2024届浙江绍兴市数学高二第二学期期末监测试题含解析

2024届浙江绍兴市数学高二第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，如果函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．2．在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为至的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有个号码为中奖号码，若从中任意取出个小球，其中恰有个中奖号码的概率为，那么这个小球中，中奖号码小球的个数为A． B． C． D．3．若为纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．2 C．-3 D．34．已知为虚数单位，实数满足，则A．1 B． C． D．5．已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．6．给出一个命题p：若，且，则a，b，c，d中至少有一个小于零，在用反证法证明p时，应该假设（）A．a，b，c，d中至少有一个正数 B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于或等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数7．若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，为坐标原点，则的面积与的面积之比为A． B． C． D．29．—个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是（）A．6米秒 B．7米秒 C．8米秒 D．9米秒10．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A．72种 B．36种 C．24种 D．18种11．已知是可导函数，且对于恒成立，则A． B．C． D．12．设且，则“”是“”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,则“”的概率是____________.14．在斜三棱柱中，底面边长和侧棱长都为2，若，，且，则的值为________15．已知双曲线的焦距为，则其离心率为__________．16．将三项式展开，当时，得到以下等式：……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数.若在的展开式中，项的系数为75，则实数a的值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．18．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的直线距离最大的点的直角坐标.19．（12分）为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车与电动自行车两种车型，采用分段计费的方式租用.型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过分钟还车的概率分别为，并且四个人每人租车都不会超过分钟，甲乙丙均租用型车，丁租用型车．（1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布和数学期望．20．（12分）已知集合，.（1）若，，求实数的取值范围；（2）若，且，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）求函数的定义域并判断奇偶性；（2）若，求实数m的取值范围.22．（10分）已知(a∈R).（1）当时,判断f(x)在定义域上的单调性；（2）若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值；（3）若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立，试求

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：求函数的导函数，并化简整理，结合函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点进行讨论即可.详解：函数的定义域为(0, +∞)①当时，恒成立，令，则，即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极小值，符合题意；②当时，时，又函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，在处取得极值.从而或恒成立，构造函数，，设与相切的切点为，则切线方程为，因为切线过原点，则，解得，则切点为此时.由图可知：要使恒成立，则.综上所述：.故选：C.点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．2、C【解题分析】

利用古典概型列出恰有1个中奖号码的概率的方程，解方程即可．【题目详解】依题意，从10个小球中任意取出1个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为，所以，所以n（10﹣n）（9﹣n）（8﹣n）＝180，（n∈N*）解得n＝1．故选：C．【题目点拨】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于中档题．3、C【解题分析】

本题首先可以确定复数的实部和虚部，然后根据纯虚数的相关性质即可列出方程组，通过计算即可得出结果．【题目详解】因为为纯虚数，所以，解得，故选C．【题目点拨】本题考查复数的相关性质，主要考查纯虚数的相关性质，纯虚数的实部为0且虚部不为0，考查运算求解能力，考查方程思想，是简单题．4、D【解题分析】分析：利用复数相等求出值，再由复数模的定义求得模．详解：由已知，∴，∴．故选D．点睛：本题考查复数相等的概念的模的计算．解题时把等式两边的复数都化为形式，然后由复数相等的定义得出方程组，即可求得实数．5、A【解题分析】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，在点或点处取得最小值，即．题中的不等式即：，则：恒成立，原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有：，令，则，令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，据此可得，当时，函数取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为：．综上可得，实数的最大值为．本题选择A选项．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．6、C【解题分析】

由“中至少一个小于零”的否定为“全都大于等于”即可求解.【题目详解】因为“a，b，c，d中至少有一个小于零”的否定为“全都大于等于”,

所以由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“全都大于等于”,

故选：C.【题目点拨】本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题.7、A【解题分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【题目详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【题目点拨】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.8、D【解题分析】

设点位于第一象限，点，并设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，由抛物线的定义得出点的坐标，可得出点的纵坐标的值，最后得出的面积与的面积之比为的值.【题目详解】设点位于第一象限，点，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，得，，由抛物线的定义得，得，，，，可得出，，故选：D.【题目点拨】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。9、D【解题分析】分析：求出运动方程的导数，据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=3时的值，即为物体在3秒末的瞬时速度详解：∵物体的运动方程为s=1﹣t+t2s′=﹣1+2ts′|t=5=9.故答案为：D.点睛：求物体的瞬时速度，只要对位移求导数即可．10、B【解题分析】

