天津市红桥区2023-2024学年高三上学期期中数学试题

天津市红桥区2023-2024学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合那么“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（

）A．–4 B．–2 C．2 D．43．已知，若，则的值为A． B．2 C． D．4．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A． B．C． D．5．设，，，则（

）．A． B． C． D．6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（

）A． B． C． D．7．已知等差数列满足，，等比数列满足，，则A．32 B．64 C．128 D．2568．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有两个极值点 B．有两个极小值C．为函数的极小值 D．为的极小值9．已知函数，当时，恒有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题10．已知函数在上有增区间，则a的取值范围是.11．已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则=12．如图，在中，，且，点满足，则.三、双空题13．已知函数，则的最小正周期为；在区间上的取值范围是.14．已知向量，，，若，则；若与的夹角为钝角，则的取值范围为.四、填空题15．若两个正实数x，y满足且任意的x，y使不等式恒成立，则实数m的取值范围是．五、解答题16．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值六、证明题17．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面为的中点..(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.18．已知为数列的前项和，（），且．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证：．七、解答题19．已知函数.(1)当时，求关于x的不等式的解集；(2)求关于x的不等式的解集；(3)若在区间上恒成立，求实数a的范围.20．已知函数．(1)若的单调递增区间为，求的值．(2)求在上的最小值．参考答案：1．A【详解】由得，可知“”是“”的充分而不必要条件．2．B【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C【详解】试题分析：因为，所以，因为，所以，解得，故选C．考点：1、向量垂直的坐标运算；2、同角三角函数的基本关系．4．B【分析】利用三角函数图像变换规则解题即可.【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到图象对应的函数解析式为，将的图象向左平移个单位得到的图象对应的解析式为.故选：B.5．C【解析】利用对数指数函数的单调性求出a,b,c的范围即得解.【详解】由题得，，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．A【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.【详解】依题意，设正方体的边长为，则，则正方体的对角线长为，所以正方体外接球球的直径，半径，所以球的体积为.故选：A.7．B【详解】由，可知数列,所以,故.故选B.8．B【分析】根据题意，由函数的图形，对分类讨论，得出函数的单调区间，结合极值点的定义，逐项判定，即可求解.【详解】由函数的图象，可得：当时，可得，所以，单调递减；当时，可得，所以，单调递增；当时，可得，所以，单调递减；当时，可得，所以，单调递增，所以，当时，函数极小值；当时，函数极大值；当时，，函数极小值，所以A错误，B正确，C错误，D错误.故选：B.9．C【分析】判断奇偶性，分段进行分类讨论，结合二次函数单调性，即可求得结果.【详解】易证函数f(x)为奇函数，∵时，恒有成立∴x=0时，f(a)<f(0)=0;当a=0时，f(a)=0舍去；当a>0时，不成立，舍去当a<0时，-，解得-1<a<0(i)时，，∴，即<0恒成立令h(x)=，则h(x)单调递减，∴解得(ii)下面证明时，当时恒成立时，x+a对称轴x=>若，则，成立；若，在单调递增，则恒成立综上故选：C【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，以及分段不等式求参数范围，属综合中档题；注意分类讨论.10．【解析】等价于存在使得成立，即成立，即得解.【详解】由题得，因为函数在上有增区间，所以存在使得成立，即成立，因为时，，所以.故答案为：【点睛】易错点点睛：本题是一个存在性的问题，存在使得成立，不是一个恒成立的问题，所以成立时，即，不是.遇到这样的题目，要注意区分存在性问题和恒成立问题.11．【详解】设数列公差为非零常数d，由题意，即，解得.所以.故答案为：12．【分析】先利用基底法求出，再利用数量积的运算法则即可得解.【详解】因为，所以，因为，，所以，则.故答案为：.13．【分析】根据题意，利用正弦型函数的最小正周期的公式，求得函数的最小正周期，在由正弦函数的性质，求得的取值范围，得到答案.【详解】由函数，可得函数的最小正周期为，又由，可得，所以，当，即时，函数取得最小值；当，即时，函数取得最大值，所以在的取值范围为.故答案为：；.14．【分析】先求得的坐标，再由共线向量的性质求解；由夹角为钝角可得且满足，求解即可.【详解】由题，，若，所以，则；若与的夹角为钝角，则且，所以且，即，故答案为：；15．【分析】由基本不等式求得的最小值,，然后解相应不等式得参数范围．【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4，由得．故答案为：．16．（1）B=60°（2）【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理17．(1)见解析.(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用二面角向量求法进行求解即可.【详解】（1）连接交于，连接,在中，为中点，为中点,所以，又因为平面，平面所以平面.（2）由题意侧棱底面所以底面，即，又，所以平面,所以可建立空间直角坐标系如图：以为原点，以，，分别为轴，轴，轴，则，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，取则所以平面的一个法向量为，因为底面，所以平面的一个法向量为,设二面角大小为，则，所以二面角的余弦值为18．（1）；（2）；（3）证明见解析【分析】（1）令代入方程，即可求出的值；（2）解法1：根据（）化简整理，结合等差数列的定义，可得是首项，公差为6的等差数列，代入公式，即可得答案.解法2：由题意得由，整理可得数列是以首项，公差为3的等差数列，代入公式，可得表达式，进而可得答案.（3）由（2）可得，进而可得，根据裂项相消求和法，即可得证【详解】（1）由和，可得，（2）解法1：当时，由得，整理得，所以所以数列是首项，公差为6的等差数列，所以；解法2：当时，由，可得所以，所以数列是以首项，公差为3的等差数列所以，即所以；（3）证明：由（2）知，所以，所以，得证19．(1)；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.【详解】（1）当时，则，由，得，原不等式的解集为；（2）由，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（3）由即在上恒成立，得.令，则，当且仅当，即时取等号.则，.故实数a的范围是20．(1)(2)答案见解析【分析】（1）对函数求导，利用导函数判断出其单调区间，再根据单调区间即可解