2024届北京市西城区高三上学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024届北京市西城区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求得集合，由此求得.【详解】由解得或，所以，所以.故选：C2．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】化简复数，从而求得对应点所在象限.【详解】，对应点，在第一象限.故选：A3．设，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用特殊值以及函数的图象、单调性等知识确定正确答案.【详解】A选项，若，满足，但，所以A选项错误.B选项，若，满足，但，所以B选项错误.C选项，若，满足，但，所以C选项错误.D选项，对于函数，图象如下图所示，由图可知函数在上单调递增，所以D选项正确.故选：D4．已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案.【详解】由于焦点，所以且双曲线的焦点在轴上，双曲线的渐近线，所以，结合可得，所以双曲线的方程为.故选：D5．已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根据直线和圆的位置关系求得正确答案.【详解】由于，所以是单位圆上的点，由于，其中，所以是直线上的点，画出图象如下图所示，由图可知，的最小值为.故选：C6．在中，，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积.【详解】由余弦定理得，所以，所以.故选：B7．已知函数，则（

）A．在上是减函数，且曲线存在对称轴B．在上是减函数，且曲线存在对称中心C．在上是增函数，且曲线存在对称轴D．在上是增函数，且曲线存在对称中心【答案】D【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案.【详解】由得，解得，所以的定义域是，，在上单调递增，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在上是增函数，，所以是奇函数，图象关于原点对称，即D选项正确.故选：D8．设，是非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据数量积的定义，结合，利用充分、必要条件的定义，结合不等式性质进行分析判定.【详解】若成立，则，所以充分性成立，若成立，即,等价于（因为），当，时，满足则，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A9．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案.【详解】依题意，，若，则，，此时不存在符合题意的，所以.若，则，当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使.当时，，其中，，所以，此时不存在符合题意的.当时，，其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的；当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使.综上所述，的取值范围是.故选：B10．如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（

）A．47m B．48m C．49m D．50m【答案】A【分析】根据梯形中位线求得，进而求得正确答案.【详解】依题意可知六点共面，设正六边形的中心为，连接，平面且平面，依题意可知相交于，连接交于，连接交于，根据正六边形的性质可知四边形是菱形，所以相互平分，则相互平分，根据梯形中位线有，即，在梯形中，是的中点，则是的中点，所以，同理可得，所以.故选：A【点睛】关键点睛：研究空间图形的结构，关键点在于利用空间平行、垂直、中点等知识.在本题中，柱子与地面垂直，柱子之间相互平行.柱子之间高度不相同，则构成了梯形，则可考虑利用中位线来对问题进行求解.二、填空题11．在的展开式中，的系数为.（用数字作答）【答案】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式的通项公式为，取，得的系数为.故答案为：12．设，函数.若曲线关于直线对称，则的一个取值为.【答案】，（答案不唯一）【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案.【详解】由于曲线关于直线对称，所以，解得，由于，则.故答案为：，（答案不唯一）13．已知函数，则的定义域是；的最小值是.【答案】【分析】由函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，化简，令，得到，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为，又由，令，可得令，因为，当且仅当时，即时，即时取等号，所以，所以，所以函数的最小值为.故答案为：；.14．已知抛物线：.①则的准线方程为；②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为.【答案】【分析】根据抛物线方程求得准线方程，利用以及抛物线的焦半径公式求得点的横坐标.【详解】抛物线，，所以准线方程为，焦点，设，则，由于轴，平分，所以，所以，即，，所以的横坐标为.故答案为：；15．设，函数给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③当时，直线与曲线恰有3个交点；④存在正数及点和，使.其中所有正确结论的序号是.【答案】①②④【分析】对于①，分成，两种情况讨论在区间上单调性；对于②，结合函数的单调性求函数的最值；对于③，当时，结合函数与的单调性得出此时无交点，当时，设，利用特殊值，得出交点个数进行判断；对于④，令，取，进行验证.【详解】对于①，当时，在上单调递减，此时.当时，在区间上单调递减显然成立；当时，当时，在单调递减，此时，所以在区间上单调递减，故①成立；对于②，如图，当时，当时，在单调递减，在单调递增，此时的最大值为；当时，在上单调递减，此时的最大值为，所以存在最大值，最大值为，故②正确；对于③，当时，在R上单调递减，当时，，当时，在单调递增，此时的最大值为，所以直线与曲线没有交点；当时，，设，由，解得，当时，，如图，此时直线与曲线恰有2个交点，故③错误；对于④，当时，当时，，当时，；当时，，，如图，取，，可以无限接近，当时，，所以存在正数使成立，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】求分段函数的最值方法：根据每一段函数的单调性求出各自的最值或者范围，再进行对比求出最终的最值.三、解答题16．已知函数的一个零点为.(1)求的值及的最小正周期；(2)若对恒成立，求的最大值和的最小值.【答案】(1)，最小正周期为(2)的最大值为，的最小值为1【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可代入求解，由周期公式即可求解，（2）根据整体法求解函数的最值，即可求解.【详解】（1），由于，故，所以，周期为，（2）当时，，故当时，取最大值，当时，取最小值，因此因此，故的最大值为，的最小值为117．生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列详见解析，(3)【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案.（2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望.（3）通过计算，，来确定正确答案.【详解】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.（2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，所以的所有可能取值为，，所以的分布列为：所以.（3），证明如下：，，所以.，，所以.数据：，，，，，，，，对应的平均数为所以所以.18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，为中点，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)求四面体的体积.【答案】(1)证明详见解析(2)(3)【分析】（1）通过证明（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的大小.（3）先求得到平面的距离，进而求得四面体的体积.【详解】（1）因为，是的中点，所以，由于平面平面且交线为，平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面；（2）因为平面，，所以平面，平面，所以，而平面，平面，所以，由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，则，由于，所以，所以直线与平面所成角的大小为.（3）因为，所以点到平面的距离，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以四面体的体积.19．已知椭圆：的离心率为，且经过点.(1)求的方程；(2)过点的直线交于点（点与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，进而求得的方程.（2）根据直线与轴是否重合进行分类讨论，当直线与轴不重合时，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，利用根与系数关系来确定直线的方程.【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）若直线与轴重合，则与原点重合，符合题意，此时直线的方程为.若直线与轴不重合，设其方程为，由消去并化简得，，设，则，则.因为是的中点，所以.因为，所以，整理得，解得，此时直线经过点，不符合题意，舍去.综上所述，直线的方程为.20．已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)当且时，判断与的大小，并说明理由.【答案】(1)(2)增区间，减区间(3)，理由详见解析【分析】（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程.（2）利用导数求得的单调区间.（3）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系.【详解】（1）时，，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）的定义域为，，所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增，所以的增区间，减区间；（3）当且时，，证明如下：令，则，设，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，所以的单调递增区间为.当时，，即，当时，，即，综上所述，当且时，.【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.21．给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.(1)当，时，写出所有满足的数对序列；(2)当时，证明：；(3)当为奇数时，记的最大值为，求.【答案】(1)或(2)证明详见解析(3)【分析】（1）利用列举法求得正确答案.（2）利用组合数公式求得的一个大致范围，然后根据序列满足的性质证得.（3）先证明，然后利用累加法求得.【详解】（1）依题意，当，时有：或.（2）当时，因为与不同时在数对序列中，所以，所以每个数至多出现次，又因为，所以只有对应的数可以出现次，所以.（3）当为奇数时，先证明.因为与不同时在数对序列中，所以，当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为.对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，那么多奇数而言，可按如下方式构