根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【题目详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有C3若甲村有2外科,1名护士,则有C3则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，故选：B.【题目点拨】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.11、D【解题分析】分析：构造函数，利用导数判断其单调性即可得出.详解：已知是可导函数，且对于恒成立，即恒成立，令，则，函数在R上单调递减，，即，化为.故选：D.点睛：本题是知识点交汇的综合题，考查综合运用函数思想解题的能力，恰当构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.12、C【解题分析】或;而时,有可能为.所以两者没有包含关系,故选.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：骰子连续抛掷2次共有36种结果，满足的有6种详解：一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,则共有种结果，满足共有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)6种则”的概率是点睛：古典概型概率要准确求出总的事件个数和基本事件个数，然后根据概率公式求解.14、4【解题分析】

根据向量线性运算分别表示出,结合向量数量积运算即可求解.【题目详解】根据题意,画出空间几何体如下图:,,,且,且底面边长和侧棱长都为2则,所以故答案为:4【题目点拨】本题考查了空间向量的线性运算和数量积的应用,属于基础题.15、【解题分析】分析：已知双曲线的焦距为，故c=，然后根据焦点位置的不同由建立等式关系即可得出m，再求离心率即可.详解：由题可知：当m<2时，焦点在x轴上，，此时或者当m>3时，焦点在y轴，，此时，故综合得离心率为点睛：考查双曲线基本性质和标准方程，属于基础题.16、2【解题分析】试题分析：根据题意可知的展开式为，所以的展开式中项是由两部分构成的，即，所以，解得：。考点：二项式定理及其应用。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）最大值为6，,最小值为【解题分析】

（1）求出定义域和导数，由导数大于零，可得增区间，由导数小于零，可得减区间。（2）由（1）可得函数在区间上的单调性，由单调性即可求出极值，与端点值进行比较，即可得到函数在区间上的最大值和最小值。【题目详解】（1）函数的定义域为，由得令得，当和时，；当时，，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间．（2）由（1），列表得单调递增极大值单调递减极小值单调递增因为，，，所以在区间上的最大值为6，,最小值为．【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，考查学生的基本运算能力，属于基础题。18、(1)(2)【解题分析】分析：（1）利用极坐标与直角坐标互化公式可得曲线的直角坐标方程为.（2）直线方程为，设圆上点的坐标为，结合点到直线距离公式和三角函数的性质可知满足题意时点坐标为.详解：（1）因为，，，所以曲线的直角坐标方程为.（2）直线方程为，圆的标准方程为，所以设圆上点坐标为，则，所以当，即时距离最大，此时点坐标为.点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”，即4人均不超过30分钟。（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10，其余2人付5，分3种情况。用相互独立事件同时发生概率公式与互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根据分类可知随机变量的所有取值为25，30，35，40，45，50,求出概率及期望。【题目详解】（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件，即4人均不超过30分钟，则.答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是（2）由题意，甲乙丙丁在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为，设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件，则答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是．（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量的值为25，即为事件，由（1）所以.②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为事件和.i.事件对应的的值为30，此时；ii.事件对应的的值为35，此时.③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和.i.事件对应的的值为35，此时；i.事件对应的的值为40，此时④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”和“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和.i.事件对应的的值为40，此时；i.事件对应的的值为45，此时.⑤记“4人均超过30分钟”为事件，则随机变量的值为50，此时；综上：随机变量的所有取值为25，30，35，40，45，50，且；；；；；；所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为253035404550所以.答：甲乙丙丁四人所付费用之和的数学期望为.【题目点拨】本题综合考查相互独立事件同时发生概率公式与互斥事件的和事件概率公式，同时考查离散型随机变量的分布列及其期望，需要学生分类清晰，逻辑有条理，运算准确。20、（1）；（2）【解题分析】

结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合和集合；（1）由交集定义得到，分别在和两种情况下构造不等式求得结果；（2）由并集定义得到，根据交集结果可构造不等式求得结果.【题目详解】（1）当时，，解得：，满足当时，，解得：综上所述：实数的取值范围为（2），解得：实数的取值范围为【题目点拨】本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.21、（1）见解析；（2）或.【解题分析】

（1）由，求得x的范围，可得函数y＝f（x）定义域，由函数y＝f（x）的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝f（x），可得函数y＝f（x）为偶函数；（2）化简函数f（x）的解析式为所，结合函数的单调性可得，不等式等价于，由此求得m的范围．【题目详解】（1）由得,所以的定义域为，又因为，所以偶函数.（2）因为所以是[0，3）上的减函数,又是偶函数.故解得或.【题目点拨】本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，复合函数的单调性，属于中档题．22、（1）见解析；（2）a=-e【解题分析】分析：（1）f(