第02讲 用样本估计总体（解析版）

备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）统计与成对数据的统计分析第02讲用样本估计总体【考试要求】1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．一、样本的数字特征1．百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．计算一组个数据的的第百分位数的步骤（1）按从小到大排列原始数据．（2）计算．（3）若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．2.四分位数我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．3．平均数、中位数和众数(1)平均数：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．4.标准差和方差（1）标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．（2）方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．数据特征标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．二、频率分布直方图1.频率、频数、样本容量的计算方法①eq\f(频率,组距)×组距＝频率．②eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于.2.频率分布直方图中数字特征的计算（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．均数、方差的性质：如果数据的平均数为，方差为，那么①一组新数据的平均数为，方差是．②一组新数据的平均数为，方差是．③一组新数据的平均数为，方差是．1.（多选）下列结论正确的是()(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(2)方差与标准差具有相同的单位．(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．【答案】CD2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中，可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数【答案】B【解析】因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.3．若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为()A．2B．4C．6D．8答案D解析根据方差的性质可知，数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.4．某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85，则这7次成绩的第80百分位数为()答案B解析7次的训练成绩从小到大排列为85,86,87,88,88,89,90，7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.5．某校体育节10名旗手的身高(单位：cm)分别为175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，则中位数为________．答案解析把10名旗手的身高从小到大排列为175,175,176,176,178,179,179,179,180,180，则eq\f(178＋179,2)＝178.5，所以所求中位数为178.5.考点一总体百分位数的估计例1(1)一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，则这组数据的一个四分位数是()A．15 B．25C．50 D．75【答案】A【解析】由小到大排列的结果：6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，一共11项，由11×25%＝2.75,11×50%＝5.5,11×75%＝8.25，故第25百分位数是15，第50百分位数是40，第75百分位数是43.故选A.(2)如图是将高三某班80名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________.(结果保留两位小数)答案解析由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位数一定位于[120,130)内．由120＋eq\,0.925－0.70)×10≈124.44，故此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.【对点演练1】(1)某中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩(满分150分)分别为85,90,93,99,101,103,116,130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为()A．102B．103C．109.5D．116答案C解析这组数据已经按照由小到大的数据排列，8×75%＝6，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即为eq\f(103＋116,2)＝109.5.【对点演练2】（2023秋·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）如图，是某一数据的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其75%分位数（上四分位数）的估计值为（保留2位小数）【详解】由题意可知，，，所以75%分位数为：，解得：.故答案为：【对点演练3】（2023秋·贵州·高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）今年，被称为“村超”的贵州榕江县“和美乡村足球超级联赛”，使榕江成为网络顶流，刷爆各大网络平台，更吸引了大量游客到赛事举办地观赛游玩，为更好地发展当地的旅游业，政府随机调查了18个旅游团对榕江县旅游满意度的综合评分情况，得到如下数据：．若恰好是这组数据的上四分位数，则的值不可能为（

）A．93 B．94 C．95 D．96【答案】D【详解】上四分位数即第百分位数，由，则将这些数据按照从小到大排列后，第个数为上四分位数，即为个数据从小到大排列后的第个数，由已知去掉后，其余数据从小到大排列为：，其中，第个数据为，第个数据为，所以，不可能为.故选：D.【对点演练4】（2023河北唐山二模）某校高三年级一共有名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的第百分位数是分,则数学成绩不小于分的人数至少为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】由人,所以小于分学生最多有人,所以大于或等于分的学生有人.故选:B.【对点演练5】2.已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是 （）A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数答案：C解析：因为100×75%＝75，为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不正确，故选C.考点二平均数与众数例2（1）(多选)(2023·哈尔滨模拟)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM)的观测值：396275268225168166176173188168141157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征发生改变的是()A．极差 B．中位数C．众数 D．平均数答案ABD解析根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为396＋25＝421，极差为最大值与最小值的差，要发生改变；加入数据前，中位数为eq\f(1,2)×(173＋176)＝174.5，加入数据后，中位数为176，发生改变；众数为数据中出现次数最多的数，不会改变；若加入数据前，平均数为eq\x\to(x)，加入数据后，平均数为eq\f(12\x\to(x)＋421,13)>eq\x\to(x)，发生改变．（2）（多选）如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则下列说法正确的是 （）A.图中的x的值为0.018B.该班50名学生期中考试数学成绩的众数是75C.该班50名学生期中考试数学成绩的中位数是75D.该班50名学生期中考试数学成绩的平均数是75解析：AB由频率分布直方图可得10×（0.006×3＋0.010＋x＋0.054）＝1，解得x＝0.018，A正确；由结论1知，数学成绩的众数是75，B正确；设中位数为a，则0.22＋a-7010×10×0.054＝0.5，解得a≈75.2，C错误；45×0.06＋55×0.06＋65×0.1＋75×0.54＋85×0.18＋95×0.06＝74，D错误.故选A、【对点演练1】每年的4月23日是世界读书日，某中学为了了解八年级学生的读书情况，随机调查了50名学生读书的册数，统计数据如表所示：册数01234人数31316171则这50名学生读书册数的众数、中位数是（

