《微积分》(上下册)教学课件01.函数、极限、连续高等数学第1-4节

《微积分》(上下册)教学课件01.函数、极限、连续高等数学第1-4节汇报人：AA2024-01-25函数概念与性质极限理论与计算连续性与间断点分析导数与微分及其应用中值定理与导数应用不定积分与定积分初步目录CONTENTS01函数概念与性质函数定义及表示方法函数定义设$x$和$y$是两个变量，$D$是实数集的某个子集，若对于$D$中的每一个$x$值，按某种对应法则$f$，总有唯一确定的$y$值与它对应，则称$y$是$x$的函数，记作$y=f(x)$。函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、列表法和图像法。

函数基本性质有界性函数在某一区间内有界，意味着函数在该区间内的值域是一个有界集。单调性函数在某一区间内单调增加（或减少），意味着在该区间内任意两点$x_1<x_2$，都有$f(x_1)leqf(x_2)$（或$f(x_1)geqf(x_2)$）。周期性函数具有周期性，意味着存在一个正数$T$，使得对于任意$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。反函数若函数$y=f(x)$的定义域是$D_f$，值域是$R_f$，且对于$R_f$中的每一个$y$值，在$D_f$中都有唯一的$x$值与之对应，则称函数$x=g(y)$为函数$y=f(x)$的反函数。复合函数设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，且$g(D_g)subsetD_f$，则由下式确定的函数称为由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$构成的复合函数，记作$y=f[g(x)]$。反函数与复合函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的并可以用一个式子表示的函数称为初等函数。初等函数初等函数的图像可以通过基本初等函数的图像经过变换得到。例如，指数函数的图像、对数函数的图像、幂函数的图像、三角函数的图像等。初等函数的图像初等函数及其图像02极限理论与计算123描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。极限的定义唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。极限的性质函数在某一点左侧和右侧极限的定义及性质。左右极限极限概念及性质无穷小量的定义极限为零的变量称为无穷小量。无穷大量的定义绝对值无限增大的变量称为无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。无穷小量的性质有限个无穷小量之和、差、积仍是无穷小量。无穷小量与无穷大量加法、减法、乘法、除法。极限的四则运算法则复合函数的极限等于函数值的极限。复合函数的极限运算法则幂指函数的极限可以通过取对数化为复合函数的极限进行计算。幂指函数的极限运算法则极限运算法则03两个重要极限的应用在求解一些复杂函数的极限时，可以通过变形转化为这两个重要极限进行计算。01第一个重要极限lim(sinx/x)=1，x->0。02第二个重要极限lim[(1+1/x)^x]=e，x->∞。两个重要极限03连续性与间断点分析连续函数的性质连续函数具有局部有界性、局部保号性、四则运算性质、复合函数连续性等。连续性的几何意义函数在某点连续意味着函数图像在该点处没有间断或跳跃。连续性的定义设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，如果$lim_{Deltaxto0}Deltay=0$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。连续概念及性质间断点的类型根据函数在间断点处的左右极限情况，间断点可分为可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点和振荡间断点四种类型。判断方法通过计算函数在间断点处的左右极限，根据极限的存在性和相等性来判断间断点的类型。间断点的定义如果函数$f(x)$在点$x_0$处不连续，则称$x_0$为函数$f(x)$的间断点。间断点类型与判断方法有界性定理闭区间上的连续函数必定有界。闭区间上的连续函数必定能取到最大值和最小值。如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)neqf(b)$，则对于任意介于$f(a)$和$f(b)$之间的数$c$，至少存在一点$xiin(a,b)$，使得$f(xi)=c$。闭区间上的连续函数具有一致连续性，即对于任意给定的正数$epsilon$，总存在正数$delta$，使得当区间内任意两点$x_1,x_2$满足$|x_1-x_2|<delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|<epsilon$。最大值和最小值定理中间值定理（介值定理）一致连续性闭区间上连续函数性质04导数与微分及其应用导数的定义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。导数的计算方法通过求极限的方式计算导数，包括基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等。高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，表示函数在某一点处的更高阶变化率。导数概念及计算方法微分概念及计算方法微分在近似计算、误差估计、微分方程等领域有广泛应用。微分的应用微分是函数在某一点处的局部变化量的线性近似，即函数的局部增量可以近似表示为自变量的微分与函数在该点处导数的乘积。微分的定义通过求导数的方式计算微分，包括基本初等函数的微分公式、微分的四则运算法则、复合函数的微分法则等。微分的计算方法导数在几何中可用于求曲线的切线方程、法线方程、曲率等，还可用于判断函数的单调性、凹凸性等。几何应用导数在物理中可用于描述速度、加速度、角速度等物理量的变化率，还可用于求解最值问题，如最小作用量原理、最大功原理等。物理应用导数在经济学中可用于分析边际效应、弹性等经济指标，还可用于求解最优化问题，如最小成本、最大收益等。经济学应用导数在几何和物理中应用05中值定理与导数应用若函数$f(x)$在点$x_0$处可导且取得极值，则$f'(x_0)=0$。费马引理若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则存在$xiin(a,b)$，使得$f'(xi)=0$。罗尔定理若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则存在$xiin(a,b)$，使得$f'(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理若函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g'(x)neq0$，则存在$xiin(a,b)$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。柯西中值定理中值定理内容及证明利用导数研究函数单调性单调性判定定理：若函数$f(x)$在区间$I$上可导，则若$f'(x)<0$在$I$上恒成立，则$f(x)$在$I$上单调递减。若$f'(x)>0$在$I$上恒成立，则$f(x)$在$I$上单调递增；应用举例：通过求解导数并判断其符号，可以确定函数的单调区间。利用导数研究函数极值和最值极值判定定理：若函数$f(x)$在点$x_0$处连续，且在点$x_0$的某邻域内可导，则若$f'(x_0)=0$且当$x<x_0$时$f'(x)<0$，当$x>x_0$时$f'(x)>0$，则$f(x)$在点$x_0$处取得极小值；若$f'(x_0)=0$且当$x<x_0$时$f'(x)>0$，当$x>x_0$时$f'(x)<0$，则$f(x)$在点$x_0$处取得极大值。$f(x)$在$[a,b]$上的最大值和最小值分别存在于端点或极值点；通过比较端点和极值点的函数值，可以确定函数的最值。最值判定定理：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则06不定积分与定积分初步不定积分的定义不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，结果是一个函数族，每个函数之间相差一个常数。不定积分的性质不定积分具有线性性、可加性和常数倍性质。此外，还有换元积分法和分部积分法等基本方法。不定积分的几何意义不定积分表示的是曲线在某区间上与x轴围成的面积，其结果是一个函数表达式。不定积分概念及性质通过变量代换将复杂的不定积分转化为简单的不定积分，常用的代换方法有三角代换、根式代换等。换元积分法分部积分法两种方法的比较与选择将两个函数相乘的不定积分转化为两个较简单的函数的积分，适用于被积函数是两类不同函数乘积的情况。在实际应用中，需要根据被积函数的特征选择合适的积分方法。换元积分法和分部积分法定积分的定义定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，其结果是一个数。定积分的几何意义定积分表示的是曲线在指定区间上与x轴围