固体物理2 new 8电子输运理论

第七固体电子输运理输运性能带结三个问题引入第七固体电子输运理输运性能带结三个问题引入驰豫采用半经载流子受到的散射或碰外场下作外场和碰引入分布函数，并将这些影响归结到7.17.27.37.47.57.67.87.17.27.37.47.57.67.87.9外场下Bloch电子运动的半经典模外场和碰驰豫时间的统计理论电-声子相互作用金属电导磁输运性质热输运性电阻率霍尔效应热电效应磁电阻效热导Bloch电子运动的半经典模对外电场半经典含对晶格周每个电子具有确定的位r、波k和能Bloch电子运动的半经典模对外电场半经典含对晶格周每个电子具有确定的位r、波k和能带指标建立模型描述rk和n时间的变(1)电子总呆在同一能带中(2)忽略不同带间的跃迁模能带指标n1电子的速dr/dtn(k dk/dteE(r,t)n(k B(r,t)波矢随时1Bloch电子的运动方dr/dtn(k)k1Bloch电子的运动方dr/dtn(k)kn(kdk/dteE(r,t)n(k)B(r,t)对晶格周期场的量子力学n(k)函数中理全部概括能带结输运性提供了从能带结构推断出电子输运基于输运性质的测量结推断出电子的能带结输运性同基于理论得到的能带结构进行比较从而验证能能带结§7.2Boltzmann方对固体中电子输运性质的了解，除载子受到的散射或碰撞外，需要知道外场作用下载流子的运动规律以及外场和外场下载§7.2Boltzmann方对固体中电子输运性质的了解，除载子受到的散射或碰撞外，需要知道外场作用下载流子的运动规律以及外场和外场下载流子运动规引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的撞同时作用对载流子输运性质的影响现在要解外场同时对于体积样品，t时刻、第n个能带中，在定处drdk相空间体积内的电子数为：的是同一带中的电子fn(r,k;t)drdk/3f1J 43每一个电子对电所以总电作用对f的影响？k在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电统的在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电统的分布函数为费米分布函1f)与位置无关e(ku)/0k1有外场/温度不均匀相应的分（ r,k,r,k,如何随时间变化呢vdt,kkdt,tt时刻（r,k）处的电必来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处vdt,kkdt,tt时刻（r,k）处的电必来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处rvdt,kkdt,tf若没有碰撞，则f(rdt,kkdt,tf(r,k,t)由于碰撞的存在，dt时间内从（r-dr,k-）处出发的电子并不都能到达（r,k）处，另一方面，t时刻（r,k）处的电子也并非都来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的fr,k,（r,k,若将因碰撞引起的f(f 则有成f(rdt,kkdt,tdt)(t)collf(r,k,t)f(rdt,kkdt,tdt)(t)collf(r,k,t)右边第一项展开，保留到dt的线性项，f(rdt,kkdt,tdt)(t)collf(r,k,t)右边第一项展开，保留到dt的线性项，f(r,k,t) r f(r,k,)ttk rk()ttk对于稳Boltzmann方决定于体系的能带结半经典模与外1dr/dtBoltzmann方决定于体系的能带结半经典模与外1dr/dtn(k)kn(keE(r,t)(k)B(r,t)dk/dtn因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞§7.3外场和碰撞作用rfkkf通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少ff01温度梯度的存在引起不均匀的分布函(1)温度场忽略掉温度梯度对f1的影响1/[e(u)/k 0§7.3外场和碰撞作用rfkkf通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少ff01温度梯度的存在引起不均匀的分布函(1)温度场忽略掉温度梯度对f1的影响1/[e(u)/k 0fTf010rek(2)0eE.k k]k kkkf0rfff(kkkf0rfff(kek k ]k.(4)碰撞玻尔兹曼方程最复杂(4)碰撞玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简假设没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。