）A．3，3 B．2，2 C．2，3 D．3，2【答案】D【分析】利用众数，中位数的定义，即可得出答案．【详解】这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，这组数据的众数是3；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，这组数据的中位数为2；故选：D.【对点演练2】（多选）（2023·广东惠州·统考模拟预测）在某市高二举行的一次期中考试中，某学科共有2000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为.按照的分组作出频率分布直方图，如图所示.其中，成绩落在区间内的人数为16.则下列结论正确的有（

）A．样本容量B．图中C．估计该市全体学生成绩的平均分为分D．该市要对成绩由高到低前的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号【答案】BC【解析】对于A：因为成绩落在区间内的人数为，所以样本容量，故A不正确；对于B：因为，解得，故B正确；对于C：学生成绩平均分为：，故C正确；对于D：因为，即按照成绩由高到低前的学生中不含分的学生，所以成绩为分的学生不能得到此称号，故D不正确.故选：.【对点演练3】（2023·山东·统考二模）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（

）A． B． C．8 D．【答案】B【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个数，又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为，又极差为，所以最小数字为，所以这组数据为、、、、，所以平均数为.故选：B考点三均值与方差例3某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．（单位：）60635076718575636364（单位：）56626068787576626370(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；(2)求，，，；(3)依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．【答案】(1)极差：产品为35，产品为22，中位数：产品为63.5，产品为65.5；(2)；，；(3)推广品种水稻更合适．【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解，（2）根据平均数和方差的计算公式即可求解，（3）由平均数相同，方差越小越稳定即可求解.【详解】（1）由表中数据可知，产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；（2）由题意：，，，；（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．【对点演练1】（2023·安徽马鞍山·统考三模）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为，方差为；高三（2）班答对题目的平均数为，方差为，则这10人答对题目的方差为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由分层抽样可得高三（1）班抽取的人数为，高三（2）班抽取的人数为，设高三（1）班（6人）答对题目数依次为，高三（2）班（4人）答对题目数依次为，由题意可得：，可得，则这10人答对题目的平均数，这10人答对题目的方差.故选：D.【对点演练2】某学校在上报《国家学生体质健康标准》高三年级学生的肺活量单项数据中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均数为3000mL，方差为10；抽取了女生30人，其肺活量平均数为2500mL，方差为20，则可估计高三年级全体学生肺活量的平均数为________，方差为________.【答案】270060280【解析】把男生样本记为x1，x2，…，x20，其平均数记为eq\o(x,\s\up14(－))，方差记为seq\o\al(2,x)；把女生样本记为y1，y2，…，y30，其平均数记为eq\o(y,\s\up14(－))，方差记为seq\o\al(2,y)；把总样本数据的平均数记为eq\o(z,\s\up14(－))，方差记为s2.由eq\o(x,\s\up14(－))＝3000，eq\o(y,\s\up14(－))＝2500，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为eq\o(z,\s\up14(－))＝eq\f(20,20＋30)eq\o(x,\s\up14(－))＋eq\f(30,20＋30)eq\o(y,\s\up14(－))＝eq\f(2,5)×3000＋eq\f(3,5)×2500＝2700.根据方差的定义，总样本方差为s2＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(z,\s\up14(－)))2＋eq\o(∑,\s\up11(30),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(z,\s\up14(－)))2]＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up14(－))＋eq\o(x,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2＋eq\o(∑,\s\up11(30),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(y,\s\up14(－))＋eq\o(y,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2]．由eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up14(－)))＝eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))xi－20eq\o(x,\s\up14(－))＝0，可得eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))2(xi－eq\o(x,\s\up14(－)))(eq\o(x,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))＝2(eq\o(x,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))·eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up14(－))eq\o(∑,\s\up11(30),\s\do4(j＝1))2(yj－eq\o(y,\s\up14(－)))(eq\o(y,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))＝0.因此s2＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up14(－)))2＋eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(eq\o(x,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2＋eq\o(∑,\s\up11(30),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(y,\s\up14(－)))2＋eq\o(∑,\s\up11(30),\s\do4(j＝1))(eq\o(y,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2]＝eq\f(1,50){20[seq\o\al(2,x)＋(eq\o(x,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2]＋30[seq\o\al(2,y)＋(eq\o(y,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2]}＝eq\f(1,50){20[102＋(3000－2700)2]＋30[202＋(2500－2700)2]}＝60280.据此可估计高三年级全体学生肺活量的平均数为2700，方差为60280.【对点演练3】(2023·云南师大附中模拟)根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，现有4组样本①，②，③，④，依次计算得到结果如下：①平均数eq\x\to(x)<4；②平均数eq\x\to(x)<4且极差小于或等于3；③平均数eq\x\to(x)<4且标准差s≤4；④众数等于5且极差小于或等于4.则4组样本中一定符合入冬指标的共有()A．1组B．2组C．3组D．4组答案B解析①举反例：0,0,0,4,11，其平均数eq\x\to(x)＝3<4.但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此组数据中的最小值为10－3＝7，此时数据的平均数必然大于7，与eq\x\to(x)<4矛盾，故假设错误．则此组数据全部小于10.符合入冬指标；③举反例：1,1,1,1,11，平均数eq\x\to(x)＝3<4，且标准差s＝4.但不符合入冬指标；④在众数等于5且极差小于等于4时，最大数不超过9.符合入冬指标．【对点演练4】(2022·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．解(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41.(2)由(1)知eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适．1.给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的 （）解析：C由题中数据可得，众数为2和3，故A错误；平均数为x＝5+5+…+2+110＝3，故B错误；方差s2＝(5-3)22.甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是 （）解析：B由题中数据的分布，可知极差不同，甲的中位数为16+212＝18.5，乙的中位数为14+182＝16，x甲＝5+12+16+21+25+376＝583，x3.（2023四川成都七中二诊）一个果园培养了一种少籽苹果,现随机抽样一些苹果调查苹果的平均果籽数量,得到下列频率分布表:

