点分布在平面的两侧,也可以满足条件,所以错误,所以④错误;综上可知,正确的为②③故选:B【题目点拨】本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的性质,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.【题目详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n个式子从n开始，有项，于是答案为：.【题目点拨】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.14、【解题分析】

对和讨论，利用二次函数的性质列不等式求实数的取值范围.【题目详解】解：当时，对恒成立；当时，，解得，综合得：，故答案为：.【题目点拨】本题考查二次不等式恒成立的问题，要特别注意讨论二次项系数为零的情况，是基础题.15、{2,4,6,8}【解题分析】分析：详解：因为,,表示A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.16、8【解题分析】试题分析：∵集合有3个元素，∴集合的所有子集个数为考点：本题考查了子集的个数点评：解决此类问题常常用到：若集合有n个元素，则该集合的所有子集个数为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）60人；（2）分布列见解析，.【解题分析】

（1）由图可得（2）先求出跑步千米数在的人数，再依题意求出其他区间的人数，可知跑步千米数在的人数为2，跑步千米数在的人数为5，列出分布列求解即可【题目详解】（1）由频率分布直方图可得跑步千米数不小于70千米的人数为.（2）由频率分布直方图可知，跑步千米数在的人数为，所以跑步千米数在的人数为.因为跑步千米数在的人数为，所以跑步千米数在的人数为，则跑步千米数在的人数为.所以的所有可能取值为0，1，2，则；；.所以的分布列为012故数学期望.【题目点拨】本题考察的频率分布直方图的识别和超几何分布18、证明见解析．【解题分析】试题分析：此题证明可用分析法，寻找结论成立的条件，由于不等式两边均为正，因此只要证，化简后再一次平方可寻找到没有根号，易知显然成立的式子，从而得证．试题解析：证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得即因为成立，所以成立即证明了【题目点拨】(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.19、（1）见解析；（2）；（2）3【解题分析】分析：（1）计算出相关系数即得；（2）根据所给公式计算出回归直线方程的系数可得回归直线方程；（2）代入（2）中回归直线方程可得预测值．详解：（1）6×2＋8×2＋10×5＋12×6＝158，＝＝9，＝＝3，62＋82＋102＋122＝1．，线性相关性非常强.(2)158，=9，＝3，1．＝＝＝0.7，＝－＝3－0.7×9＝－2.2，故线性回归方程为＝0.7x－2.2．（2）由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，＝0.7×9－2.2＝3，故预测记忆力为9的同学的判断力约为3．点睛：本题考查回归分析，考查回归直线方程，解题时只要根据所给数据与公式计算相应的系数就可得出所要结论，本题考查学生的运算求解能力．20、（1）；（2）证明见解析【解题分析】

（1）分别在、、三个范围内去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将所证结论变为证明，利用基本不等式可证得结论.【题目详解】（1）当时，，解得：当时，，无解当时，，解得：不等式的解集为：（2）均为正数要证，只需证：即证：，，三式相加可得：（当且仅当时取等号）成立【题目点拨】本题考查绝对值不等式的求解、利用基本不等式证明不等关系的问题，考查分类讨论的思想、分析法证明不等式和基本不等式的应用，属于常考题型.21、（I）（II）结论为（且不同时为零），证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）将三个式子化简答案都为.（II）观察结构归纳结论为，再利用复数的计算证明结论.【题目详解】（I）（II）根据三个式子的结构特征及（I）的计算结果，可以得到：（且不同时为零）下面进行证明：要证明只需证只需证因为上式成立，所以成立.（或直接利用复数的乘除运算得出结果）【题目点拨】本题考查了复数的计算和证明，意在考查学生的归纳能力.22、（I）2；（Ⅱ），或