湖北省黄冈市蔡河中学2024届数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

湖北省黄冈市蔡河中学2024届数学高二第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在一组数据为，，…，（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为，则所有的样本点满足的方程可以是（）A． B．C． D．2．将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（）种A．12 B．36 C．72 D．1083．椭圆的长轴长为（）A．1 B．2 C． D．44．从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（）A． B． C． D．5．已知命题，则为A． B．C． D．6．运行下列程序，若输入的的值分别为，则输出的的值为A． B．C． D．7．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则8．三棱锥中，，，为的中点,分别交，于点、，且，则三棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．9．已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为，体积为，则球的表面积为（）A． B． C． D．10．如果（，表示虚数单位），那么()A．1 B． C．2 D．011．已知集合，，则()A． B． C． D．12．半径为2的球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数y=3sin(2x+π14．若函数为偶函数，则．15．有7张卡片分别写有数字从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是__________．16．已知随机变量，则___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的焦点弦的弦长为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线，互相垂直，直线过且与椭圆交于点，两点，直线过且与椭圆交于，两点.求的值.18．（12分）已知集合，，若，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数.（1）若在处，和图象的切线平行，求的值；（2）设函数，讨论函数零点的个数.21．（12分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．22．（10分）已知曲线的参数方程是为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别是、，直线与曲线相交于P、Q两点，射线OP与曲线相交于点A，射线OQ与曲线相交于点B，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据相关系数的概念即可作出判断.【题目详解】∵这组样本数据的相关系数为，∴这一组数据，，…线性相关，且是负相关，∴可排除D，B，C，故选A【题目点拨】本题考查了相关系数，考查了正相关和负相关，考查了一组数据的完全相关性，是基础的概念题．2、B【解题分析】试题分析：第一步从名实习教师中选出名组成一个复合元素，共有种，第二步把个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有,根据分步计数原理不同的分配方案有种，故选B．考点：计数原理的应用．3、D【解题分析】

由椭圆方程得出即可【题目详解】由可得，即所以长轴长为故选：D【题目点拨】本题考查的是由椭圆的方程得长轴长，较简单4、D【解题分析】

从、、中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果.【题目详解】由排列数的定义可知，从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为.故选：D.【题目点拨】本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.5、C【解题分析】分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。详解：，故选C点睛：带全称、特称量词的否定，命题“，则成立”的否定：，则成立命题“，则成立”的否定：，则成立6、B【解题分析】分析：按照程序框图的流程逐一写出即可详解：第一步：第二步：第三步：第四步：最后：输出．，故选B．点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式．7、C【解题分析】

根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断．【题目详解】对于A选项，若，，则与平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B选项，若，且，，，根据直线与平面平行的判定定理知，，，但与不平行；对于C选项，若，，在平面内可找到两条相交直线、使得，，于是可得出，，根据直线与平面垂直的判定定理可得；对于D选项，若，在平面内可找到一条直线与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知，只有当时，才与平面垂直．故选C．【题目点拨】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．8、B【解题分析】

由已知可知，是正三角形，从而，，进而，是的平分线，，由此能求出三棱锥体积的最大值.【题目详解】由题意得，，所以是正三角形，分别交，于点、，，，，,，，是的平分线，，以为原点，建立平面直角坐标系，如图：设，则，整理得，，因此三棱锥体积的最大值为.故选：B【题目点拨】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.9、C【解题分析】

正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．【题目详解】由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为，设正三棱柱的高为，由，得，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积为：．故选C．【题目点拨】本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．10、B【解题分析】分析：复数方程左边分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，利用复数相等求出即可详解：解得故选点睛：本题主要考查了复数相等的充要条件，运用复数的乘除法运算法则求出复数的表达式，令其实部与虚部分别相等即可求出答案．11、C【解题分析】

先求出集合M，由此能求出M∩N．【题目详解】则故选：C【题目点拨】本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12、D【解题分析】

根据球的表面积公式，可直接得出结果.【题目详解】因为球的半径为，所以该球的表面积为.故选：D【题目点拨】本题主要考查球的表面积，熟记公式即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、π【解题分析】

