新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：第4章42

温馨提示：

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合

适的观看比例，答案解+析附后。关闭Word文档返回原板块。

4.2.2对数的运算性质

课程1.理解对数运算性质

标准2.知道川换底公式能将一般对数*化成自然对数或常川对数

》基础认知•自主学习《

概念认知

1,对数的运算性质

如果a>0，且ag,M>0,N>0,nGR,那么

⑴积的对数：loga（MN）=logaM+log;,N；

M

⑵商的对数：10ga痴=②aMTO&N；

n

⑶幕的对数：logaM=nlo%M.

2.换底公式

logaN=^^_（a>0，且；N>0；c>0,c^l）.

自我小测

1.下列式子中成立的是（假定各式均有意义）（）

A.logax-logay=loga（x+y）

n

B.(logax)=nlogax

C•粤^=loga版

D.鬻=10gaX-10gay

选C.根据对数的运算性质知，c正确.

2.已知正实数a,b,c满足log2a=log3b=log6c,则（）

A.a=bcB.b2=ac

C.c=abD.c2=ab

选C.设log2a=log3b=log6c=k,

则a=2卜，b=3k,c=6k,所以c=ab.

【误区警示】本题容易忽视设出log2a=log3b=log6c=k,导致无法表

出a,b,c.

3.（教材二次开发练习改编）已知xlog32=1,则2x+2-x的值是（）

810

A.1B.3C.o口.至

选D.因为xlog32=1,所以x=log23,

所以2X+2-x=210g23+2-logoS=3=学.

4.Iog227-logs4=；Iog23-log3104g8=.

32

log227-log34=log23-log32=（31og23）-（21og32）=6.

IQI皿<lg3IglOlg8lg8

log23.log310.lg8=lg2-lg3-lgl0=lg2=log28=3.

答案：63

5.(I)log225-log24=；

(2)log28=.

25(4A

(l)log225-log21=log2|^25x—J=log24

=log?22=210g22=2.

(2)log28=logi23=31og22=3.

答案：⑴2(2)3

6.(教材二次开发：练习改编)

若Inx=21na-；Inb,则x=.

1--

因为Inx=21na-jInb=Ina2b3,

_I

所以x=a2b§-

答案：a2bl

Ig3+21g2-1

7.求值：

lgl.2

1g3+21g2-11g3+1g22-1

Igl2=igl2

12

lg12-1lgW1g1.2

一lg1.2-lg1.2~lg1.2—

份学情诊断♦课时测评《

基础全面练

一、选择题

1.logd+1)(3-2啦)等于()

A.-2B.-4C.2D.4

选A.因为3-2^2=2-2^2+1=(^2)2-2^2+12=(^2-1)2=

=(&+1)-2.

所以10gM+i)(3-2\[2)=logM+M啦+1厂2=-2.

2.—+等于()

loSiQ1呜弓

45

A.1g3B.-1g3C.看1

D・-\~~Q

lg3

选C.原式=log]!+logi|

93

1

=log94+log35=log32+log35=log310=ig3.

3.(2020•全国I卷)设alog34=2,则4-a=()

1111

-B-c-D-

6986

a

选B.由alog34=2可得log34a=2,所以4=9,

所以有4-a=J.

蜀【加固训练】

已知4a=2,1gx=a，则x=()

A.；B.^/ToC.10D.1

选B.因为4a=2,所以a=；，因为lgx=a=；，则x=Vl^.

4.（2021•郑州高一检测）已知a=log23,b=log25,则log415=（）

A.2a+2bB.a+b

C.abD.；a+gb

选D.k）g415=；Iog215（log23+log25）=a+gb.

5.太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2x103。千克.地

球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6x1024千克.下列各数

中与就最接近的是（）

（参考数据：1g3-0.4771,1g6-0.7782）

A.10-5519B.10-5521

C.10-5.523D.10-5.525

选c.由题意可得就=3x10-6,

所以1g郎=lg3+lgIO-6=0.4771-6

=-5.5229--5.523,

Q

6.（2021・龙岩高一检测）已知2X=3,log4g=y，则x+2y=（）

A.3B.8C.4D.log48

Q

选A.因为2X=3,所以x=log23.又Iog4g=y,

8

所以X+2y=log23+210g4w=log23+2（log48-log43）=log23+

2^|log22-30g23）=log23+3-log23=3.

7.已知Iog3x=m,log3y=n,则log3用m,nqj表示为（）

vy^/y

1421

A./m-gnB.1m-gn

C.D.m-|n

选=log3^/x-bgNy/

J11

2

=log3x2-log3（y-y3）

12

=2log3X-3log3y

12

=2m-qn.