则根据表格,这批样本的平均果籽数量为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】这批样本的平均果籽数.

故选:B.4．（2023•浙江一模）已知一组样本数据，，，的平均数为，由这组数据得到另一组新的样本数据，，，，其中，2，，，则A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的方差不相同 C．两组样本数据的极差相同 D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为【答案】C【分析】根据平均数、方差和极差的计算公式判断即可．【详解】解：对于，因为，所以，故错；对于，因为，所以两组样本数据的方差相同，故错；对于，新的样本数据的极差，所以两组样本数据的极差相同，故正确；对于，样本容量为20的新的样本数据的平均数为，故错．故选C．5．（2023•四川一模）某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：，制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，，并分成，，，，，，，，，五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于的人数是A．56 B．80 C．144 D．184【答案】C【分析】根据频率分布直方图确定每周的课外活动时间不少于的频率，再根据频率、频数、总数的关系即可求．【详解】解：每周的课外活动时间不少于的频率为，故所求人数，故选C．6.（多选）下表为2022年某煤炭公司1～10月份的煤炭生产量：月份12345678910产量（单位：万吨）2325242126293027则下列结论正确的是 （）解析：ABD将表格中的数据由小到大排列依次为17.5，17.5，21，23，24，25，26，27，29，30.极差为30－17.5＝12.5（万吨），A正确；平均数为17.5×2+21+23+24+25+26+27+29+3010＝24（万吨），B正确；中位数为25+247.（多选）若甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据3x1＋a，3x2＋a，…，3xn＋a的平均数为4，则下列说法正确的是 （）A.a的值为－2解析：ABD由题意可知，3×2＋a＝4，a＝－2，故A正确；乙组样本数据方差为9×4＝36，故B正确；设甲组样本数据的中位数为xi，则乙组样本数据的中位数为3xi－2，所以两组样本数据的中位数不一定相同，故C错误；甲组数据的极差为xmax－xmin，则乙组数据的极差为（3xmax－2）－（3xmin－2）＝3（xmax－xmin），所以两组样本数据的极差不同，故D正确.8．(多选)习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：小时)进行了统计，得到如下频率分布表：分组[2,3)[3,4)[4,5)[5,6]频率则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法中正确的是()答案BCD解析对于A，根据频率分布表可得，高一年级学生每周体育锻炼时长的众数为eq\f(3＋4,2)＝3.5，故A错误；对于B，设高一年级学生每周体育锻炼时长的中位数为x，则0.25＋eq\f(x－3,4－3)×0.30＝0.5，解得x≈3.83，故B正确；对于C，高一年级学生每周体育锻炼时长的平均数为0.25×2.5＋0.30×3.5＋0.20×4.5＋0.25×5.5＝3.95，故C正确；对于D，因为0.25＋0.30＋0.20＋0.05＝0.80，所以高一年级学生每周体育锻炼时长的第80百分位数约为5＋,0.25)＝5.2，故D正确．9．(多选)第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是(每组数据以区间的中点值为代表)()A．bC．在被抽取的候选者中，成绩在区间[65,75)之间的候选者有30人答案BD解析对于A，由(0.005＋b＋0.045＋0.02＋0.005)×10＝1，解得b＝0.025，故A错误；对于B，设候选者面试成绩的中位数为x，则(0.005＋0.025)×10＋(x－65)×0.045＝0.5，解得x≈69.4，故B正确；对于C，成绩在区间[65,75)的频率为0.045×10＝0.45，故人数为80×0.45＝36，故C错误；对于D,50