2024届江苏省南京梅山高级中学数学高二下期末质量检测模拟试题含解析

2024届江苏省南京梅山高级中学数学高二下期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的类比得到向量运算中的；②由实数运算中的类比得到向量运算中的；③由向量的性质类比得到复数的性质；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；其中结论正确的是A．①② B．③④ C．②③ D．①④2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（）．A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中女生的人数，则为（）A．0 B．1 C．2 D．34．若，则（）A．2 B．4 C． D．85．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A． B． C． D．6．已知的展开式中没有项，，则的值可以是（）A．5 B．6 C．7 D．87．已知全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥3}，则A∩CA．{4,5} B．{3,4,5} C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}8．已知复数满足，则共轭复数()A． B． C． D．9．球的体积是，则此球的表面积是（）A． B． C． D．10．已知函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称11．在复平面内复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数等于（）A． B． C． D．12．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了。著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为，每扇形的半径设为满足，若将的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的对应正方形格子的面积之和为，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知（为常数），对任意，均有恒成立，下列说法：①的周期为6；②若（为常数）的图像关于直线对称，则；③若，且，则必有；④已知定义在上的函数对任意均有成立，且当时，；又函数（为常数），若存在使得成立，则实数的取值范围是，其中说法正确的是_______（填写所有正确结论的编号）14．将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个“阶色序”对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的“阶色序”.若某圆的任意两个“阶色序”均不相同，则称该圆为“阶魅力圆”.“4阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为__________．15．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是________.16．关于的不等式的解集是，求实数的取值范围是_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．18．（12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得线段的长．19．（12分）已知二项式的展开式中第五项为常数项.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中有理项的系数和.20．（12分）某小组有10名同学,他们的情况构成如下表,表中有部分数据不清楚,只知道从这10名同学中随机抽取一位,抽到该名同学为中文专业”的概率为.专业性别中文英语数学体育男11女1111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求的值;(2)设为选出的3名同学中“女生”的人数,求随机变量的分布列及其数学期望.21．（12分）已知复数为虚数单位.（1）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的共轭复数.22．（10分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据向量数量积的定义、复数的运算法则来进行判断．【题目详解】①设与的夹角为，则，，则成立；②由于向量的数量积是一个实数，设，，所以，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，不一定成立；③设复数，则，是一个复数，所以不一定成立；④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．故选D．【题目点拨】本题考查数与向量、向量与复数之间的类比推理，在解这类问题时，除了考查条件的相似性之外，还要注意定义的理解，考查逻辑推理能力，属于中等题．2、C【解题分析】

设动圆的半径为，然后根据动圆与圆及圆都外切得，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，即可求解.【题目详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为1．依题意得，则，所以点的轨迹是双曲线的一支．故选C．【题目点拨】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系和双曲线的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、B【解题分析】

先由题意得到的可能取值为，分别求出其对应概率，进而可求出其期望.【题目详解】由题意，的可能取值为，由题中数据可得：，，，所以.故选B【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记期望的概念，会求每个事件对应的概率即可，属于常考题型.4、D【解题分析】

通过导数的定义，即得答案.【题目详解】根据题意得，，故答案为D.【题目点拨】本题主要考查导数的定义，难度不大.5、C【解题分析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6、C【解题分析】

将条件转化为的展开式中不含常数项，不含项，不含项，然后写出的展开式的通项，即可分析出答案.【题目详解】因为的展开式中没有项，所以的展开式中不含常数项，不含项，不含项的展开式的通项为：所以当取时，方程无解检验可得故选：C【题目点拨】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.7、C【解题分析】

通过补集的概念与交集运算即可得到答案.【题目详解】根据题意得CUB=x|x<3，故【题目点拨】本题主要考查集合的运算，难度很小.8、D【解题分析】

先利用复数的乘法将复数表示为一般形式，然后利用共轭复数的定义得出.【题目详解】，因此，，故选D.【题目点拨】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，解复数相关的问题，首先利用复数四则运算性质将复数表示为一般形式，然后针对实部和虚部求解，考查计算能力，属于基础题．9、B【解题分析】

先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.【题目详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积.故选：【题目点拨】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.10、D【解题分析】

由最小正周期为可得,平移后的函数为,利用奇偶性得到,即可得到,则,进而判断其对称性即可【题目详解】由题,因为最小正周期为,所以,则平移后的图像的解析式为,此时函数是奇函数,所以,则,因为,当时,,所以,令,则,即对称点为；令,则对称轴为,当时,，故选：D【题目点拨】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性11、C【解题分析】