8.（多选）（2021・潍坊高一检测）若10a=4,10b=25〃!J（）

A.a+b=2B.b-a=1

C.ab>81g22D.b-a<1g6

选AC因为10a=4,10b=25,

所以a=1g4,b=1g25,所以a+b=1g4+1g25=1g100=2,故A选

项正确，

25_

b-a=1g25-1g4=1ga>1g6,故B,D选项不正确,ab=21g2x21g

5=41g2-lg5>41g2-lg4=81g22,故C选项正确.

9.logm2=a,logm3=b，则n^+b的值为（）

A.6B.7C.12D.18

ab2a+b2ab

选C.因为logm2=a,logm3=b,所以m=2,m=3,m=mm

=（ma）2mb=22X3=12.

二、填空题

10.计算：2」+1g100Tn,=.

原式+2=2.

答案：2

三、解答题

11.已知3a=5b=c,4+（=2,求c的值.

ab

因为3=5=c,所以a=log3c,b=log5c,c>0,

所以:=logc3,（=logc5,所以:+|=logc15.

由logJ5=2得c2=15,即c=灰（负值舍去）.

12.（2021.郑州高一检测）计算以下式子的值：

(I)21g2+lg25；

*12

(1-log63)+log62-log618

(2).

(1)原式=lg4+lg25=lg(4x25)=lg100=2.

2

(log66-log63)+log62-log618

⑵原式=----------W2-------------

(log62)」+Iog621og618

-210g62

log62(Iog62+k>g618)

-210g62

log36

=26=L

综合突破练

一、选择题

1.(Iog29>(log34)等于()

A.；B.；C.2D.4

选D.(log29)«og34)=翟・曙=4.

2.如果(13.2)a=1000,(0.0132)b=1000,那么:-(的值是()

A.1B.2C.3D.4

选A.因为(13.2尸=1000,(0.0132)b=l000,所以a=logi3.21000,b

=logo.01321000,

所以1=log]oooB.2,(=logioooO.O132,

所以:~b=logl。。。13.2-log,oooO.O132

13.2

=logloo()QQ132=l°gi00()1000=1.

3.(2019•北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度

5P,

来描述.两颗星的星等与亮度满足m-=y1g,其中星等为

2miZ口2

mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星

等是-L45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()

A.1010-1B.10.1C.1g10.1D.10-|()J

选A.令mi=-26.7,m2=-1.45,

则m2-m产-1.45-(-26.7)=25.25

5,Ei

二2电瓦，

所以1g旨=10.1,则移=10101.

二、填空题

4.设实数x满足0<x<l,且logx4-log2x=1,贝！Jx=

2

因为logx4=210gx2=.

所以logx4-log2X=遍1-log2x=1,

2

SP(log2X)+log2x-2=0,

解得：10g2x=-2或log2x=1,

所以x=1或x=2.因为0<x<l,所以x=".

林景--

口木,4

5.已知lga+b=3,ab=100，则alg2-b=.

Iga+b=3,a=103'b,

又因为ab=100,所以l(F-b)b=io。，“3-b)=2,

所以b=l或2,a=100或10,

所以a'82.b=1021g2.1=4或a怆2.b=1O'82-2=2x2=4.

答案：4

21g4+lg9

6.(2021.南阳高一检测)~~j--------j一=________.

1+]lg0.36+gig8

—2(lg4+lg3)

原式二

l+lg^/036+lgA/8

------2-1-g--1-2----zz------2-1-g--12----—)

-1+lg0.6+lg2-lg(10x0.6x2)

答案：2

ab

7.(2021.杭州高一检测)已知3=4,b=log23,贝！]ab=；4

a

因为3=4,b=log23,

所以a=log34,

所以ab=Iog34-k)g23=得=2.

4b=41og23=41og49=9.

答案：29

三、解答题

8.计算下列各式：

(l)(log32+log92)(Iog43+log83)+210g25；

(2)21g5+y1g8+1g5-lg20+lg22.

(l)(log32+log92)(log43+log83)+210g25

1^3r]+nri+n

"lg3-lg2V+2)\2+3)

2c

(2)21g5+3lg8+lg5-lg20+lg22

2,c

=21g5+g1g23+1g54g(4x5)+Ig22

=21g5+21g2+21g54g2+lg25+lg22

=2(lg5+lg2)+21g51g2+lg25+lg22

=2+(1g5+1g2)2=2+1=3.

教师

专用【加固训练】

.7

计算：(l)log535-210g+log57-log51.8；

(2)log2^/^+log212log242-1.

9

(1)原式=log5(5x7)-2(log57-log53)+log57-log55=log55+log57-

210g57+21og53+log57-210g53+log55=2.

(2)原式=log2^^+Iog212-log2V42-log22

,Sxl2._1_.3

=1Og2^48x^42x2=1Og2^2=1Og22"一"

9.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数

学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的

震动.在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论

小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼

猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于

数字x的素数个数大约可以表示为兀(x)。的结论.若根据欧拉得

111A

出的结论，试估计1。00以内的素数的个数.

(素数即质数，Ig80.43429,计算结果取整数)

【思路导引】根据素数计算公式，利用换底公式计算.