一般可以用弛豫时间来描述这个恢复过程：该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数弛豫回到平衡分布负号源于偏离随时间的增加方程的解f1(t0)etff0代rfkkf温度场、电场、磁场及碰撞作用同时存在下的Boltzmann方程Bfe eE代rfkkf温度场、电场、磁场及碰撞作用同时存在下的Boltzmann方程Bfe eE r)k碰磁温度场电固体电阻率e001r)B(1k直流电导率rkk流密度可表4Jf1k在没固体电阻率e001r)B(1k直流电导率rkk流密度可表4Jf1k在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为eE同时注意（ k)f0(kE)f0(kx)f(0)f'(0)泰勒定理ff0E ff0E 0f(ke说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了 k)0EE或者说，在空间中，外加电场引E球刚性平f(ke说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了 k)0EE或者说，在空间中，外加电场引E球刚性平1(kvk/k注意到fv(k kff(vffEf00 知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数在相空间求积分：1J 知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数在相空间求积分：1J evf41e4v(v考虑K空间的两个等能两个等能面之间的距离为面元为dkdkdkk考虑K空间的两个等能两个等能面之间的距离为面元为dkdkdkkJv(v0k1(E)f0k )/kT]kFBf0f/J4v(v由只在费米0面附近才不为零kf0f/J4v(v由只在费米0面附近才不为零k()Fv(vE) 所以积分只需考虑在费米面JS3Fk考虑一个立方体晶体，外场方向沿着Ox方向，电流沿着OxvJx 2 Sx3Fk所以立方体晶体的电导14利用对称2xFx1kk(k以14利用对称2xFx1kk(k以及vkm21得3SF利得(3n2)1/4(3n2kSFFvk/m和在自由电子气模型中得到的结果形式上相同，不同之处有两点，质量，一是电子的质量为有效二是驰豫时间为费米面上电子的驰豫时间库仑作用等，往往存在着多种散射机制在多种散Pi代表第k种机制单位射机制引起的电阻率之总散射驰豫时间1库仑作用等，往往存在着多种散射机制在多种散Pi代表第k种机制单位射机制引起的电阻率之总散射驰豫时间11P11k1故有由于导马西森(Matthiessen)i导体电阻＝0＋杂质、缺陷等散电子－声子相互作用电子－电子相互作用磁散射磁散射有关的电阻率声子散射有关的电阻率子相互作用有关的电阻率§7.4.2电-声子相互作用对理想完整的晶体，绝对零度时离子实处在严格周期排列的位置Rnn1a1n2a2§7.4.2电-声子相互作用对理想完整的晶体，绝对零度时离子实处在严格周期排列的位置Rnn1a1n2a2晶体中共有化运动的电子是在和晶格具有相同周期的势场中运动：V(r)V(rRnL在这样的周期场中运动的电子，其状态是由确定能量和确定波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。离子实对平衡位置的偏离当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发小的振动，使得电子势变成VL(r)VL(ru(Rn'明显地，周期势场因晶格振动而被破坏ˆH'V(rRu(R))VL(rnRˆH'V(r)u(R))VL(r假设偏离很小，则nu(RV(RˆH'V(r)u(R))VL(r假设偏离很小，则nu(RV(r可看作为微扰，它使得电子从一个稳定态跃迁Ln为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学将波矢q、频率u(Rn)Aecos(qRn为振动方向上的单位矢e12 AeeqRnAee(qRnt2令 1eVR则s 'Ln2'eitseit这是量子在这样的微扰下，电子从k态跃迁到k’'eitseit这是量子在这样的微扰下，电子从k态跃迁到k’22swk,kkkkkk2(k'ks函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，kkkkkk离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波kk离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波kk因此晶格振动对电子的散射实际上就是晶格运动对电子的散射过程相当于电通过吸收（+）或发射声子（-），从一个稳定态跃迁到另一稳定态的过程。