《微积分》第二篇讲义不定积分

《微积分》第二篇讲义不定积分汇报人：AA2024-01-25不定积分基本概念与性质换元积分法分部积分法有理函数和可化为有理函数的不定积分无理函数和三角函数的不定积分contents目录01不定积分基本概念与性质不定积分定义及几何意义设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，如果存在可导函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$对任意$xinI$成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。对于任意常数$C$，$F(x)+C$也是$f(x)$的原函数。因此，不定积分可以表示为$intf(x)dx=F(x)+C$，其中$int$表示积分号，$dx$表示微分元素。不定积分定义不定积分的几何意义是求曲线$y=f(x)$与直线$x=a,x=b(a<b)$及$x$轴所围成的面积。当$f(x)geq0$时，面积在$x$轴上方；当$f(x)leq0$时，面积在$x$轴下方。几何意义原函数与不定积分的联系原函数是不定积分的核心，通过找到原函数可以方便地求解不定积分。不定积分的结果是一族函数，这些函数之间相差一个常数。原函数与不定积分的区别原函数是一个具体的函数，而不定积分是一个运算过程，其结果是一族函数。原函数的导数等于被积函数，而不定积分的导数等于原函数的导数加上一个常数。原函数与不定积分关系区间可加性$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$，其中$a<c<b$。积分常数性质$intkdx=kx+C$，其中$k$为常数。线性性质$int[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1intf_1(x)dx+k_2intf_2(x)dx$，其中$k_1,k_2$为常数。不定积分基本性质基本初等函数的不定积分公式01如$intx^ndx=frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(nneq-1)$，$inte^xdx=e^x+C$，$intsinxdx=-cosx+C$等。换元积分法02通过变量代换简化被积函数的形式，从而方便求解不定积分。常见的换元法有三角代换、根式代换等。分部积分法03将被积函数拆分为两个函数的乘积形式，然后利用乘积的求导法则进行求解。分部积分法适用于被积函数中含有不同类型函数的情况。常见不定积分公式回顾02换元积分法原理通过凑微分，将复合函数的微分转化为简单函数的微分。示例求解∫cos(x)dx，可将其转化为∫d(sin(x))，从而得到结果sin(x)+C。步骤观察被积函数，寻找可以凑成微分的部分，进行换元。第一类换元法（凑微分法）03示例求解∫√(a^2-x^2)dx(a>0)，可令x=a*sin(t)，则dx=a*cos(t)dt，从而将原积分转化为∫a^2*cos^2(t)dt。01原理通过变量代换，将原积分转化为新变量的积分。02步骤选择合适的代换变量，将原积分中的变量用新变量表示，并求出新变量的微分。第二类换元法（变量代换法）原理利用三角函数的性质进行变量代换，简化积分计算。常见技巧弦化切、切化弦、降幂公式等。示例求解∫dx/(x^2*√(x^2-1))，可令x=sec(t)，则dx=sec(t)*tan(t)dt，从而将原积分转化为∫cos(t)/sin^2(t)dt。三角函数代换技巧当被积函数含有分式，且分子分母次数较高时，可采用倒数代换简化计算。例如，求解∫dx/x(x^n+1)，可令x=1/t，则dx=-1/t^2dt。倒数代换当被积函数含有指数函数时，可采用指数代换。例如，求解∫e^xdx/(1+e^x)，可令u=e^x，则du=e^xdx。指数代换倒数代换与指数代换应用03分部积分法分部积分公式$intudv=uv-intvdu$适用条件当被积函数是两个函数乘积，且其中一个函数容易求导，另一个函数容易积分时，可以使用分部积分法。分部积分公式及适用条件多次使用分部积分法求解复杂问题对于一些复杂的不定积分问题，可能需要多次使用分部积分法才能求解。在使用分部积分法时，需要注意选择合适的$u$和$dv$，以便简化计算过程。求解$intxe^xdx$例题1此题中被积函数是$x$和$e^x$的乘积，可以选择$u=x$，$dv=e^xdx$进行分部积分。分析$intxe^xdx=xe^x-inte^xdx=xe^x-e^x+C$解答典型例题解析与讨论求解$intx^2sinxdx$例题2此题中被积函数是$x^2$和$sinx$的乘积，可以选择$u=x^2$，$dv=sinxdx$进行分部积分。分析$intx^2sinxdx=-x^2cosx+2intxcosxdx=-x^2cosx+2(xsinx-intsinxdx)=-x^2cosx+2xsinx+2cosx+C$解答典型例题解析与讨论例题3求解$intlnxdx$分析此题中被积函数是$lnx$，可以选择$u=lnx$，$dv=dx$进行分部积分。解答$intlnxdx=xlnx-intxcdotfrac{1}{x}dx=xlnx-x+C$典型例题解析与讨论04有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数定义形如$R(x)=frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$为多项式，且$Q(x)neq0$。分类根据分子和分母多项式的次数，有理函数可分为真分式和假分式。真分式分子的次数小于分母的次数。假分式分子的次数大于或等于分母的次数。有理函数概念及分类部分分式分解法对于真分式，可以通过部分分式分解将其化为简单分式的和，然后分别进行积分。长除法对于假分式，首先使用长除法将其化为一个多项式与一个真分式的和，然后分别对多项式和真分式进行积分。直接积分法对于某些简单的有理函数，可以直接使用基本积分公式进行求解。简单有理函数不定积分求解方法复杂有理函数不定积分求解策略针对某些特殊形式的有理函数，可以使用一些特殊的技巧进行求解，如倒代换、分子有理化等。特殊技巧对于分母含有不可约多项式的复杂有理函数，可以尝试对分母进行因式分解，然后使用部分分式分解法进行求解。因式分解法通过适当的变量替换，将复杂的有理函数化为简单的形式，然后进行积分。常用的换元法有三角换元、根式换元等。换元法例1求解$intfrac{dx}{x^2+a^2}$（$a>0$）。解析此题可以通过三角换元法进行求解。令$x=atantheta$，则$dx=asec^2thetadtheta$，代入原式可得$intfrac{asec^2thetadtheta}{a^2tan^2theta+a^2}=intfrac{dtheta}{a}=frac{theta}{a}+C=frac{arctanfrac{x}{a}}{a}+C$。例2求解$intfrac{x+1}{x^2+2x+5}dx$。典型例题解析与讨论05无理函数和三角函数的不定积分无法表示为两个整式之比的函数称为无理函数。根据无理部分的不同形式，无理函数可分为根号型、三角函数型、指数型等。无理函数概念及分类无理函数分类无理函数定义变量代换法通过适当的变量代换，将无理函数转化为有理函数。要点一要点二分部积分法利用分部积分公式，将无理函数的积分转化为有理函数的积分。无理函数转化为有理函数方法利用三角函数的万能公式，将三角函数的不定积分转化为有理函数的不定积分。万能公式法通过凑微分的方法，将三角函数的不定积