由题意可知：＜1000户］,黑°

1000,1000

=-3-lge=^~xO.43429=145.

所以根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为145.

》素养培优练《

（60分钟100分）

一、选择题（每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得3分，有选错的得0分）

1,若实数x,y同时满足方程=8丫+1和9y=-9,则x+y的值为

（）

A.18B.24C.21D.27

选D.由实数x,y同时满足方程2x=8丫+1和9y=-9,

Hx=23（y+1）,[x=3y+3,

可得，即，解得x=21,y=6,所以x+y

[32y=3X-9,[2y=x-9,

=27.

2.对于一切不等于1的正数x,则康+康+康等于（）

A________!________

"10g3X-10g4X-10g5X

□,logx60

log3X+log4x+log5x

D・康

选D.由题意，根据对数的换底公式，可得康+忘+康=

logx3+logx4+logx5

=10^(3x4x5)=10^60=^•

3.已知a+a」=3,下列各式中正确的个数是()

①a?+a-之=7；②a，+a-3=18；

(3)a2+a-;二±A/5；④a/+志=2下.

A.1B.2C.3D.4

选C.①a?+a-2=(a+a_|)2-2=9-2=7,正确；

②a，+a-3=(a+a-i)(a?-1+a_2)=3x(7-1)=18,正确；

lil.

③因为a+a-1=3可知a>0,a2+a-->0,(a2+a*")2=a+2+a-1

=5,所以a2+a%=木,故错误；

i331,

④a*+~『=a2+a'7=(a2+a-2)(a-l+a*')=-\/5(a-l+a-1)

」a

=24,正确.

4.设7a=8b=k,且;+|=1/贝(Jk=()

A.15B.56C.77D.T7

ab

选B.因为7=k,所以a=log7k.因为8=k,所以b=log8k,所以1+

6=logk7+logk8=logk56=1,所以k=56.

5.设a,b>0,若a+4b=1,则log2a+log2b的()

A.最小值为-2B.最小值为-4

C.最大值为-2D.最大值为-4

选D.因为a,b>0,且a+4b=1,

所以由基本不等式得a+4b>2Va4b,当且仅当a=4b时，等号成立,

所以abS^,

所以log2a+log2b=log2(ab)<log2]^=-4.

6.已知ab=-5,则ayj-:+byj-的值是()

A.24B.0C.-2^5D.±2小

选B.因为ab=-5,所以a与b异号

bab

所以江

ab=a"—a2+

ab

b吊+=0.

|a|

(0.5(10^12

7”司+(-1)」+0.75-2+12制X=()

994

A-BC-D

4-4-9-

⑼2x0.5

选A.原式=日9__9

16+16=4-

8.(多选)下列等式不成立的是()

A.Ine=1

B.log3l=0

C.=a--

秘

2

D.log2(-5)=210g2(-5)

选CD.根据对数式的运算，可得Ine=1,log3l=0,故A,B成立；

12,,

由根式与指数式的互化可得---二a-，，故C不成立；log2(-5>=

2

log25=210g25,故D不成立.

9.侈选)已知a,b均为正实数，若logab+logba=|,ab=ba,!3!]^=

()

A.；B.乎C.爽D.2

选AD.令t=logab，则t+；=j,

所以2t2-5t+2=0,(2t-l)(t-2)=0,

所以t=1或t=2.所以logab=；或logab=2.所以a=b?或a?=b.因为

ab=ba,所以2b=a=b?或b=2a=a?.

所以b=2,a=4或a=2,b=4.所以1=2或1.

二、填空题（每小题5分，共15分）

xX

10.已知方程loga(5-3)=x(a>0,a，l),若2是方程的一个解，则a

=；当a=2时，方程的唯一解是_______.

22

若2是方程的一^解，则loga(5-3)=2,即loga16=2,a2=程，由

于a>0,aWl,所以a=4.

xxXXXXXX

当a=2时，方程化为log2(5-3)=x,即2=5-3,2+3=5,

显然x=1是方程的解.

答案：41

-----------------1

11.计算：2°+\j(1-^2)2-86=.若10x=2,10丫=3,

则102

2。+1(1-也)2-86=1+|1卜⑵)4=1+72-1-^2

3x-yi

(iox)§2祈

3xy

=0；102=(10-)2=3=3

答案：o半

12.计算-0.5-2+1g25+21g2=

10+^216-0.5-2+lg25+21g2=1+6-4+2=5.

答案：5

三、解答题(每小题10分，共40分)

13.(2021.南昌高一检测)求下列式子的值:

Ig3+21g2-1

(2)log49-log38+Ine2+1g0.01+51+logs3.

lg3+lg4-lgl0_1^12

⑴原M-怛12-lg1.2一L

(2)原式=61og43-log32+2-2+5-3=3+15=18.

2

14.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式左一的

小+1

运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：

一、+22(73-1