量子力学语言kk发射声子吸收声子k12q散射矩阵其中 □V(rRRAenLn12AeV(rR)qskkkk12q散射矩阵其中 □V(rRRAenLn12AeV(rR)qskkkLnk(rR(rnknk12kkL(r)i(kk'qeAenRn由于晶格平移对称性，求和部分仅仅当波矢之给出晶格动量守恒关系，即k'kqkk能量守恒动量守恒k'kqkk能量守恒动量守恒k'kqkk 正常过程或N过程此k'k说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q的声子跃迁到末态k的过程能量和动量均是守恒的。kkqq k吸收声子发射声子kk此 倒逆过程或U过程k'kk此 倒逆过程或U过程k'kq说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为跃迁到末态k的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。§7.4.3驰豫时间(f该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数弛豫回到平衡分布碰撞项(f另外一方面，碰撞项也可以表示为：b代表单位时间内因碰撞离开（r，k）若电子从k态跃迁到k’态的几率为wk,k’原理，则bwk,kkawk若电子从k态跃迁到k’态的几率为wk,k’原理，则bwk,kkawkf(k')[1f(kf(k)[1f(k同理有k(ff(k)]wkf(k)[1f(k因f(k{wk,kk可以论证wk,k'wk则(fwk,k'[f(k')f(kkwk,k'[f1(k')f1(kkf1(k(fk,k'[f1(k')1kff1(k(fk,k'[f1(k')1kf(kfk 1()f1(v在外加电对球形费 1[1cos如取电场方向为k方向，则有k,kk为k和k’之间的夹1 wk,k'[1cos]dk写成积分3§7.4.4声子散射有关的电阻率随温度的变ne(EF1mne2(EF§7.4.4声子散射有关的电阻率随温度的变ne(EF1mne2(EFm1 (2故电阻率不仅与跃迁几率有关，还涉及（1-cos）的权重因子[1cos]dkwk,k很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子相互作用导致电子从态到态的跃迁，其跃迁几率正比于该格波振幅的平方u(RnAecos(qRn所描述的格波模晶格中每21212sin2RMn21212MA22sin2MRn21214对时间平Mt1N个原子总的振动动能4可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联21212MA22sin2MRn21214对时间平Mt1N个原子总的振动动能4可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，用声子语言，则是比例于相应的声子数1n()频率为的格波的声子按德拜模e/ 3V 2dD)g(NDe/22C00/Nwk,k高同时，高温下涉及的声子波矢较大，1cos与温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即/Nwk,k高同时，高温下涉及的声子波矢较大，1cos与温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即/低TkNT另外一方面，低温下涉及的声子波矢小，需要考虑(1-cos)因子的影响qqksin/2F 1cos2sin2/2(2qkBT/1cosTT布洛赫-格林艾森T5更一般情称为布洛赫-格林艾森公A为材料有关的常数，M原子质量，D为德拜温度T0.5更一般情称为布洛赫-格林艾森公A为材料有关的常数，M原子质量，D为德拜温度T0.5高A4T意味着高温时，因电－声子相互作用引起的电阻率随温度降低而线性减小(T)MDT低意味着低温时，因电－声子相互作用引起的电阻率按T5关系随温度降低而减少AT(T)MD§7.4.5极化子(polarons)有关的§7.4.5极化子(polarons)有关的电阻电－声子电－声子相互作用最通常的效应表现在电阻率对温度的依赖关系上，电子被声子所散射，温度越高，存在电－声子相互作用一个更为微妙的效应是在金属和绝极化子的以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程KCl形成弹性点阵由于K离子带正电，如果传导电子出现在K离子附近则传导电子KCl形成弹性点阵由于K离子带正电，如果传导电子出现在K离子附近则传导电子和K离子之间的库仑吸引力作用，使得K离子向传导电子靠近弹性点同样由于Cl离子带负电意味着，在弹性点阵情况下K或Cl离子会因为同传导电子之间的库仑力作用而发生位当传导电子经过时，传导电子和Cl离子之间的库仑排斥力作用使得Cl离子远离传导电子电子加上与之联系的应变场称为一个极化电子加上与之联系的应变场称为一个极化子离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速度变缓。