∵函数y=sinx的周期为∴函数y=3sin(2x+π故答案为π.14、1【解题分析】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．15、114【解题分析】

根据题意,按取出数字是否重复分4种情况讨论:①、取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4;②、取出的4张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2;③若取出的4张卡片为2张1和2张2;④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1.分别求出每种情况下可以排出四位数的个数,由分类计数原理计算可得答案．【题目详解】根据题意，分4种情况讨论：(1)取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时=24种顺序,可以排出24个四位数;(2)取出的4张卡片中有2个重复数字,则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1,在2、3、4中取出2个,有种取法,安排在四个位置中,有种情况,剩余位置安排数字1,可以排出3×12=36个四位数,同理,若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字;(3)若取出的4张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有种情况,剩余位置安排两个2,则可以排出6×1=6个四位数;(4)取出的4张卡片中有3个重复数字,则重复的数字为1,在2、3、4中取出1个卡片,有种取法,安排在四个位置中,有种情况,剩余位置安排1,可以排出3×4=12个四位数;所以一共有24+36+36+6+12=114个四位数.故答案为:114.【题目点拨】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,属于难题,有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率,难度较难.16、【解题分析】

利用正态密度曲线的对称性得出，可得出答案。【题目详解】由于随机变量，正态密度曲线的对称轴为直线，所以，，故答案为：。【题目点拨】本题考查正态分布概率的计算，解这类问题的关键就是要充分利用正态密度曲线的对称轴，利用对称性解题，考查计算能力，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】分析：（1）根据周长确定，由通径确定，求得，因而确定椭圆的方程．（2）分析得直线、直线的斜率存在时，根据过焦点可设出AB直线方程为，因而直线的方程为.联立椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程.由韦达定理求得和，进而.当AB斜率不存在时，求得，，所以．当直线的斜率为时，求得，，所以．即可判断．详解：（1）将代入，得，所以.因为的周长为，所以，，将代入，可得，所以椭圆的方程为.（2）（i）当直线、直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，则直线的方程为.由消去得.由韦达定理得，，所以，.同理可得..（ii）当直线的斜率不存在时，，，.（iii）当直线的斜率为时，，，.综上，.点睛：本题综合考查了圆锥曲线的定义、应用，对直线和圆锥曲线的位置问题，常见方法是设出直线方程，联立曲线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理解决相关问题，思路较为清晰，关键是注意计算，综合性强，属于难题．18、【解题分析】

化简集合A,B,由知，即可求解.【题目详解】由，得，，【题目点拨】本题主要考查了集合的交集，集合的子集，属于中档题.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）计算，以及根据函数在某点处导数的几何意义，可得切线斜率，然后根据点斜式，可得结果.（2）利用导数，采用分类讨论的方法，，以及判断函数的单调性，利用函数的最大值，可得结果.【题目详解】（1）当时，所以，则又，，∴所求切线方程为，即（2）①当时，在恒成立，②当时，由，得：由，得，∴函数在上递增，在上递减，，要使恒成立，只需满足即可，解得③若，由，得；由，得，∴函数在单调递增，在单调递减，∴，要使恒成立，只需满足即可，解得综上可得，的取值范围为．【题目点拨】本题考查函数导数的综合应用，难点在于对进行分类讨论，判断函数的单调性，属中档题.20、（1）（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）根据导数几何意义得解得，（2）按正负讨论函数单调性及值域：当时，在单增，,没有零点;当时，有唯一的零点;当时，在上单调递减，在上单调递增，;在单增，，所以时有个零点；时有个零点.试题解析：（1），由，得，所以，即（2）（1）当时，在单增，，故时，没有零点.（2）当时，显然有唯一的零点（3）当时，设，令有，故在上单调递增，在上单调递减，所以，，即在上单调递减，在上单调递增，（当且仅当等号成立）有两个根（当时只有一个根）在单增，令为减函数，故只有一个根.时有个零点；时有个零点；时有个零点；时有个零点；时，有个零点.21、(1).(2)采取方案二最好，理由见解析.【解题分析】

（1）设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，由题意可知，据此计算可得满足题意的概率值为.（2）由题意结合各个方案