设复数，根据向量的模为3列方程求解即可.【题目详解】根据题意，复平面内复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为.设复数，∵，∴，复数.故.故选：C.【题目点拨】本题考查复数的代数表示及模的运算，是基础题.12、D【解题分析】

根据定义求数列和，利用化简求解，利用特殊值否定结论.【题目详解】由题意得为以为长和宽矩形的面积，即；；又，故正确；因为，所以D错误,选D.【题目点拨】本题考查数列求和以及利用递推关系化简，考查综合分析求解能力，属较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、②④【解题分析】

根据成立即可求得对称轴,由对称轴结合解析式即可求得的值,可判断①;根据及对称轴即可求得的值,可判断②;根据条件可得与的关系,结合二次函数的值域即可判断③;根据条件可知函数为偶函数,根据存在性成立及恒成立,转化为函数的值域即可判断④.【题目详解】对于①,因为对任意,均有成立,则的图像关于直线对称,所以解得.即是轴对称函数,不是周期函数,所以①错误;对于②,的图像关于直线对称,可得,解得,所以②正确;对于③,,而由可知则或.当时,代入可得,即,解不等式组可得,不等式无解,所以不成立当时,代入可得,即,解不等式组可得,即所以,所以,所以③错误;对于④,由可知函数为偶函数,当时,;当时,.所以在上的值域为在上的值域为因为存在使得成立所以只需且即,即实数的取值范围是,所以④正确综上可知,说法正确的是②④故答案为:②④【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性、对称性及恒成立问题的综合应用,对于分类讨论思想的理解,属于难题。14、1【解题分析】分析：由题意可得，“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2×2×2=1种，从两个方面进行了论证，即可得到答案．详解：“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2×2×2=1种，一方面，n个点可以构成n个“4阶色序”，故“4阶魅力圆”中的等分点的个数不多于1个；另一方面，若n=1，则必需包含全部共1个“4阶色序”，不妨从（红，红，红，红）开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，红，蓝，蓝，蓝，蓝，红，蓝，蓝，红，红，蓝，红，蓝”符合条件．故“4阶魅力圆”中最多可有1个等分点．故答案为：1．点睛：本题主要考查合情推理的问题，解题的关键分清题目所包含的条件，读懂已知条件.15、【解题分析】

根据一元二次方程的判别式和虚数根的模列出不等式组，求得其范围.【题目详解】由已知得，解得；又因为，所以，解得；所以实数的取值范围是故得解.【题目点拨】本题考查一元二次方程的判别式和复数的模，属于基础题.16、【解题分析】

利用判别式△＜0求出实数k的取值范围．【题目详解】关于x的不等式的解集为R，∴△=k2-4×9＜0，解得∴实数k的取值范围为.【题目点拨】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．【题目详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，所以，又由，所以，所以数列的通项公式为．（2）由题意知，则数列的前项和为．【题目点拨】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18、(1)；.(2).【解题分析】分析：（1）直线的参数方程为：（为参数），消去参数t即可；曲线的极坐标方程为：，利用互化公式即可；（2）几何法求弦长即可.详解：（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为;（2）曲线表示以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离，故直线被曲线截得的线段长为．点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．19、（1）；（2）121【解题分析】

（1），为常数项，所以，可求出的值，进而求得二项式系数最大的项；（2）由题意为有理项，直接计算即可.【题目详解】（1），∵为常数项，∴，∴二项式系数最大的项为第3项和第4项.∴，.（2）由题意为有理项，有理项系数和为.【题目点拨】本题考查了二项式的展开式，需熟记二项式展开式的通项，属于基础题.20、（1），（2）见解析【解题分析】

（1）中文专业有人，因此抽1人抽到中文专业的概率是，从而可得，由此也可得．（2）共有4名女生，因此的可能值分别为0,1,2,3，分别求出其概率，得分布列，再由期望公式可得期望．【题目详解】(1)设事件:从10位学生中随机抽取一位,抽到该名同学为“中文专业”由题意可知“中文专业”的学生共有人.解得,所以(2)由题意,的可能取值为0,1，2,3山题意可知,“女生"共有4人所以，所以的分别列为0123所以【题目点拨】本题考查随机变量概率分布列，考查古典概型．考查运算求