在极端情况下，传导电子自陷于应变场中，或者成为束缚态电子。极化子有关的电阻高高温下，传导电子借助于热激活机理可以从一个束缚态过渡到另一个束缚态无外场时势能曲线xV(x)传导电子越过势垒向左和向右的几率势一样的极化子有关的电阻高高温下，传导电子借助于热激活机理可以从一个束缚态过渡到另一个束缚态无外场时势能曲线xV(x)传导电子越过势垒向左和向右的几率势一样的P)0kBxV(x)外场的作而传导左端势垒高度增E102 v]0右kBE102 xV(x)外场的作而传导左端势垒高度增E102 v]0右kBE102 v]0左kB因此，传导越过势垒向右的净几率1/在弱场或高温下而电阻率利1/sinhx 1E/k/)exx E/k 低低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶三十年多I.G.低低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶三十年多I.G.LangandYu.AFirsov,Sov.Phys.JEPT16,按照该理论，低温（kT<2tp）下电阻率其中tP是极化子跳跃积分，a为晶格常数，驰豫率率，A为常数，取决于其中s为软光学模式的平均频率C为正比于极化子有效质量的常电子-电子相互吸引作用的简单模1950年弗烈里希(Frolich)指出：电子-声子相互作用能把两电子-电子相互吸引作用的简单模1950年弗烈里希(Frolich)指出：电子-声子相互作用能把两个子耦合在一起，这种耦合就好像两个电子之间有相互作用一为了明确整齐排列的理想点阵中的两个电当第一个电子通过晶格时，电子与离子点阵的库仑作用使晶格畸变如果我们忘记第一个电子对晶格造成畸变的过程，而只看最后结果，将是第一个电子吸引第二个电子§7.5磁场中11、自由电子的准经典运kE(§7.5磁场中11、自由电子的准经典运kE(k磁场中电子运动的基本方ev(k)自由电子的能v(k)m2kE(k)e(kBmd2k(eB)2xdtm2dd2k(eB)2xdtm2dy)2dtym可见k空间电子0m实空间电子的运实空间电子的运d2x(eB)2xdtd2x(eB)2xdtm2dy)2m可见在(x,y)平面做匀速圆周运2、自由电子情况的量子理ˆH2无磁场时2、自由电子情况的量子理ˆH2无磁场时自由电子哈密顿算2(k2k2k2电子的本征能E(k)xyzk2n(ix,y,为整数iiiLN个电子基态k=0态开始，按能量由低到高依次填充，最后得到一个费米球。外加磁场，假设磁场沿z轴mv磁场中电子的外加磁场，假设磁场沿z轴mv磁场中电子的势动量（场动量因此磁场中电子的哈密顿算1eBy)2ˆ2ˆ2[(xyz因此，磁场中运动的电子满足的薛定鄂方程1[( eBy)2ˆ2ˆ2zxy1[( ˆ2ˆ2zxy1[( ˆ2ˆ2zxy代入得到应满足的方令令 m(y)](y)(22002m2显然，这是简谐振子的薛定鄂方 m (y2)](y)(2my22001(y m (y2)](y)(2my22001(y(y)H[(yy00谐振子波函2n00 (n1谐振子的能n02ei(kxxkzz)(而电子波函1(yH[(y002n002k2k12En z(n 01(yy ei(kxxkzz)(1(yy ei(kxxkzz)(yH2n002k1E(n 2 表明：沿磁场方向（z方向）电子保持自由运动2k 相应的动能在垂直磁场的(x,y)平面上，电子运动是量子化的1(n k22从准连续的能变成xy这些量子化的能级称为朗道在垂直于上量子化，简并到Landua这样在空间中，许可态的代表点将简并到Land在垂直于上量子化，简并到Landua这样在空间中，许可态的代表点将简并到Landua管上，其截面为Landa环，如图。BB3、晶体中电子的情晶体中电子在磁场中的运动时，3、晶体中电子的情晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿算1V(r2处理思路：将周期性势场的影响概括为有效质量的变——212m正是此电子的质量是有效质量m*磁场下晶体中电子的波函1(yei(kxxkzz)磁场下晶体中电子的波函1(yei(kxxkzz)H00(y2n00(n122022m0m在垂直于上量子化，简并到LanduaB4晶体中电子在磁场中运动，采用有效质量近似后，电子做螺旋运动，回转频率在垂直于磁场4晶体中电子在磁场中运动，采用有效质量近似后，电子做螺旋运动，回转频率在垂直于磁场的方向施加一个交变电场，电子将吸收交变电场的能电子发生共振吸收，称为回旋共电子吸收电场的能量，电子实现了从一个朗道能级跃迁到更高能量的朗道能级上，通过测量回旋共振频率，可以确定电子的有效质量半导体材料中能带底和能带顶附近，电子的有效质量不同，具有不同的回旋共振频§7.6磁输运性质§7.6.1Boltzmann方程eEfe(B)f一般情况下Boltzmann方r00kk§7.6磁输运性质§7.6.1Boltzmann方程eEfe(B)f一般情况下Boltzmann方r00kk若没有温度梯度，只有磁场和电场作用，则 (kB)efeD假设有一个尝试解1f11f01利用0kke再利用kmf1对keE ke再利用kmf1对keE e(kB)11ke( )DEBkk对任意k成立，则要J0若写成形则J0若写成形则0为无磁场1/为无00类似于在电场下的讨论，我们得到电场和磁场同时存在时的电流密度为BHall电阻与欧姆电阻zy假定磁场沿z轴，电流在垂直于z轴的平面上，如图xj B EzJ ,JyEyxE ExyxEJxxyBHall电阻与欧姆电阻zy假定磁场沿z轴，电流在垂直于z轴的平面上，如图xj B EzJ ,JyEyxE ExyxEJxxy0EJ00J000 yx0E BzyxEyj 由Jy 0确定出的Ey称为Hall电场 Hall电阻率JyHyxBJ xBzyxEyj 由Jy 0确定出的Ey称为Hall电场 Hall电阻率JyHyxBJ x正比于磁x欧姆电阻率x与磁场无0Jx磁电阻效应定从推导中看到MR磁电阻效应定从推导中看到MR与磁场无关的量，意味之所以得实际情况是所有的金属均表现出不为零的磁电阻效原费米面并非严格球因此电子速度、有效质量与方向和能量有关，仅部分电子的运动满足洛伦玆力与霍尔场力的平衡，其余电子的轨迹发生了变化。由于这一原因，磁电阻测量常常实际情况是所有的金属均表现出不为零的磁电阻效原费米面并非严格球因此电子速度、有效质量与方向和能量有关，仅部分电子的运动满足洛伦玆力与霍尔场力的平衡，其余电子的轨迹发生了变化。由于这一原因，磁电阻测量常常成为研究费米面形状的最有效实验手段参与导电的电子并非仅仅来自单一能假设参与两带模型这样就有两组不同有效质量和不同速度的载流总电流J 1J22Ji、i和Di分别为第i带的电流密度、电导率和D画出1DEB11 cc代入到J1D12D2中 画出1DEB11 cc代入到J1D12D2中 JEB 121111 c 2c c1c1其中(i1,iBzy考虑磁场沿z电场在xy平xjy则 EJ c 11Bzy考虑磁场沿z电场在xy平xjy则 EJ c 1111xxy c 2c 2c1c1 EJ c 1111yxy c 2c 2c1c1令Jy=0，则从第二式可得到Hall电场磁场下的电将Ey代入第一式则得到与Ex的关系任意场强情况。所低场下MR10(任意场强情况。所低场下MR10( c1c2000我们得到磁电讨论在两带模型中，参与对输运贡献的电子来源于两个不同的各向同性的能带，在这种情况下，我们得到总是意味着磁场引起电阻的增大，其起因是由于洛伦玆力的存在引起电子的运动轨迹发生了变化为了和通常讲到的与自旋有关的磁电阻效应进行区别，通常称洛伦玆力有关的磁电阻效应为正常磁电阻效应。若讨论在两带模型中，参与对输运贡献的电子来源于两个不同的各向同性的能带，在这种情况下，我们得到总是意味着磁场引起电阻的增大，其起因是由于洛伦玆力的存在引起电子的运动轨迹发生了变化为了和通常讲到的与自旋有关的磁电阻效应进行区别，通常称洛伦玆力有关的磁电阻效应为正常磁电阻效应。若c11c22，意味着参与输运的电子来自相同的能带，因此，MR0，回到近自由电子单带情形10(MR c1c MR10(MR c1c MRc11c22)2MRB2由1B,由于MR仅为的函数，Kohler’s因此MR仅仅是的函数，即0F函数的行为仅依赖于材料的本由科勒定则看到，相同的磁场下，零场下电阻率越小，则磁电阻越明显，而金属电阻随温度降低而变小，因此，研究这一磁电阻行为的实验最好是在低温下进行热输运性质若不加磁场该项不考虑温度梯度引起分布不均匀热电效应存在温度梯度的情一般情况下Boltzmann热输运性质若不加磁场该项不考虑温度梯度引起分布不均匀热电效应存在温度梯度的情一般情况下Boltzmann方 T 0e上述方程第二项可写将上面提到的两部分代入到Bolzmann得到在电场和温度梯度存在时的Boltzmann方程为由此可得1化学势梯度的作用与外场等价，实际测量中测得的电将上面提到的两部分代入到Bolzmann得到在电场和温度梯度存在时的Boltzmann方程为由此可得1化学势梯度的作用与外场等价，实际测量中测得的电场已包括这一效应。因此，当把电场强度理解为J4代可计算出观察值时该项可去掉温度梯度时，也可产生电流，这一效应称为热电效应电场作用下产生电生电流(热电效应)温度梯度更重要的作用是产生热流，处在k态的电k子所携带，因而，热流密度为14电场作用下产生电生电流(热电效应)温度梯度更重要的作用是产生热流，处在k态的电k子所携带，因而，热流密度为14 fQk 将前面得到f1代入有电流系数为张量，对最简单情况，即假设样具有立方结构，利 3系数则成为输运系数(电流系数为张量，对最简单情况，即假设样具有立方结构，利 3系数则成为输运系数( n 令 则 123nJe2KEeK(T01T eKE1(TQ12T f则 Q )n0令Qnn nkk3Qn(u)2(kT)Qn6 1k3 f则 Q )n0令Qnn nkk3Qn(u)2(kT)Qn6 1k312F12(kT1 2(kT()KK1B03